第三章

概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.1用樹狀圖或表格求概率第1課時(shí)用樹狀圖法求

概率1課堂講解兩步試驗(yàn)的樹狀圖兩步以上試驗(yàn)的樹狀圖2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、什么叫事件的概率？2、一般地，如果在一次試驗(yàn)中有n種可能結(jié)果，

并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其

中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=

。復(fù)習(xí)回顧1知識(shí)點(diǎn)兩步試驗(yàn)的樹狀圖口袋中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，攪勻后從中摸出1個(gè)球，放回?cái)噭颍倜龅?個(gè)球，兩次摸球就可能出現(xiàn)3種結(jié)果：（1）都是紅球;（2）都是白球;（3）一紅一白.

這三個(gè)事件發(fā)生的概率相等嗎？知1－導(dǎo)問

題知1－導(dǎo)思考：一位同學(xué)畫出如圖所示的樹狀圖.第1次摸出球第2次摸出球紅白紅白紅白從而得到，“摸出兩個(gè)紅球”和“摸出兩個(gè)白球”的概率相等，“摸出一紅一白”的概率最大.他的分析有道理嗎？為什么？分析：把兩個(gè)白球分別記作白1，和白2.如圖,用畫樹狀圖的

方法看看有哪些等可能的結(jié)果：知1－導(dǎo)第1次摸出球紅白1白2紅白1白2紅白1白2紅白1白2第2次摸出球從中可以看出，一共有9種等可能的結(jié)果.在“摸出兩紅”、“摸出兩白”、“摸出一紅一白”這三個(gè)事件中，“摸出

”的概率最小，等于

，“摸出

”和“摸出

”的概率相等，都是

.知2－講例1小明、小穎和小凡做“石頭、剪刀、布”游戲.游戲規(guī)

則如下：

由小明和小穎做“石頭、剪刀、布”的游戲，如果兩

人的手勢(shì)相同，那么小凡獲勝；如果兩人手勢(shì)不同，

那么按照“石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭”的規(guī)

則決定小明和小穎中的獲勝者.

假設(shè)小明和小穎每次出這三種手勢(shì)的可能性相同，你

認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)θ斯絾?？（來自教材）?－講解：因?yàn)樾∶骱托》f每次出這三種手勢(shì)的可能性相同，所以可

以利用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：總共有9種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.其中，（來自教材）知2－講兩人手勢(shì)相同的結(jié)果有3種：（石頭，石頭）（剪刀，剪刀）（布，布），所以小凡獲勝的概率為=；小明勝小穎的結(jié)果有3種：（石頭，剪刀）（剪刀，布）（布，石頭），所以小明獲勝的概率為=；小穎勝小明的結(jié)果也有3種：（剪刀，石頭）（布，剪刀）（石頭，布），所以小穎獲勝的概率為=.因此，這個(gè)游戲?qū)θ耸枪降?你能用列表的方法來解答例2嗎？（來自教材）知1－講樹狀圖法：是用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的次數(shù)和方式，并求出概率的方法．用樹狀圖求概率適用于求兩步或兩步以上試驗(yàn)的事件發(fā)生的概率，其畫樹狀圖和計(jì)算方法如圖25.2-7：故共有m·n·k…種可能情況，再分別計(jì)算各類情況的概率．解：袋中4個(gè)珠子可以分別標(biāo)記為H1，H2，L1，L2.用畫“樹狀圖”法求概率．從中任取2個(gè)珠子可看作第一次取出一個(gè)，不放回，

第二次再取出一個(gè)．畫樹狀圖如圖.

可看出任取2個(gè)珠子共有12種等可能結(jié)果，其中都是藍(lán)

色珠子的有兩種結(jié)果，∴P(都是藍(lán)色珠子)例2一個(gè)袋中有4個(gè)珠子，其中2個(gè)紅色，2個(gè)藍(lán)色，除

顏色外其余特征均相同，若從這個(gè)袋中任取2個(gè)珠

子，求都是藍(lán)色珠子的概率．知1－講三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，從中隨機(jī)一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是(

)知1－練1A質(zhì)地均勻的骰子六個(gè)面分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲兩次骰子，得到向上一面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是(

)A．點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B．點(diǎn)數(shù)的和為奇數(shù)C．點(diǎn)數(shù)的和小于13D．點(diǎn)數(shù)的和小于2知1－練2C經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個(gè)十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)、一輛右轉(zhuǎn)的概率是(

)知1－練3C知2－講拋擲一枚普通硬幣3次.有人說“連續(xù)擲出三個(gè)正面”和“先擲出兩個(gè)正面，再擲出一個(gè)反面”的概率是一樣的.你同意嗎？例3分析：對(duì)于第1次拋擲，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面或反面;對(duì)于第2、3次拋擲來說也是這樣.而且每次硬幣出現(xiàn)正面或反面的概率都相等.由此，我們可以畫出樹狀圖，如圖25.2.7所示.2知識(shí)點(diǎn)兩步以上試驗(yàn)的樹狀圖知2－講圖25.2.7在圖25.2.7中，從上至下每一條路徑就是一種可能的結(jié)果，而且每種結(jié)果發(fā)生的概率相等.第1次正反正反正反正反正反正反正反第2次第3次知2－講解：拋擲一枚普通硬幣3次，共有以下8種機(jī)會(huì)均等的

結(jié)果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.P（正正正）=P（正正反）=所以，題目中的說法正確.“先兩個(gè)正面，再一個(gè)反面”就是“兩個(gè)正面，一個(gè)反面”嗎？知2－講該樹狀圖從上到下，列舉了所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，可以幫助我們分析問題，而且可以避免重復(fù)和遺漏，既直觀又條理分明.解：用樹狀圖分析所有可能的結(jié)果，如圖.

