4.3.3余角和補角★余角、補角的概念 如果兩個角的和等于90°(直角)，那么這兩個角互為

； 如果兩個角的和等于180°(平角)，那么這兩個角互為

.

注：互為補角和互為余角的角主要反映角的數(shù)量關(guān)系，而不是角的位置關(guān)系.兩個互余或互補的角不一定有公共邊和公共頂點.余角補角★余角、補角的性質(zhì) 等角的余角

； 等角的補角

.★方位角 在航海、航空、測繪中，經(jīng)常會用到一種角，它是表示方位的角，叫做方位角.通常以正北、正南方向為準(zhǔn)，描述物體運動的方向.通常要先寫北或南，再寫偏東還是偏西，順序不要亂了.相等相等例1如圖4-3-28，AB是直線，O是AB上一點，∠AOE是直角，∠FOD=90°，OB平分∠DOC，則圖中與∠DOE互余的角有哪些？與∠DOE互補的角有哪些？

分析：由∠FOD=90°，則∠EOF是∠DOE的余角，不難看出∠BOE=90°，故∠BOD也是∠DOE的余角.再注意∠BOC=∠BOD，則∠BOC也是∠DOE的余角，注意∠AOE=∠FOD，則∠DOE=∠AOF，不難發(fā)現(xiàn)∠BOF+∠AOF=180°，故∠BOF是∠DOE的補角，由同角的余角相等，有∠EOF=∠BOC，故∠EOC=∠BOF，∴∠EOC也是∠DOE的補角.解：∵∠BOE是直角，即∠DOE+∠BOD=90°，∴∠BOD與∠DOE互余.∵OB平分∠DOC，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC與∠DOE互余.∵∠FOD=90°，即∠FOE+∠DOE=90°.∴∠EOF與∠DOE互余.∵∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠DOE=90°，∴∠DOE+∠BOF=180°，∴∠BOF與∠DOE互補.又由同角的余角相等，∴∠EOF=∠BOC.∵∠EOC=∠BOF，∴∠EOC+∠DOE=180°，∴∠EOC與∠DOE互補.1.如圖4-3-29，點O在直線AB上，已知∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2,則圖中互余的角共有( ) A.2對

B.3對

C.4對

D.5對C2.下列說法中正確的是( ) A.一個銳角的余角比這個角的補角小90° B.如果一個角有補角，那么這個角必是鈍角

C.若∠1＋∠2＋∠3=180°,則∠1,∠2,∠3互為補角

D.如果∠α和∠β互為余角，∠β與∠γ互為余角，那么∠α與∠γ也互為余角A3.如圖4-3-30，O是直線AB上一點，OC是∠AOB的平分線，則∠AOD的補角是

，∠AOD的余角是

，∠DOB的補角是

，∠BOD的補角的余角是

.∠BOD∠COD∠AOD∠COD4.若一個角的補角的比這個角的余角大20°，求這個角的度數(shù).5.如圖4-3-31，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠AOB，過點O作射線OF，且∠AOD=30°，∠FOB=∠EOC. (1)求∠EOC度數(shù)；解：(1)∵OE平分∠AOB，∠AOB=180°，∴∠AOE=∠BOE=90°.∵∠AOD=30°，∴∠EOC=180°-∠AOD-∠AOE=60°.(2)求∠DOF的度數(shù)；(3)直接寫出圖中所有與∠AOD互補的角.(2)∵∠BOC=∠BOE-∠EOC =90°-60° =30°，又∵∠FOB=∠EOC=60°，∴∠DOF=180°-∠BOC-∠BOF=90°.(3)與∠AOD互補的角是∠AOC、∠BOD、∠EOF.例2一艘貨輪從O點出發(fā)，沿南偏東60°方向航行30海里到A點，因前方出現(xiàn)冰山改道航行，又沿南偏西60°方向航行30海里到B點. (1)請畫出貨輪的航行路線；

(2)B點在O點的什么位置？ 測量出B點距離O點多遠(yuǎn)

(結(jié)果取整數(shù)).

