垂直均分線(xiàn)角均分線(xiàn)綜合應(yīng)用一．解答題（共30小題）1．如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說(shuō)明AE=CF．2．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM均分∠BAD，DM均分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點(diǎn)．3．已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF，當(dāng)D點(diǎn)在什么地點(diǎn)時(shí)，DE=DF？并加以證明．4．如圖，∠B=∠C=90°，DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，求證：E是BC的中點(diǎn)．5．如圖在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD均分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周長(zhǎng)．6．如圖，AD為∠BAC的均分線(xiàn)，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，試說(shuō)明：BE=CF．7．如圖，AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的長(zhǎng)．8．如圖，∠ABC=60°，點(diǎn)D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：（1）∠ABD的度數(shù)；（2）DB的長(zhǎng)度．9．如圖．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的均分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．問(wèn)：（1）點(diǎn)E在∠ABC的均分線(xiàn)上嗎？（2）AD+BC與AB的大小關(guān)系如何？請(qǐng)證明．10．如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE均分∠ADC．（1）求證：AE均分∠BAD；（2）判斷AB、CD、AD之間的數(shù)目關(guān)系，并證明；（3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．11．如圖，BD均分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的長(zhǎng)．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE均分∠ABC，交AC于E，DE垂直均分AB于D，求證：BE+DE=AC．13．已知：如圖，AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BE=CF，求證：AD是BC的中垂線(xiàn)．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直均分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，垂足為D．求證：∠CAB=∠AED．15．如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直均分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN訂交于點(diǎn)F．（1）若△CMN的周長(zhǎng)為15cm，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．16．如圖，△ABC中，BD均分∠ABC，BC的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度數(shù)；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求點(diǎn)D到AB的距離．17．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分別垂直均分AB、AC．（1）求∠PAQ的度數(shù)；（2）假如BC=10cm，求△APQ的周長(zhǎng)．18．電信部門(mén)要修筑一座電視信號(hào)發(fā)射塔P，依據(jù)設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離一定相等，到兩條高速公路m和n的距離也一定相等．請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的地點(diǎn)．（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖印跡）19．如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直均分線(xiàn)，若BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周長(zhǎng)．20．如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線(xiàn)，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，點(diǎn)G為垂足．（1）說(shuō)明：DC=BE；（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度數(shù)．21．以下圖，MP和NQ分別垂直均分AB和AC．（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)；（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度數(shù)．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AE⊥BE于點(diǎn)E，且BE=．求證：AB均分∠EAD．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點(diǎn)的中線(xiàn)，E是AC的中點(diǎn)，連結(jié)AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直均分線(xiàn)分別交AC，AD，AB于點(diǎn)E，O，F(xiàn)．（1）求證：點(diǎn)O在AB的垂直均分線(xiàn)上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度數(shù)．25．如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點(diǎn)D、E是線(xiàn)段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延伸線(xiàn)交BC于點(diǎn)N，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)NE訂交于點(diǎn)F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說(shuō)明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把研究過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求起碼寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程以后，能夠從以下①、②中選用一個(gè)增補(bǔ)或許改換已知條件，達(dá)成你的證明．1、畫(huà)出將△BAD沿BA方向平移BA長(zhǎng)，而后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點(diǎn)K在線(xiàn)段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．附帶題：如圖3，若點(diǎn)D、E是直線(xiàn)AC上兩動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明原因．26．如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)你研究線(xiàn)段DE與AM之間的關(guān)系．說(shuō)明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把研究過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求起碼寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程以后，能夠從以下①、②中選用一個(gè)增補(bǔ)或改換已知條件，達(dá)成你的證明．①畫(huà)出將△ACM繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；②∠BAC=90°（如圖）附帶題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其余條件不變，嘗試究線(xiàn)段DE與AM之間的關(guān)系．27．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q分別從B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答以下問(wèn)題：（1）用含t的代數(shù)式表示線(xiàn)段AP，AQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為什么值時(shí)△APQ是以PQ為底的等腰三角形？（3）當(dāng)t為什么值時(shí)PQ∥BC？28．如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為什么值時(shí)，CP把△ABC的周長(zhǎng)分紅相等的兩部分．（2）當(dāng)t為什么值時(shí)，CP把△ABC的面積分紅相等的兩部分，并求出此時(shí)CP的長(zhǎng)；（3）當(dāng)t為什么值時(shí)，△BCP為等腰三角形？29．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求△ACP的面積．（2）t為什么值時(shí)，線(xiàn)段AP是∠CAB的均分線(xiàn)？（3）請(qǐng)利用備用圖2持續(xù)研究：當(dāng)t為什么值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？（直接寫(xiě)出結(jié)論）30．如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的均分線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．試回答：（1）圖中等腰三角形是．猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是（2）如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是．在第（1）問(wèn)中