例4小可、子宣、欣怡三人在一起做游戲時(shí)，需要確

定做游戲的先后順序，他們約定用“剪子、包袱、

錘子”的方式確定，那么在一個(gè)回合中三個(gè)人都

出

“剪子”的可能性是多少？知2－講由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有27種，三人都出“剪子”的結(jié)果只有一種，所以在一個(gè)回合中三人都出“剪子”的可能性為總

結(jié)知2－講在分析隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)，要從事件發(fā)生的結(jié)果入手，從中找出所關(guān)注的結(jié)果數(shù)，既不能遺漏任何一種可能結(jié)果，也不能重復(fù)計(jì)算，本題易忽略小可本身也有三種出法，而只考慮小可出“剪子”的可能結(jié)果，從而得到錯(cuò)誤的樹狀圖，如圖，進(jìn)而得出錯(cuò)誤的結(jié)果為三張背面完全相同的數(shù)字牌，它們的正面分別印有數(shù)字“1”“2”“3”，將它們背面朝上，洗勻后隨機(jī)抽取一張，記錄牌上的數(shù)字并把牌放回，再重復(fù)這樣的步驟兩次，得到三個(gè)數(shù)字a，b，c，則以a，b，c為邊長(zhǎng)正好構(gòu)成等邊三角形的概率是(

)知2－練1A小剛很擅長(zhǎng)球類運(yùn)動(dòng)，課外活動(dòng)時(shí)，足球隊(duì)、籃球隊(duì)都力邀他到自己的陣營，小剛左右為難，最后決定通過擲硬幣來確定．游戲規(guī)則如下：連續(xù)拋擲硬幣三次，若三次正面朝上或三次反面朝上，則由小剛?cè)我馓暨x兩球隊(duì);若兩次正面朝上一次正面朝下，則小剛加入足球陣營；若兩次反面朝上一次反面朝下，則小剛加入籃球陣營．(1)用畫樹狀圖的方法表示三次拋擲硬幣的所有結(jié)果．(2)小剛?cè)我馓暨x兩球隊(duì)的概率有多大？(3)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)兩個(gè)球隊(duì)是否公平？為什么？知2－練2解：（1)根據(jù)題意畫出如答圖所示的樹狀圖：知2－練知2－練(2)由樹狀圖可知，共有8種等可能的結(jié)果：其中三次正面朝上或三次反面朝上的情況有2種.所以(3)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)兩個(gè)球隊(duì)公乎.理由如下：兩次正面朝上一次正面朝下的情況有3種,兩次反面朝上一次反面朝下的情況有3種,所以P(小剛加入足球陣營）等于(小剛加入籃球陣營）所以這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)兩個(gè)球隊(duì)公乎.當(dāng)事件涉及三個(gè)或三個(gè)以上元素時(shí)，用列表法不易列舉出所有可能結(jié)果，用樹狀圖可以依次列出所有可能的結(jié)果，求出n，再分別求出某個(gè)事件中包含的所有可能的結(jié)果，求出m，從而求出概率．用樹狀圖法列舉時(shí)，應(yīng)注意取出后放回與不放回

的問題．3.1用樹狀圖或表格求概率第1課時(shí)用樹狀圖法求概率第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1234567891011121314151．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,兩枚硬幣都是正面朝上的概率是(

)A．1 B. C. D.D返回1知識(shí)點(diǎn)兩步試驗(yàn)樹狀圖2．(2017?邵陽)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,可能出現(xiàn)的結(jié)果有四種,我們可以利用如圖所示的樹狀圖來分析所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,那么擲一枚硬幣兩次,至少有一次出現(xiàn)正面的概率是________．返回3．(2017?濟(jì)寧)將分別標(biāo)有“孔”“孟”“之”“鄉(xiāng)”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中,這些球除漢字外無其他差別,每次摸球前先攪拌均勻,隨機(jī)摸出一球,不放回；再隨機(jī)摸出一球,兩次摸出的球上的漢字組成“孔孟”的概率是(

)A. B. C.

D.B返回4．(2017?湖州)一個(gè)布袋里裝有4個(gè)只有顏色不同的球,其中3個(gè)紅球,1個(gè)白球,從布袋里摸出1個(gè)球,記下顏色后放回,攪勻,再摸出1個(gè)球,則兩次摸到的球都是紅球的概率是(

)A. B.

C. D.D返回5．(2017?泰安)袋內(nèi)裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)小球,從袋內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)小球,讓其標(biāo)號(hào)為一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字,放回?cái)噭蚝?再隨機(jī)取出一個(gè)小球,讓其標(biāo)號(hào)為這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字,則組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為(

)A. B. C. D.B返回6．(2017?威海)甲?乙兩人用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的3個(gè)扇形)做游戲,游戲規(guī)則：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)甲獲勝；數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)乙獲勝．若指針落在分界線上,則需要重返回新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤．甲獲勝的概率是(

)A. B. C. D.C7．(中考?荊門)在排球訓(xùn)練中,甲?乙?丙三人相互傳球,由甲開始發(fā)球(記為第一次傳球),則經(jīng)過三次傳球后,球仍回到甲手中的概率是(

)A. B. C. D.B2知識(shí)點(diǎn)兩步以上試驗(yàn)樹狀圖返回8．(2016?包頭)同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有兩枚硬幣正面向上的概率是(

)A. B. C. D.D返回9．小紅?小明?小芳在一起做游戲時(shí),需要確定游戲的先后順序．他們約定用“石頭?剪刀?布”的方式確定．問在一個(gè)回合中三個(gè)人都出“布”的概率是(

)A. B. C. D.D返回10．如圖,一個(gè)小球從入口A往下落,在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能,且兩種可能性相等,則小球最終從出口E落出的概率為(

