2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若，，則（）A． B．2 C． D．2．下列函數(shù)中周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是()A． B．C． D．3．平面過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知實(shí)數(shù)滿足,那么的最小值為(

)A． B． C． D．6．在數(shù)列中，，，則的值為：A．52 B．51 C．50 D．497．的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，，則()A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列中，，且，則數(shù)列前2019項(xiàng)和為（）A． B． C． D．9．已知是常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（）A． B． C． D．10．某公司的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：已知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，工作人員不慎將表格中的第一個(gè)數(shù)據(jù)遺失，該數(shù)據(jù)為（）A．28 B．30 C．32 D．35二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值為_(kāi)_____.12．若，且，則是第_______象限角.13．在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的周長(zhǎng)為,面積為，，則__________．14．已知正方形，向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，則的面積大于正方形面積四分之一的概率是______．15．函數(shù)的定義域記作集合，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)，，，），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則事件“”的概率為_(kāi)_______.16．過(guò)點(diǎn)作直線與圓相交，則在弦長(zhǎng)為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過(guò)14的概率為_(kāi)_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積18．在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若為邊的中點(diǎn)，求證:;（2）若，求面積的最大值.19．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.20．已知關(guān)于的不等式．（1）當(dāng)時(shí)，解上述不等式．（2）當(dāng)時(shí)，解上述關(guān)于的不等式21．已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由函數(shù)的解析式，求得，，進(jìn)而得到，，結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因?yàn)?，，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，以及函數(shù)的解析式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換的公式進(jìn)行運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2、B【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A,B,C,D的周期依次為又當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A,B,C,D的值依次為所以只有選項(xiàng)A,B關(guān)于直線對(duì)稱，因此選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)3、A【解析】

試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過(guò)作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).4、D【解析】

設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對(duì)大角，屬于中檔題.5、A【解析】

表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值.【詳解】依題意可知表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故原點(diǎn)到直線的距離為最小值，即最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由，得到，進(jìn)而得到數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿足內(nèi)角和定理，排除.【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分類討論思想.當(dāng)求出后，要及時(shí)判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時(shí)給出了或，會(huì)增大出錯(cuò)率.8、B【解析】

由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解．【詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．則數(shù)列前2019項(xiàng)和為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出，求出的表達(dá)式，可得出的最小值.【詳解】由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，，則，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查初相絕對(duì)值的最小值，解題時(shí)要結(jié)合題中條件求出初相的表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.10、B【解析】

由回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，求得樣本平均數(shù)后代入回歸方程即可求得第一組的數(shù)值.【詳解】設(shè)第一組數(shù)據(jù)為，則，，根據(jù)回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入回歸方程，可得，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關(guān)系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設(shè)數(shù)列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查求最小值問(wèn)題．解題關(guān)鍵是由等比數(shù)列性質(zhì)求出滿足的關(guān)系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實(shí)質(zhì)上由于，因此對(duì)應(yīng)的只有5個(gè)，可以直接代入求值，然后比較大小即可．12、三【解析】

利用二倍角公式計(jì)算出的值，結(jié)合判斷出角所在的象限.【詳解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案為三.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)值的符號(hào)與角的象限之間的關(guān)系，考查了二倍角公式，對(duì)于角的象限與三角函數(shù)值符號(hào)之間的關(guān)系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的規(guī)律來(lái)判斷，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.13、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；第三步：求結(jié)果.14、【解析】

向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，所有等可能基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，當(dāng)?shù)拿娣e大于正方形面積四分之一的所有基本事件構(gòu)成區(qū)域矩形區(qū)域，由面積比可得概率值.【詳解】如圖邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積為，所以的面積大于正方形面積四分之一，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)在矩形內(nèi)，由幾何概型得：，故填.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，利用面積比求概率值，考查對(duì)幾何概型概率計(jì)算.15、【解析】要使函數(shù)有意義，則且，即且，即，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則，則事件“”的概率為.16、【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可求得最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)度，從而得到所有弦長(zhǎng)為整數(shù)的直線條數(shù)，從中找到長(zhǎng)度不超過(guò)的直線條數(shù)，根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，最長(zhǎng)弦為圓的直徑：在圓內(nèi)部且圓心到的距離為最短弦長(zhǎng)為：弦長(zhǎng)為整數(shù)的直線的條數(shù)有：條其中長(zhǎng)度不超過(guò)的條數(shù)有：條所求概率：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，涉及到過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)度的求解；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略圓的對(duì)稱性，造成在求解弦長(zhǎng)為整數(shù)的直線的條數(shù)時(shí)出現(xiàn)丟根的情況.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長(zhǎng)度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)四邊形為菱形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)平面，平面平面（Ⅱ）為正三角形，為中點(diǎn)平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）為中點(diǎn)又，，由（Ⅱ）知，【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行、線線垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問(wèn)題；涉及到線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識(shí)，屬于常考題型.18、（1）詳見(jiàn)解析；（2）1.【解析】

（1）證法一：根據(jù)為邊的中點(diǎn)，可以得到向量等式，平方，再結(jié)合余弦定理，可以證明出等式；證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達(dá)式，利用，可以證明出等式；（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，利用已知，再結(jié)合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出來(lái)，結(jié)合重要不等式，再利用三角形面積公式可得，令設(shè)，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】（1）證法一：由題意得①由余弦定理得②將②代入①式并化簡(jiǎn)得，故；證法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∵，∴，則，故；（2）解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，又已知，則，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為1．解法二：設(shè)則由，故.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、(1),；

(2),證明見(jiàn)解析【解析】

(1)分別令即可運(yùn)算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當(dāng)時(shí)成立,再假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,再利用推導(dǎo)出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當(dāng)時(shí),成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,且即當(dāng)時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,,即也滿足,當(dāng)時(shí)成立,故對(duì)于任意的,有,證畢.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，其中步驟為：(1)證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立.對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設(shè)當(dāng)()且為自然數(shù)）時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立.

綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù),命題都成立.20、（1）．（2）當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為或【解析】

（1）將代入，結(jié)合一元二次不等式解法即可求解.（2）根據(jù)不等式，對(duì)分類討論，即可由零點(diǎn)大小確定不等式的解集.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集為.（2）關(guān)于的不等式．若，當(dāng)時(shí)，代入不等式可得，解得；當(dāng)時(shí)，