量子力學中的表象第一頁，共十一頁，2022年，8月28日

由于剛開始學習時，覺得表象的概念不是很容易理解，特別是動量表象、能量表象的意義。因此查閱了相關資料，并作了如下總結。第二頁，共十一頁，2022年，8月28日什么是表象？

體系的態(tài)可以用以坐標為變量的波函數(shù)ψ(x,t)來描寫，力學量則以作用在這種波函數(shù)上的算符（量子力學中的算符代表對波函數(shù)的一種運算）來表示，這是量子力學中態(tài)和力學量的一種具體表述方式。態(tài)還可以用其他變量的函數(shù)作為波函數(shù)來描寫體系的狀態(tài)。

微觀粒子體系的狀態(tài)（量子態(tài)）和力學量的具體表示形式稱為表象。常用的表象有坐標表象、動量表象和能量表象。而研究量子力學規(guī)律的各種表示形式以及這些不同形式之間的變換的理論，則稱為表象理論。第三頁，共十一頁，2022年，8月28日態(tài)的表象

體系的態(tài)既可用以x（表示全部坐標變量）為變量的波函數(shù)ψ(x,t)來描寫，也可用以動量p為變量的波函數(shù)c(p,t)來描寫。ψ(x,t)和c(p,t)之間的變換關系是

式中是動量的本征函數(shù)，

稱ψ(x,t)是在坐標表象中的波函數(shù)，而c(p,t)是同一態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。由ψ(x,t)可知，粒子坐標在x到x+dx之間的概率由c(p,t）可知，粒子動量在p到p+dp之間的概率

第四頁，共十一頁，2022年，8月28日

如果ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)是具有動量p’的自由粒子的狀態(tài)，即ψ(x,t)=ψp’(x,t),則

在動量表象中，粒子具有確定動量p’的波函數(shù)是以動量p為變量的δ函數(shù)。

那么，態(tài)在任意力學量Q的表象中的描寫方式又是什么樣呢？設力學量Q具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn…，對應的本征函數(shù)為u1(x),u2(x),…,un(x),…,并組成正交歸一的完全系。將態(tài)在坐標表象中的波函數(shù)ψ(x,t)按{un(x)}展開成

第五頁，共十一頁，2022年，8月28日

上式兩邊乘，再對x變化整個空間積分即

其物理意義是，體系處在ψ(x,t)所描述的狀態(tài)時，力學量Q具有確定值Qn的幾率為可以用一組數(shù)

代替ψ(x,t)描寫該狀態(tài)。稱{an（t）}是該狀態(tài)在Q表象中的波函數(shù)。第六頁，共十一頁，2022年，8月28日

如果Q的全部本征值Qλ組成連續(xù)譜，對應本征函數(shù)是uλ（x）則ψ(x,t)按uλ（x）展開的式子為aλ(t)就是Q表象中的波函數(shù)，坐標表象、動量表象就屬于這類表象。

從上面的敘述可以看出，同一狀態(tài)可以用不同表象中的波函數(shù)來描寫。表象的概念與幾何學中坐標系的概念類似。

一個特定的Q表象→一個特定的坐標系本征函數(shù)→基矢波函數(shù)是態(tài)矢量ψ在各基矢方向“分量”→坐標分量

第七頁，共十一頁，2022年，8月28日算符的表象描寫力學量的算符的表示方式隨表象不同而改變。設在x表象中，算符作用于波函數(shù)ψ(x,t)后得到一新的波函數(shù)并設在Q表象中波函數(shù)ψ(x,t)和Φ（x,t）分別以{a1(t),a2(t),…,an(t),…}和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)為本征函數(shù)，則可得以乘等式兩邊，再對整個空間積分，得{Fmn}就是算符在Q表象中的表示。第八頁，共十一頁，2022年，8月28日{(diào)Fmn}可排列為一矩陣，F(xiàn)mn代表第m行n列元素，在的本征值組成連續(xù)譜的情況下，也可看作是矩陣元。如動量表象中算符的矩陣元為坐標表象中，算符的矩陣元為第九頁，共十一頁，2022年，8月28日參考文獻