)A. B. C. D.C返回11．(2017?永州)已知從n個(gè)人中,選出m個(gè)人按照一定的順序排成一行,所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)種．現(xiàn)某校九年級(jí)甲?乙?丙?丁4名同學(xué)和1位老師共5人在畢業(yè)前合影留念(站成一行)．若老師站在中間,則不同的站位方法有(

)A．6種 B．20種 C．24種 D．120種C返回12．(2016?岳陽)已知不等式組(1)求不等式組的解集,并寫出它的所有整數(shù)解；(2)在不等式組的所有整數(shù)解中任取兩個(gè)不同的整數(shù)相乘,請(qǐng)用畫樹狀圖的方法求積為正數(shù)的概率．1題型樹狀圖法在求與代數(shù)相關(guān)的概率中的應(yīng)用返回解：(1)由①得x>－2，由②得x≤2，∴不等式組的解集為－2<x≤2.∴它的所有整數(shù)解為－1，0，1，2.(2)畫樹狀圖如圖所示．由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中積為正數(shù)的有2種結(jié)果，∴積為正數(shù)的概率為13．(2017?六盤水)端午節(jié)當(dāng)天,小明帶了四個(gè)粽子(除味道不同外,其他均相同),其中兩個(gè)是大棗味的,另外兩個(gè)是火腿味的,準(zhǔn)備按數(shù)量平均分給小紅和小剛兩個(gè)好朋友．(1)請(qǐng)你用畫樹狀圖的方法表示小紅拿到的兩個(gè)粽子的2題型樹狀圖法在求實(shí)際問題的概率中的應(yīng)用所有可能性．(2)請(qǐng)你計(jì)算小紅拿到的兩個(gè)粽子剛好是同一味道的概率．解：(1)記兩個(gè)大棗味的粽子分別為A1，A2，兩個(gè)火腿味的粽子分別為B1，B2.畫樹狀圖如圖所示．返回(2)由(1)可知，一共有12種等可能的結(jié)果，小紅拿到的兩個(gè)粽子剛好是同一味道的有4種結(jié)果，所以小紅拿到的兩個(gè)粽子剛好是同一味道的概率為樹狀圖法在求三步試驗(yàn)的概率中的應(yīng)用14．體育課上,小明?小強(qiáng)?小華三人在踢足球,足球從一人傳到另一人就記為踢一次．(1)如果從小強(qiáng)開始踢,經(jīng)過兩次踢球后,足球踢到小華處的概率是多少(用樹狀圖表示)?(2)如果踢三次后,足球踢到小明處的可能性最小,應(yīng)從3題型誰開始踢？請(qǐng)說明理由．14．解：(1)如圖：由樹狀圖易知P(兩次后，足球踢到小華處)＝.(2)應(yīng)從小明開始踢．理由如下：如圖：返回由樹狀圖可知，若從小明開始踢，P(三次后，踢到小明處)＝

＝

，同理，若從小強(qiáng)開始踢，P(三次后，踢到小明處)＝

，若從小華開始踢，P(三次后，踢到小明處)＝

，故應(yīng)從小明開始踢．15．(2017?安順)隨著交通道路的不斷完善,帶動(dòng)了旅游業(yè)的發(fā)展,某市旅游景區(qū)有A,B,C,D,E等著名景點(diǎn),該市旅游部門統(tǒng)計(jì)繪制出2017年“五?一”長(zhǎng)假期間旅游情況統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)以下信息解答下列問題：(1)2017年“五?一”期間,該市周邊景點(diǎn)共接待游客________萬人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中A景點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是________,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．(2)根據(jù)近幾年到該市旅游人數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì),預(yù)計(jì)2018年“五?一”節(jié)將有80萬游客選擇該市旅游,請(qǐng)估計(jì)有多少萬人會(huì)選擇去E景點(diǎn)旅游？(3)甲?乙兩個(gè)旅行團(tuán)在A,B,D三個(gè)景點(diǎn)中,同時(shí)選擇去同一景點(diǎn)的概率是多少？請(qǐng)用畫樹狀圖法加以說明,并列舉所有等可能的結(jié)果．解：(1)50；108°補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．(2)∵E景點(diǎn)接待游客人數(shù)所占的百分比為×100%＝12%，∴2018年“五?一”節(jié)選擇去E景點(diǎn)旅游的人數(shù)約為80×12%＝9.6(萬人)．(3)畫樹狀圖如圖所示．所有等可能的結(jié)果有AA，AB，AD，BA，BB，BD，DA，DB，DD，共有9種，其中同時(shí)選擇去同一景點(diǎn)的結(jié)果有3種，∴同時(shí)選擇去同一景點(diǎn)的概率為返回第三章

概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.1用樹狀圖或表格求概率第2課時(shí)用枚舉法和列表法求概率1課堂講解用枚舉法求概率用列表法求概率2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、什么叫事件的概率？2、一般地，如果在一次試驗(yàn)中有n種可能結(jié)果，

并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其

中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=

。復(fù)習(xí)回顧1知識(shí)點(diǎn)用枚舉法求概率1.枚舉法:一個(gè)問題中，如果有優(yōu)先的幾種可能的情況,往往需要將這些可能的情況全部列舉出來，逐個(gè)進(jìn)行討論.這種方法就稱為枚舉.2.用枚舉法求概率的步驟：（1）列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）找出要求的事件的結(jié)果；（3）利用公式求概率.3.要點(diǎn)精析：枚舉時(shí)，考慮要全面，做到不重復(fù)、不遺漏.