．原因：EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？（3）如圖③，若△

ABC中∠B的均分線(xiàn)

BO與三角形外角均分線(xiàn)

CO交于

O，過(guò)

O點(diǎn)作

OE∥BC交AB于E，交

AC于

F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？

EF與

BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的原因．垂直均分線(xiàn)

角均分線(xiàn)綜合應(yīng)用

_2017

年

03月

11日的初中數(shù)學(xué)組卷參照答案與試題分析一．解答題（共30小題）1．（2016?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說(shuō)明AE=CF．【剖析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，經(jīng)過(guò)證明△AEH≌△CFG即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角均分線(xiàn)的性質(zhì)）∵EF∥BC，AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)的性質(zhì)；綜合利用了角均分線(xiàn)的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判斷等知識(shí)點(diǎn)．2．（2016秋?寧江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM均分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點(diǎn)．【剖析】（1）依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)獲得∠BAD+∠ADC=180°，依據(jù)角均分線(xiàn)的定義獲得∠MAD+∠ADM=90°，依據(jù)垂直的定義獲得答案；（2）作NM⊥AD，依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)獲得BM=MN，MN=CM，等量代換獲得答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM均分∠BAD，DM均分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM均分∠BAD，DM均分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M為BC的中點(diǎn)．【評(píng)論】本題考察的是角均分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)和角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的重點(diǎn)．3．（2016春?濟(jì)南校級(jí)期末）已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF，當(dāng)D點(diǎn)在什么地點(diǎn)時(shí)，DE=DF？并加以證明．【剖析】當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，AD為等腰三角形底邊上的中線(xiàn)，依據(jù)等腰三角形的

“三線(xiàn)合一”可知

AD為∠A的均分線(xiàn)，又DE⊥AB，DF⊥AC，依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)可證DE=DF．【解答】解：當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF．原因：∵AD為等腰三角形底邊上的中線(xiàn)，∴AD均分∠BAC，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．【評(píng)論】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)，角均分線(xiàn)性質(zhì)．重點(diǎn)是運(yùn)用等腰三角形的

“三線(xiàn)合一”解題．4．（2016春?沭陽(yáng)縣期末）如圖，∠B=∠C=90°，DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，求證：E是BC的中點(diǎn)．【剖析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，依據(jù)角均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等馬上獲得結(jié)論．【解答】證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，∵∠B=∠C=90°，∴CD⊥BC，AB⊥BC，∵DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，∴CE=DF，EF=BE，∴CE=BE，∴E是BC的中點(diǎn)．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出協(xié)助線(xiàn)是解題的重點(diǎn)．5．（2016春?潛江校級(jí)期中）如圖在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD均分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周長(zhǎng)．【剖析】利用角均分線(xiàn)的性質(zhì)求得AE=AC，CD=DE，而后利用線(xiàn)段中的等長(zhǎng)來(lái)計(jì)算△DEB的周長(zhǎng)．【解答】解：∵∠C=90°，AD均分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，∴AC=AE，CD=DE，AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周長(zhǎng)=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm．【評(píng)論】本題考察了三角形的全等的性質(zhì)；解題的重點(diǎn)是利用角均分線(xiàn)的性質(zhì)求得AE=AC，CD=DE，要學(xué)會(huì)進(jìn)行線(xiàn)段的等效轉(zhuǎn)移．6．（2016秋?監(jiān)利縣校級(jí)期中）如圖，AD為∠BAC的均分線(xiàn)，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，試說(shuō)明：BE=CF．【剖析】先由角均分線(xiàn)的性質(zhì)就能夠得出DB=DF，再證明△BDE≌△FDC就能夠求出結(jié)論．【解答】解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD為∠BAC的均分線(xiàn)，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判斷與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是重點(diǎn)．7．（2016秋?紅安縣期中）如圖，AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的長(zhǎng)．【剖析】依據(jù)角均分線(xiàn)性質(zhì)求出DF，依據(jù)三角形面積公式求出△ABD的面積，求出△ADC面積，即可求出答案．【解答】解：∵AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面積為7，∴△ADC的面積為7﹣4=3，AC×DF=3，AC×2=3，∴AC=3．【評(píng)論】本題考察的是角均分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答本題的重點(diǎn)．8．（2016春?畢節(jié)市校級(jí)期中）如圖，∠ABC=60°，點(diǎn)D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：（1）∠ABD的度數(shù)；（2）DB的長(zhǎng)度．【剖析】（1）依據(jù)DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，即可得出點(diǎn)D在∠ABC的角均分線(xiàn)上，由∠ABC=60°，即可得出∠ABD=30°；（2）依據(jù)在直角三角形中，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，即可得出DB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，∴DB均分∠ABC，即∠ABD=∠ABC=×60°=30°；（2）在直角三角形BFD中，∵∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∴DE=5，∴BD=2DE=12．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，含30°角的直角邊等于斜邊的一半．9．（2016秋?東勝區(qū)校級(jí)月考）如圖．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的均分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．問(wèn)：（1）點(diǎn)E在∠ABC的均分線(xiàn)上嗎？（2）AD+BC與AB的大小關(guān)系如何？請(qǐng)證明．【剖析】（1）連結(jié)BE，作EH⊥AB于H，如圖，利用角均分線(xiàn)的性質(zhì)得