分析：利用角度來描述方位，以正北、正南的方向為基準(zhǔn)，先確定是北還是南，然后再根據(jù)方向確定東西，最后確定偏東(西)的角度.

解：(1)如圖4-3-32；

(2)B點在O點的正南方向，經(jīng)測量B點與O點的距離是30海里.

點評：方位角的應(yīng)用廣泛，特別是在航空、航海、地質(zhì)領(lǐng)域等等，應(yīng)準(zhǔn)確掌握方位角的表示.6.如圖4-3-33，下列說法中錯誤的是( ) A.OA方向是北偏東30° B.OB方向是北偏西15° C.OC方向是南偏西25° D.OD方向是東南方向7.有一輪船A，觀測燈塔B在其北偏西50°,燈塔C在其南偏西40°,則此時∠BAC的度數(shù)為

.A90°8.如圖4-3-34，OA表示北偏東30°方向的一條射線，依照這條射線畫出表示下列方向的射線：

(1)南偏東25°；(2)北偏西50°；(3)東南方向.1.如圖4-3-35，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠AOB=90°，則OB的方位角是( ) A.北偏西30° B.北偏西60° C.東偏北30° D.東偏北60°B2.如圖4-3-36，∠AOC>∠BOC，點O在直線AB上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，則∠COF與∠AOE的關(guān)系是( ) A.相等

B.互余

C.互補

D.以上結(jié)論都不對B3.若∠α和∠β互為余角，∠α和∠γ互為補角，∠β與∠γ的和等于周角的，則∠α、∠β、∠γ這三個角分別是( ) A.75°，15°，105° B.60°，30°，120° C.50°，40°，130° D.70°，20°，110°A4.(1)已知∠α=13°，則∠α的余角的大小是

；

(2)已知∠A的補角是125°12′，則它的余角等于

；

(3)已知∠α與∠β互余，且∠α=40°，則∠β的補角為

.77°35°12′130°5.如圖4-3-37，若∠BOC為直角，∠AOD∶∠BOD=2∶7，則∠COD=

.6.一個角的補角加上10°后等于這個角的余角的3倍，則這個角為

.50°40°7.如圖4-3-38，在飛機(jī)飛行時，飛行方向是用飛行路線與實際的南或北方向線之間的夾角大小來表示的，用AN(南北線)與飛行線之間順時針方向夾角作為飛行方位角，從A到B的飛行方位角為40°，從A到C的飛行方位角為75°，從A到D的飛行方位角為150°，試求AB與AC之間的夾角為多少度？AD與AC之間的夾角為多少度？并畫出從A飛出且飛行方位角為115°的飛行線.解：AB與AC之間的夾角為35°，AD與AC之間的夾角為75°，如圖，AE為所求.8.如圖4-3-39，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°. (1)求出∠AOB及其補角的度數(shù)；解：(1)∠AOB=∠BOC+∠AOC =70°+50° =120°,其補角為180°-∠AOB=180°-120°=60°.(2)請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補，并說明理由.∠DOE與∠AOB互補，理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°,∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°,故∠DOE與∠AOB互補.9.如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個C10.如圖4-3-40，∠AOB與∠AOD分別是∠AOC的余角和補角，且OC是∠BOD的平分線，則∠AOC=

，∠BOD=

.17.5°90°【提示】設(shè)∠AOC=x°，則∠AOB=(90-x)°,∠AOD=(180-x)°.∵∠BOC=∠AOC-∠AOB,∴∠BOC=[x-(90-x)]°=(2x-90)°.∵∠COD=∠AOD-∠AOC,∴∠COD=[(180-x)-x]°=(180-2x)°.∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD，∴2x-90=180-2x，解得x=67.5.∴∠AOC=67.5°,∠BOD=∠AOD-∠AOB =(180°-67.5°)-(90°-67.5°) =90°.11.如圖4-3-41，已知O為AD上一點，∠AOC與∠AOB互補，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，若∠MON=40°，試求∠AOC與∠AOB的度數(shù).解：設(shè)∠AOB=x°，∵∠AOC與∠AOB互補，則∠AOC=180°-x°.∴180-x-x=80,∴-2x=-100,