知1－講解：袋中4個(gè)珠子可以分別標(biāo)記為H1，H2，L1，L2.用“一一列舉法”法求概率．從袋中任取2個(gè)珠子的所有等可能的結(jié)果為(H1，H2)，(H1，L1)，(H1，L2)，(H2，L1)，(H2，L2)，(L1，L2)，共六種，其中都是藍(lán)色珠子的結(jié)果只有(L1，L2)一種，故P(都是藍(lán)色珠子)＝例1一個(gè)袋中有4個(gè)珠子，其中2個(gè)紅色，2個(gè)藍(lán)色，

除顏色外其余特征均相同，若從這個(gè)袋中任

取2個(gè)珠子，求都是藍(lán)色珠子的概率．知1－講甲、乙、丙三人站成一排拍照，則甲站在中間的概率是(

)知1－練1B有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，隨機(jī)抽取3張，用抽到的三個(gè)數(shù)字作為邊長(zhǎng)，恰能構(gòu)成三角形的概率是(

)知1－練2A如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，則能讓燈泡

發(fā)光的概率是(

)知1－練3B2知識(shí)點(diǎn)用列表法求概率知2－導(dǎo)

擲兩枚普通的正方體骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)之積有多少種可能？點(diǎn)數(shù)之積為多少的概率最大，其概率是多少?

我們用表25.2.6來列舉所有可能得到的點(diǎn)數(shù)之積.問題這一問題的樹狀圖不如列表的結(jié)果簡(jiǎn)明知2－講列表法：定義：用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的

次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的次數(shù)和方式，并求

出概率的方法．適用條件：如果事件中各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性均等，

含有兩次操作(如擲骰子兩次)或兩個(gè)條件(如兩個(gè)轉(zhuǎn)盤)

的事件．列表的方法：選其中的一次操作或一個(gè)條件作為橫行，

另一次操作或另一個(gè)條件為豎行，列表計(jì)算概率，如

下示范表格：知2－講例2一個(gè)盒子中裝有兩個(gè)紅球、兩個(gè)白球和一個(gè)藍(lán)

球，這些球除顏色外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)

球，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

求兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率.（來自教材）知3－講解：先將兩個(gè)紅球分別記作“紅1”“紅2”，兩個(gè)白

球分別記作“白1”“白2”，然后列表如下：（來自教材）知3－講第二次第一次紅1紅2白1白2藍(lán)紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，白1）（紅1，白2）（紅1，藍(lán)）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，白1）（紅2，白2）（紅2，藍(lán)）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，白1）（白1，白2）（白1，藍(lán)）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，白1）（白2，白2）（白2，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅1）（藍(lán)，紅2）（藍(lán)，白1）（藍(lán)，白2）（藍(lán)，藍(lán)）（來自教材）知3－講總共有25種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次摸到的球的顏色能配成紫色的有結(jié)果有4種：（紅1，藍(lán)）（紅2，藍(lán)）（藍(lán)，紅1）（藍(lán)，紅2），所以，P（能配成紫色）=小莉的爸爸買了一張去音樂會(huì)的門票，她和哥哥兩人都很想去，可門票只有一張，讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了八張撲克牌，將牌面為1，2，3，5的四張牌給小莉，將牌面為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌的牌面數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去．(1)請(qǐng)用列表的方法求小莉去聽音樂會(huì)的概率；哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請(qǐng)說明理由；若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則．知2－講例3知2－講導(dǎo)引：(1)本題涉及兩次抽牌，可通過列表求和找出所有等

可能的結(jié)果和關(guān)注的結(jié)果，再計(jì)算符合要求的概率；(2)判斷游戲是否公平，主要看雙方獲勝的概率是否

相同，若獲勝的概率相同，則游戲公平，否則不公平．解：(1)列表如下：

由表格求出各方格中兩數(shù)之和可知，所有等可

能的結(jié)果有16種，其中和為偶數(shù)的有6種，所以小莉

哥哥46781(1，4)(1，6)(1，7)(1，8)2(2，4)(2，6)(2，7)(2，8)3(3，4)(3，6)(3，7)(3，8)5(5，4)(5，6)(5，7)(5，8)知2－講P(和為偶數(shù))P(和為奇數(shù))

即小莉去聽音樂會(huì)的概率為（2）由(1)列表的結(jié)果可知：小莉去聽音樂會(huì)的概率為

哥哥去聽音樂會(huì)的概率為兩人獲勝的概率不相等，所以游戲不公平，對(duì)哥哥有利．游戲規(guī)則改為：若和為8或9或10，則小莉去；若和為其他數(shù)，則哥哥去(修改的游戲規(guī)則答案不唯一，只要雙方獲勝的概率相等即可)．總

結(jié)知2－講對(duì)于兩步試驗(yàn)(兩個(gè)條件或兩次操作)且可能出現(xiàn)的結(jié)

果比較多時(shí)，用直接列舉法易出錯(cuò)，為了不重不漏地

列出所有可能的結(jié)果，用列表法較好．用列表法求概率的步驟：①列表；②通過表格計(jì)數(shù)，

確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和關(guān)注的結(jié)果數(shù)m的值；

③利用概率公式P(A)＝計(jì)算出事件的概率．(3)在列出并計(jì)算各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)和某事件

發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏．列表法與樹狀圖法的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：應(yīng)用列表法或樹狀圖法求概率的共同前提是：

(1)各種情況出現(xiàn)的可能性是相等的；(2)某事件發(fā)生的概率公式均為用樹狀圖法或列表法時(shí)，當(dāng)隨機(jī)事件包含兩步時(shí)，尤其是轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤游戲問題，當(dāng)其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤被等分成2份以上時(shí)，選用列表法比較方便，當(dāng)然此時(shí)也可用樹狀圖法；當(dāng)隨機(jī)事件包含三步或三步以上時(shí)，用樹狀圖法方便，此時(shí)難以列表區(qū)別：從2，3，4，5中任意選兩個(gè)數(shù)，記作a和b，那么點(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝的圖象上的概率是(

)知2－練1D枚舉法和列表法一般適用于兩個(gè)元素進(jìn)行兩步試驗(yàn)的題目，在列舉可能的結(jié)果時(shí)，要分清“放回”與“不放回”兩種情況．3.1用樹狀圖或表格求概率第2課時(shí)