ED=EH，而

ED=EC，則

EC=EH，而后依據(jù)角均分線(xiàn)的判斷方法即可獲得BE均分∠ABC；（2）利用“HL可”證明Rt△ADE≌Rt△AHE獲得AD=AH，相同可證明Rt△BCE≌Rt△BHE獲得BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB．【解答】解：（1）連結(jié)BE，作EH⊥AB于H，如圖，∵AE均分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，∴ED=EH，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴ED=EC，∴EC=EH，而AD∥BC，DC⊥AD，∴EC⊥BC，∴BE均分∠ABC，即點(diǎn)E在∠ABC的均分線(xiàn)上；（2）AD+BC=AB．原因以下：在Rt△ADE和Rt△AHE中，Rt△ADE≌Rt△AHE，AD=AH，相同可證明Rt△BCE≌Rt△BHE，BC=BH，AD+BC=AH+BH=AB．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)：角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角均分線(xiàn)上．也考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)．10．（2016秋?襄城區(qū)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE均分∠ADC．（1）求證：AE均分∠BAD；（2）判斷AB、CD、AD之間的數(shù)目關(guān)系，并證明；（3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．【剖析】（1）過(guò)點(diǎn)依據(jù)等量代換可得

E作EF⊥DA于點(diǎn)F，第一依據(jù)角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得BE=EF，再依據(jù)角均分線(xiàn)的判斷可得AE均分∠BAD；

CE=EF，（2）第一證明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代換可得結(jié)論；（3）依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)可得EF=CE，再利用三角形的面積公式可得答案．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，∵∠C=90°，DE均分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE均分∠BAD．（2）證明：AD=CD+AD，∵∠C=∠DFE=90°，∴在Rt△DFE和Rt△DCE中

，∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），∴DC=DF，同理AF=AB，∵AD=AF+DF，∴AD=CD+AD；（3）解：∵CB=8，E是BC的中點(diǎn)，∴CE=4，∴EF=4，∵AD=10，∴S△ADE=10×4×=20．【評(píng)論】本題主要考察了角均分線(xiàn)的性質(zhì)和判斷，以及全等三角形的性質(zhì)和判斷，重點(diǎn)是掌握角均分線(xiàn)的性質(zhì)和判斷定理．11．（2016秋?黃岡校級(jí)月考）如圖，BD均分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的長(zhǎng)．【剖析】依據(jù)角均分線(xiàn)性質(zhì)得出DE=DF，依據(jù)三角形的面積公式得出對(duì)于DE的方程，求出即可．【解答】解：∵BD均分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，∴×6×DE+×8×DF=28，∴DE=DF=4．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)定義的應(yīng)用，能依據(jù)角均分線(xiàn)性質(zhì)得出DE=DF是解本題的重點(diǎn)．12．（2016?歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE均分∠ABC，交AC于E，DE垂直均分AB于D，求證：BE+DE=AC．【剖析】依據(jù)角均分線(xiàn)性質(zhì)得出CE=DE，依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)性質(zhì)得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】證明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE均分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直均分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【評(píng)論】本題考察了角均分線(xiàn)性質(zhì)和線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．13．（2016?蕭山區(qū)二模）已知：如圖，AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BE=CF，求證：AD是BC的中垂線(xiàn)．【剖析】由AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，既而證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得∠B=∠C，證得AB=AC，而后由三線(xiàn)合一，證得AD是BC的中垂線(xiàn)．【解答】證明：∵AD是△ABC的角均分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），∴∠B=∠C，AB=AC，∵AD是△ABC的角均分線(xiàn)，AD是BC的中垂線(xiàn)．【評(píng)論】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)與判斷以及全等三角形的判斷與性質(zhì)．注意掌握三線(xiàn)合一性質(zhì)的應(yīng)用．14．（2016?懷柔區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直均分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，垂足為D．求證：∠CAB=∠AED．【剖析】依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)得出AE=BE，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵DE是線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【評(píng)論】本題考察的是線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上隨意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等是解答本題的重點(diǎn)．15．（2016秋?農(nóng)安縣期末）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直均分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN訂交于點(diǎn)F．（1）若△CMN的周長(zhǎng)為15cm，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【剖析】（1）依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，BN=CN，而后求出△CMN的周長(zhǎng)=AB；（2）依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，依據(jù)等邊平等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，而后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分別垂直均分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長(zhǎng)為15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【評(píng)論】本題考察了線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊平等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（2）整體思想的利用是解題的重點(diǎn)．16．（2016春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，BD均分∠ABC，BC的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度數(shù)；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求點(diǎn)D到AB的距離．【剖析】（1）依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)獲得FB=FC，依據(jù)角均分線(xiàn)的定義獲得∠CBA=48°，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）依據(jù)三角形的面積公式求出DG，依據(jù)角均分線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵BD均分∠ABC，∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，∵EF是BC的中垂線(xiàn)，∴FB=FC，∴∠FCB=∠FBC=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°；（2）作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，∵BD均分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB，∴DH=DG，∵BF：FD=5：3，S△BCF=10，∴S△DCF=6，∴S△BCD=16，∴DG=，∴DH=DG=，即點(diǎn)D到AB的距離為．【評(píng)論】本題考察的是線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)、角均分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握段的垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等、角的均分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是今日的重點(diǎn)．17．（2016春?東明縣期中）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分別垂直均分AB、AC．（1）求∠PAQ的度數(shù)；（2）假如BC=10cm，求△APQ的周長(zhǎng)．【剖析】（1）依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等可得PA=PB，再依據(jù)等邊平等角的性質(zhì)可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，而后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=60°，而后進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）求出△APQ的周長(zhǎng)=BC，而后輩入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：（1）∵PM垂直均分AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，同理，QA=QC，∴∠QAC=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周長(zhǎng)為10cm．【評(píng)論】本題考察了線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊平等角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)熟記解題的重點(diǎn)．18．（2016秋?