用枚舉法和列表法求概率第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1234567891011121314151．在一次試驗(yàn)中,若可能出現(xiàn)的結(jié)果只有______個(gè),且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小________,可用列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法,求出隨機(jī)事件發(fā)生的概率．返回1知識(shí)點(diǎn)用枚舉法求概率有限相等2．(2017?張家界)某校高一年級(jí)今年計(jì)劃招四個(gè)班的新生,并采取隨機(jī)搖號(hào)的方法分班,小明和小紅既是該校的高一新生,又是好朋友,那么小明和小紅分在同一個(gè)班的機(jī)會(huì)是(

)A. B. C. D.返回A3．(2016?金華)小明和小華參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),隨機(jī)選擇“打掃社區(qū)衛(wèi)生”和“參加社會(huì)調(diào)查”其中一項(xiàng),那么兩人同時(shí)選擇“參加社會(huì)調(diào)查”的概率為(

)A. B.

C.

D.A返回4．(2017?臨沂)小明和小華玩“石頭?剪刀?布”的游戲,若隨機(jī)出手一次,則小華獲勝的概率是(

)A. B. C. D.C返回5．(2017?淄博)在一個(gè)不透明的袋子里裝有四個(gè)小球,球上分別標(biāo)有6,7,8,9四個(gè)數(shù)字,這些小球除數(shù)字外都相同．甲?乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲,甲先從袋中任意摸出一個(gè)小球,將小球上的數(shù)字記為m,再由乙猜這個(gè)小球上的數(shù)字,記為n.如果m,n滿足|m－n|≤1,那么就稱甲?乙兩人“心領(lǐng)神會(huì)”,則兩人“心領(lǐng)神會(huì)”的概率是(

)A. B. C. D.6．(中考?自貢)如圖,隨機(jī)閉合開關(guān)S1,S2,S3中的兩個(gè),則能讓燈泡發(fā)光的概率是(

)A. B. C. D.B返回B7．列表法求概率：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及____個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較____時(shí),為不重不漏地列出所有可能結(jié)果,通常采用列表法．兩2知識(shí)點(diǎn)用列表法求概率返回多8．(2016?樂山)現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,每枚骰子的六個(gè)面上都分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.同時(shí)投擲這兩枚骰子,以朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為擲得的結(jié)果,那么所得結(jié)果之和為9的概率是(

)A. B. C. D.C返回9．已知一次函數(shù)y＝kx＋b,k從2,－3中隨機(jī)取一個(gè)值,b從1,－1,－2中隨機(jī)取一個(gè)值,則該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二?三?四象限的概率為(

)A. B. C. D.A返回10．(中考?泰安)若十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字?百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)叫做中高數(shù),如796就是一個(gè)“中高數(shù)”．若十位上的數(shù)字為7,則從3,4,5,6,8,9中任選兩數(shù),與7組成“中高數(shù)”的概率是(

)A. B. C. D.C返回11．(2017?海南)如圖,兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次,當(dāng)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針都指向2的概率為(

)A. B.

C. D.D返回12．(2016?恩施州)有6張看上去無差別的卡片,上面分別寫著1,2,3,4,5,6,隨機(jī)抽取一張后,放回并混在一起,再隨機(jī)抽取一張,兩次抽取的數(shù)字的積為奇數(shù)的概率是(

)A. B. C.

D.B返回13．(2017?白銀)在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲(每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形,并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字)．游戲規(guī)則如下：1題型列表法在求實(shí)際問題的概率中的應(yīng)用兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲?乙轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12,則李燕獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12,則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12,則劉凱獲勝(若指針停在等分線上,重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一份內(nèi)為止)．(1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果；(2)分別求出李燕和劉凱獲勝的概率．解：(1)根據(jù)題意列表如下：乙和甲678939101112410111213511121314返回(2)由(1)可知，兩數(shù)和共有12種等可能的情況，其中和小于12的情況有6種，和大于12的情況有3種，∴李燕獲勝的概率為

，劉凱獲勝的概率為14．(中考?涼山州)有甲?乙兩個(gè)不透明的布袋,甲袋中裝有3個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)0,1,2；乙袋中裝有3個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)－1,－2,0.先從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球,記錄標(biāo)有的數(shù)為x；再從乙袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球,記錄標(biāo)有的數(shù)為y,確定點(diǎn)M2題型列表法在求與函數(shù)?圓的綜合的概率中的應(yīng)用的坐標(biāo)為(x,y)．(1)用列表法列舉點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)M(x,y)在函數(shù)y＝－x＋1的圖象上的概率；(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑是2,求點(diǎn)M(x,y)不在⊙O內(nèi)的概率．(1)根據(jù)題意列表如下：解：y

x

－1－200(0，－1)(0，－2)(0，0)1(1，－1)(1，－2)(1，0)2(2，－1)(2，－2)(2，0)返回(2)在函數(shù)y＝－x＋1的圖象上的點(diǎn)有(1，0)，(2，－1)，所以點(diǎn)M(x，y)在函數(shù)y＝－x＋1的圖象上的概率為

.(3)在⊙O上的點(diǎn)有(0，－2)，(2，0)，在⊙O外的點(diǎn)有(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，所以點(diǎn)M(x，y)不在⊙O內(nèi)的有5個(gè)．所以點(diǎn)M(x，y)不在⊙O內(nèi)的概率為

.15．(2017?荊門)荊岡中學(xué)決定在本校學(xué)生中,開展足球?籃球?羽毛球?乒乓球四種活動(dòng),為了了解學(xué)生對(duì)這四種活動(dòng)的喜愛情況,學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了該校m名學(xué)生,看他們喜愛哪一種活動(dòng)(每名學(xué)生必選一種且只能從這四種活動(dòng)中選擇一種),現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．枚舉法(1)m＝________,n＝________；(2)請(qǐng)補(bǔ)全圖中的條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請(qǐng)估算全校1800名學(xué)生中,大約有多少人喜愛踢足球；(4)在抽查的m名學(xué)生中,喜愛打乒乓球的有10名同學(xué)(其中有4名女生,包括小紅?小梅),現(xiàn)將喜愛打乒乓球的同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行訓(xùn)練,且女生每組分兩人,求小紅?小梅能分在同一組的概率．10015(2)喜愛打籃球的有100×35%＝35(人)．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．(3)全校1800名學(xué)生中，喜愛踢足球的有1800×＝720(人)．答：全校1800名學(xué)生中，大約有720人喜愛踢足球．(4)記四名女生分別為A(小紅)，B(小梅)，C，D，則出現(xiàn)的所有可能結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)∴小紅、小梅能分在同一組的概率是返回3.1用樹狀圖或表格求概率第3課時(shí)

用概率判斷游戲規(guī)則的公平性第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1課堂講解用概率說明普通游戲的公平性用概率說明幾何游戲的公平性2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識(shí)點(diǎn)用概率說明普通游戲的公平性知1－講用概率說明普通游戲是否公平，關(guān)鍵看獲勝的概率是否相同，相同則公平，不相同則不公平。求事件發(fā)生的概率時(shí)，常會(huì)用到列表法和樹形圖法2．列表法與畫樹狀圖法的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：應(yīng)用列表法或畫樹狀圖法求概率的共同前提是：(1)各種情況出現(xiàn)的可能性是相等的；(2)某事件發(fā)生的概率公式均為

P(A)＝(3)在列出并計(jì)算各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)和某事件發(fā)生

的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏．知1－講區(qū)別：用畫樹狀圖法和列表法時(shí)，當(dāng)隨機(jī)事件包含兩步時(shí)，尤其是轉(zhuǎn)盤游戲問題，當(dāng)其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤被等分成2份以上時(shí)，選用列表法比較方便，當(dāng)然此時(shí)也可用畫樹狀圖法；當(dāng)隨機(jī)事件包含三步或三步以上時(shí)，用畫樹狀圖法方便，此時(shí)難以列表．知1－講例1“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的一種游戲，游

戲的兩人每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢(shì)中

的一種，并約定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝

“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢(shì)不分勝負(fù)須繼

續(xù)比賽.現(xiàn)有甲、乙兩人做這種游戲.(1) 一次游戲中甲獲勝、乙獲勝的概率各是多少？(2) 這種游戲?qū)τ趦蓚€(gè)人來說公平嗎？

若分別用A，B表示甲、乙兩人，用1，2，3表示石頭、

剪刀、布，則A1表示甲出石頭、

B2表示乙出剪刀，依

次類推.于是，游戲的所有結(jié)果用“樹狀圖”來表示：知1－講解：知1－講開始A1A2A3B1B3B2甲乙B1B3B2B1B3B2所有結(jié)果是9種，且出現(xiàn)的可能性相等.因此，一次游戲時(shí)：甲獲勝的結(jié)果有(A1，B2)，(A2,B3)，(A3,B1)這3種，

故甲獲勝的概率是

同理，乙獲勝的概率也

是由(1)可知，這種游戲中，兩人獲勝的概率都是

機(jī)會(huì)均等，故游戲?qū)τ趦扇藖碚f是公平的.知1－講總

結(jié)判斷游戲的公平性是通過概率來判斷的，如果對(duì)于參加游戲的每一個(gè)人獲勝的概率相等，則游戲公平，否則不公平．知1－講例2某人的密碼箱密碼由三個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是

從0?9中任選的.如果他忘記了自己設(shè)定的密碼，求

在一次隨機(jī)試驗(yàn)中他能打開箱子的概率.設(shè)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中他能打開箱子的事件為A.根據(jù)

題意，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中選擇的號(hào)碼應(yīng)是000?999

中的任意一個(gè)3位數(shù)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有1000

種，且出現(xiàn)每一種結(jié)果的可能性相等.要能打開箱子，

即選擇的號(hào)碼與密碼相同的結(jié)果只有1種，所以

P(A)=

答：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中他能打開箱子的概率為知1－講解：總

結(jié)知1－講找全所有可能結(jié)果是解題的關(guān)鍵.1同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則下列事件發(fā)生的概率最大的是(

)A．兩正面都朝上B．兩背面都朝上C．一個(gè)正面朝上，另一個(gè)背面朝上D．三種情況發(fā)生的概率一樣大知1－練C2一個(gè)箱子中裝有紅、黃、黑三個(gè)小球，三個(gè)人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一個(gè)小球，摸出后不放回，摸出黑色小球?yàn)橼A，這個(gè)游戲(

)A．公平B．不公平C．先摸者贏的可能性大D．后摸者贏的可能性大知1－練A3知1－練小明和小亮做游戲，先各自在紙上寫一個(gè)正整數(shù)，然后都拿給對(duì)方看．他們約定：若兩人所寫的數(shù)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，則小明獲勝；若兩人所寫的數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，則小亮獲勝．這個(gè)游戲(

)A．對(duì)小明有利B．對(duì)小亮有利C．公平D．無法確定對(duì)誰有利C2知識(shí)點(diǎn)用概率說明幾何游戲的公平性知2－講例3甲、乙兩人要去風(fēng)景區(qū)游玩，僅知道每天開往風(fēng)景區(qū)有3輛汽車，并且舒適程度分別為上等、中等、下等3種，