西市里校級(jí)期中）電信部門(mén)要修筑一座電視信號(hào)發(fā)射塔P，依據(jù)設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離一定相等，到兩條高速公路m和n的距離也一定相等．請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的地點(diǎn)．（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保存作圖印跡）【剖析】依據(jù)題意，P點(diǎn)既在線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)上，又在兩條公路所夾角的均分線(xiàn)上．故兩線(xiàn)交點(diǎn)即為發(fā)射塔P的地點(diǎn)．【解答】解：設(shè)兩條公路訂交于O點(diǎn)．P為線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)與∠MON的均分線(xiàn)交點(diǎn)或是與∠QON的均分線(xiàn)交點(diǎn)即為發(fā)射塔的地點(diǎn)．如圖，知足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即P、P′．【評(píng)論】本題考察了線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)和角的均分線(xiàn)的性質(zhì)，屬基本作圖題．19．（2016秋?鶴慶縣校級(jí)期中）如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直均分線(xiàn)，若BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周長(zhǎng)．【剖析】依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)獲得EA=EC，依據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直均分線(xiàn)，∴EA=EC，∴△EBC的周長(zhǎng)=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm，答：△EBC的周長(zhǎng)為18cm．【評(píng)論】本題考察的是線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的重點(diǎn)．20．（2016秋?鹽都區(qū)期中）如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線(xiàn)，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，點(diǎn)G為垂足．（1）說(shuō)明：DC=BE；（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度數(shù)．【剖析】（1）由G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE獲得DG是CE的垂直均分線(xiàn)，依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)獲得DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線(xiàn)，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半獲得DE=BE=AB，即可獲得DC=BE；（2）由DE=DC獲得∠DEC=∠BCE，由DE=BE獲得∠B=∠EDB，依據(jù)三角形外角性質(zhì)獲得∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，則∠B=2∠BCE，由此依據(jù)外角的性質(zhì)來(lái)求∠BCE的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，∵G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直均分線(xiàn)，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中線(xiàn)，∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線(xiàn)，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=72°，則∠BCE=24°．【評(píng)論】本題考察了線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩頭點(diǎn)的距離相等．也考察了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)．21．（2016秋?和平區(qū)期中）以下圖，MP和NQ分別垂直均分AB和AC．（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)；（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度數(shù)．【剖析】（1）先依據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=75°，便不難求出∠PAQ的度數(shù)為30°；（2）依據(jù)線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)，得AP=BP，AQ=CQ，則∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，則∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=150°，則∠B+∠C=75°，從而求解．【解答】解：（1）∵∠BAC=105°，∴∠ABP+∠ACQ=180°﹣105°=75°，∵M(jìn)P、NQ分別垂直均分AB和AC，∴PB=PA，QC=QA．∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°，∴∠PAQ=105°﹣75°=30°；（2）∵M(jìn)P和NQ分別垂直均分AB和AC，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C．∵∠PAQ=25°，∴∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=155°，∴∠B+∠C=77.5°．∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．【評(píng)論】本題綜合運(yùn)用了線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)．22．（2016?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AE⊥BE于點(diǎn)E，且BE=．求證：AB均分∠EAD．【剖析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)獲得BD=BC，AD⊥BC依據(jù)角均分線(xiàn)的判斷定理即可獲得結(jié)論．．【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB均分∠EAD．【評(píng)論】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)，角均分線(xiàn)的性質(zhì)，嫻熟掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的重點(diǎn)．23．（2016?黃岡模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點(diǎn)的中線(xiàn)，E是AC的中點(diǎn)，連結(jié)AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．【剖析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)獲得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，依據(jù)等腰三角形的判斷定理獲得∠CAD=∠ADE．依據(jù)余角的性質(zhì)獲得∠BAD=∠BDF，等量代換即可獲得結(jié)論．【解答】證明：∵AB=AC，AD是△ABC點(diǎn)的中線(xiàn)，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE．【評(píng)論】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，嫻熟掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的重點(diǎn)．24．（2016春?西藏校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直均分線(xiàn)分別交AC，AD，AB于點(diǎn)E，O，F(xiàn)．（1）求證：點(diǎn)O在AB的垂直均分線(xiàn)上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度數(shù)．