但不知道怎樣區(qū)分這些車，也不知道它們會(huì)以怎樣的順

序開來.于是他們分別采用了不同的乘車辦法：甲乘第1

輛開來的車.乙不乘第1輛車，并且仔細(xì)觀察第2輛車的情

況，如比第1輛車好，就乘第2輛車;如不比第1輛車好，

就乘第3輛車.試問甲、乙兩人的乘車辦法，哪一種更有

利于乘上舒適度較好的車？容易知道3輛汽車開來的先后順序有如下6種可能情況：(上中下)，（上下中），（中上下），(中下上)，（下上中），（下中上）.假定6種順序出現(xiàn)的可能性相等，我們來看一看在各種可能的順序之下，甲、乙兩人分別會(huì)乘到哪一輛汽車：解：知2－講順序甲乙(上中下)上下(上下中)上中(中上下)中上(中下上)中上(下上中)下上(下中上)下中知2－講于是不難看出：甲乘到上等、中等、下等3種汽車的概率都是而乙乘到上等汽車的概率是,乘到中等汽車的概率是，乘到下等汽車的概率卻只有答：乙的乘車辦法更有利于乘上舒適度較好的車.解：知2－講總

結(jié)知2－講找出游戲規(guī)則下可能要發(fā)生的結(jié)果數(shù)需要理解游戲的規(guī)則，必須深入讀題。1知2－練如圖，小明、小剛利用兩個(gè)轉(zhuǎn)盤玩游戲，規(guī)則為將兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，如配成紫色(紅與藍(lán))小明得5分，否則小剛得3分，此規(guī)則(

)A．公平B．對(duì)小明有利C．對(duì)小剛有利D．不可預(yù)測(cè)對(duì)誰有利A2知2－練王紅和劉芳兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，如圖，把轉(zhuǎn)盤A，B分別分成3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，游戲規(guī)則：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止后指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字之和為7時(shí)，王紅勝；數(shù)字之和為8時(shí)，劉芳勝，那么這二人中獲勝可能性較大的是________．王紅對(duì)于游戲不公平的問題，可以利用相應(yīng)問題中的可能情形改動(dòng)游戲規(guī)則，使修改后游戲是公平的，而修改游戲規(guī)則的方式有多種情形，只要合理即可，一般采用使所獲得的概率相等達(dá)到目的.3.1用樹狀圖或表格求概率第2課時(shí)

用枚舉法和列表法求概率第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)12341．(2017?賀州)在“植樹節(jié)”期間,小王?小李兩人想通過摸球的方式來決定誰去參加學(xué)校植樹活動(dòng),規(guī)則如下：在兩個(gè)盒子內(nèi)分別裝入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四個(gè)和標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三個(gè)完全相同的小球,分別從兩個(gè)盒子中各摸出一個(gè)球,如果所摸出的球上的數(shù)字之和小于6,那么1類型利用概率判斷摸球游戲的公平性小王去,否則就是小李去．(1)用畫樹狀圖法或列表法求出小王去的概率；(2)小李說：“這種規(guī)則不公平”,你認(rèn)同他的說法嗎？請(qǐng)說明理由．解：(1)畫樹狀圖如圖所示．共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出的球上的數(shù)字之和小于6的情況有9種，∴P(小王去).(2)認(rèn)同，理由如下：∵P(小王去)＝

，P(小李去)＝

，

≠，∴規(guī)則不公平.返回2．(2017?營口)如圖,有四張背面完全相同的紙牌A,B,C,D,其正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形,將這四張紙牌背面朝上洗勻．2類型利用概率判斷翻牌游戲的公平性(1)從中隨機(jī)摸出一張,求摸出的牌面圖形是中心對(duì)稱圖形的概率；(2)小明和小亮約定做一個(gè)游戲,其規(guī)則如下：先由小明隨機(jī)摸出一張紙牌,不放回,再由小亮從剩下的紙牌中隨機(jī)摸出一張,若摸出的兩張牌面圖形都是軸對(duì)稱圖形小明獲勝,否則小亮獲勝,這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用列表法(或畫樹狀圖法)說明理由(紙牌用A,B,C,D表示)．解：(1)共有四張牌，牌面圖形是中心對(duì)稱圖形的有三張，∴摸出的牌面圖形是中心對(duì)稱圖形的概率是

.(2)這個(gè)游戲公平．理由：列表如圖：

ABCDA

(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)

(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)

(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)

共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩張牌面圖形都是軸對(duì)稱圖形的有6種結(jié)果，∴P(摸出的兩張牌面圖形都是軸對(duì)稱圖形)＝

，因此這個(gè)游戲公平．返回3．(2017?通遼)小蘭和小穎用下面兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做游戲,每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形,轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次,若兩次指針?biāo)笖?shù)字之和小于4,則小蘭勝,否則3類型利用概率判斷轉(zhuǎn)盤游戲的公平性小穎勝(指針指在分界線時(shí)重轉(zhuǎn)),這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法說明理由．解：這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的．理由：如圖：一共有6種等可能的情況，其中和小于4的情況有3種．∴P(和小于4)∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的．返回4．“五一”假期,某公司組織部分員工分別到A,B,C,D四地旅游,公司按定額購買了前往各地的車票．如圖是未制作完的車票種類和數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)4類型利用概率判斷擲骰子游戲的公平性圖回答下列問題：(1)若去D地的車票占全部車票的10%,請(qǐng)求出去D地車票的數(shù)量,并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖．(2)在(1)的前提下,若公司采用隨機(jī)抽取的方式分發(fā)車票,每人抽取一張(所有車票的形狀?大小?質(zhì)地完全相同且充分洗勻),那么員工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一張車票,小王?小李都想要,決定采取拋擲一枚各面分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體骰子的方法來確定這張車票的歸屬,具體規(guī)則如下：每人各拋擲一次,若小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字小,車票給小王,否則給小李．試用列表法或畫樹狀圖法分析,這個(gè)規(guī)則公平嗎？解：(1)設(shè)去D地的車票有x張，則x＝(x＋20＋40＋30)×10%，解得x＝10，即去D地的車票有10張，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．(2)員工小胡抽到去A地的概率為(3)列表如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字小的有6種，分別為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字小的概率為易知小王擲得著地一面的數(shù)字不小于小李擲得著地面的數(shù)字的概率為因?yàn)?/p>

≠，所以這個(gè)規(guī)則不公平．返回第三章

概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.2用頻率估計(jì)概率1課堂講解用頻率估計(jì)概率

頻率與概率的關(guān)系2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升400個(gè)同學(xué)中，一定有2個(gè)同學(xué)的生日相同（可以不同年）嗎？300個(gè)同學(xué)呢？可有人說：“50個(gè)同學(xué)中，就很可能有兩個(gè)同學(xué)的生日相同.”你同意這種說法嗎？與同伴交流.1知識(shí)點(diǎn)用頻率估計(jì)概率

議一議為了說明上述說法正確與否，我們可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用“50個(gè)人中有2個(gè)人的生日相同”的頻率來估計(jì)這一事件的概率.請(qǐng)你設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，并與同伴交流.知1－導(dǎo)知1－講1．頻率：在試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比值．2．用頻率估計(jì)概率①一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝p.②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或者可能出現(xiàn)的結(jié)果發(fā)

生的可能性不一定相等時(shí)，都可以通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)

概率．③注意點(diǎn)：一般地，用頻率估計(jì)概率時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)該盡

可能多，試驗(yàn)次數(shù)越多，結(jié)果越接近事件發(fā)生的概率．知1－講④概率是通過大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性得到的介于0～1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性大?。?．二級(jí)結(jié)論：(1)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，一個(gè)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在相應(yīng)的

概率附近．(2)頻率是通過試驗(yàn)得到的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)果，因試驗(yàn)次數(shù)的不

同而有所改變，是一個(gè)實(shí)際的具體值．概率是一個(gè)事件

發(fā)生的可能性大小的理論值，它不因試驗(yàn)次數(shù)的改變而

變化，是一個(gè)常數(shù)．知1－講【例1】

關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，下列說法正確的是(

)A．頻率等于概率B．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率附近C．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，概率穩(wěn)定在頻率附近D．試驗(yàn)得到的頻率與概率不可能相等導(dǎo)引：A.頻率只能估計(jì)概率；B.正確；C.概率是定值；D.可以相同，如“拋硬幣試驗(yàn)”，可得到正面向

上的頻率為0.5，與概率相同，故選B.B1

（中考·資陽）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有4個(gè)黑球

和若干個(gè)白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．搖

勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子

中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則

估計(jì)盒子中大約有白球(

)A．12個(gè)B．16個(gè)C．20個(gè)D．30個(gè)2在“拋擲正六面體”的試驗(yàn)中，正六面體的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”和“6”，

如果試驗(yàn)的次數(shù)增多，出現(xiàn)數(shù)字“6”的頻率的變化趨勢(shì)

是接近________．知1－練A2知識(shí)點(diǎn)頻率與概率的關(guān)系知2－講1．非等可能事件是無法用概率公式求概率的，只

能通過大量試驗(yàn)，用頻率來估計(jì)概率．2．非等可能事件一般是不能用替代物來模擬試驗(yàn)

的．知2－講【例2】

一粒木質(zhì)中國象棋子“兵”，它的正面雕刻一個(gè)“兵”字，

它的反面是平的．將它從一定高度下擲，落地反彈后

可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于

棋子的兩面不均勻，為了估計(jì)“兵”字面朝上的概率，

某同學(xué)做了棋子下擲試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：試驗(yàn)次數(shù)20406080100120140160“兵”字面朝上14384752667888相應(yīng)頻率0.700.450.630.590.550.56知2－講(1)請(qǐng)將數(shù)據(jù)表補(bǔ)充完整(精確到0.01)；(2)畫出“兵”字面朝上的頻率分布折線圖；(3)如將試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，這個(gè)試驗(yàn)的頻

率將穩(wěn)定在它的概率附近，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)概率是多少？導(dǎo)引：利用“頻率＝事件發(fā)生的次數(shù)÷試驗(yàn)次數(shù)”完成表格，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化成折線圖，結(jié)合折線圖估計(jì)事件的概率．知2－講解：(1)表中從左到右依次填18，0.52，0.55.(2)繪制的頻率分布折線圖如圖.(3)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“兵”字面朝上的頻率逐漸穩(wěn)

定在0.55左右，利用這個(gè)頻率估計(jì)P（“兵”字面朝上）

＝0.55.知2－練王老師將1個(gè)黑球和若干個(gè)白球放入一個(gè)不透明的口袋并攪

勻，讓若干學(xué)生進(jìn)行摸球試驗(yàn)，每次摸出一個(gè)球(有放回)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到黑球的次數(shù)m233160130203251摸到黑球的頻率0.2300.2070.3000.2600.254頻率與概率間的關(guān)系：(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映；(2)概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，

所以可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)

得到事件發(fā)生的概率，二者不能等同．注意：用頻率估計(jì)概率大小時(shí)，(1)試驗(yàn)要在相同條件下進(jìn)行；(2)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)要足夠多．3.2用頻率估計(jì)概率第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1234567891011121．求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率的基本方法可以是：通過大量的重復(fù)試驗(yàn),用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的_____去估計(jì)它的概率．頻率返回1知識(shí)點(diǎn)用頻率估計(jì)概率2．(2017?營口)在一個(gè)不透明的箱子里裝有紅色?藍(lán)色?黃色的球共20個(gè),除顏色外,形狀?大小?質(zhì)地等完全相同,小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅色?黃色球的頻率分別穩(wěn)定在10%和15%,則箱子里藍(lán)色球的個(gè)數(shù)很可能是________個(gè)．返回153．(2017?蘭州)一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)