【剖析】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，依據(jù)垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)可得BO=AO，依此即可證明點(diǎn)O在AB的垂直均分線(xiàn)上；（2）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再依據(jù)垂直的定義，等腰三角形的性質(zhì)和角的和差應(yīng)選即可獲得∠BOF的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵AD是BC的垂直均分線(xiàn)，∴BO=CO，∵OE是AC的垂直均分線(xiàn)，∴AO=CO，∴BO=AO，∴點(diǎn)O在AB的垂直均分線(xiàn)上；（2）解：∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD均分∠BAC，∵∠CAD=20°，∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°﹣40°=50°，∵AO=CO，∴∠OBA=∠BAD=20°，∴∠BOF=∠EFA﹣∠OBA=50°﹣20°=30°．【評(píng)論】考察了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)，重點(diǎn)是嫻熟掌握等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)．25．（2006?大連）如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點(diǎn)D、E是線(xiàn)段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延伸線(xiàn)交BC于點(diǎn)N，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)NE訂交于點(diǎn)F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說(shuō)明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把研究過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求起碼寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程以后，能夠從以下①、②中選用一個(gè)增補(bǔ)或許改換已知條件，達(dá)成你的證明．1、畫(huà)出將△BAD沿BA方向平移BA長(zhǎng)，而后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點(diǎn)K在線(xiàn)段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．附帶題：如圖3，若點(diǎn)D、E是直線(xiàn)AC上兩動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明原因．【剖析】（1）要證DF=EF，就要證出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，察看這兩個(gè)角，不可以直接用角的大小關(guān)系或全等來(lái)得出相等，那么可經(jīng)過(guò)建立全等三角形來(lái)得出一個(gè)和兩個(gè)分別相等的中間值，以此來(lái)證出兩角相等，那么可過(guò)C作CP⊥AC，那么我們可經(jīng)過(guò)證三角形ABD和APC全等來(lái)得出∠ADB=∠ACP，經(jīng)過(guò)證三角形CPN和CEN全等來(lái)得出∠MEC=∠NPC．先看第一對(duì)三角形，已知的條件有AB=AD，一組直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，所以∠ABD=∠PAD，那么兩三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45°，一條公共邊CN，那么后邊的一對(duì)三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得證．（2）解題思路和（1）相同，也是先證三角形ABD和APC全等，后證三角形CPN和CEN全等，來(lái)得出結(jié)論．【解答】解：△DEF是等腰三角形證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AN延伸線(xiàn)于點(diǎn)PRt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．附帶題：△DEF為等腰三角形證明：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AM的延伸線(xiàn)于點(diǎn)PRt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P∵AD=EC，CE=CP又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF為等腰三角形．【評(píng)論】本題主要考察了等腰三角形的判斷和全等三角形的判斷與性質(zhì)；經(jīng)過(guò)已知和所求條件正確的建立出全等三角形是解題的重點(diǎn)．26．（2006?西崗區(qū)）如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)你研究線(xiàn)段DE與AM之間的關(guān)系．說(shuō)明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把研究過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求起碼寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程以后，能夠從以下①、②中選用一個(gè)增補(bǔ)或改換已知條件，達(dá)成你的證明．①畫(huà)出將△ACM繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；②∠BAC=90°（如圖）附帶題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其余條件不變，嘗試究線(xiàn)段DE與AM之間的關(guān)系．【剖析】（1）分三種狀況議論，當(dāng)∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；依據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得ED=2AM；從而能夠在∠BAC＞90°與∠BAC＜90°時(shí)，比較可得有ED=2AM的結(jié)論；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，選用②易得答案．【解答】解：（1）分三種狀況；當(dāng)∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)∴AM=BM=MC=∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM當(dāng)∠BAC＞90°，易得ED=2AM當(dāng)∠BAC＜90°，易得ED=2AM（2）已知（1）的結(jié)論，若∠BAC=90°，可得ED=2AM附帶：聯(lián)合上題可得：2AM=DE延伸CA到F使AF=AC，連結(jié)BF易證△ABF≌△ADE∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．【評(píng)論】本題為研究性題目，要修業(yè)生能全面考察可能出現(xiàn)的狀況，并挨次求出此中的關(guān)系．27．（2012?中山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q分別從B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答以下問(wèn)題：（1）用含t的代數(shù)式表示線(xiàn)段AP，AQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為什么值時(shí)△APQ是以PQ為底的等腰三角形？（3）當(dāng)t為什么值時(shí)PQ∥BC？【剖析】（1）由題意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t．（2）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．（3）若PQ∥BC，則有AQ：AC=AP：AB．從而問(wèn)題可求．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°．又∵AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t．（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，∴AP=AQ，即12﹣2t=t，解得t=4，即當(dāng)t=4秒時(shí)△APQ是等腰三角形．（3）∵當(dāng)AQ：AC=AP：AB時(shí)，有PQ∥BC，t：6=（12﹣2t）：12，解得t=3．即當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ∥BC．【評(píng)論】本題考察等腰三角形的判斷和直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力．28．（2015秋?杭州校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為什么值時(shí)，CP把△ABC的周長(zhǎng)分紅相等的兩部分．（2）當(dāng)t為什么值時(shí)，CP把△ABC的面積分紅相等的兩部分，并求出此時(shí)（3）當(dāng)t為什么值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

CP的長(zhǎng)；【剖析】（1）先由勾股定理求出△ABC的斜邊AB=10cm，則△ABC的周長(zhǎng)為24cm，所以當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分紅相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，再依據(jù)時(shí)間=行程÷速度即可求解；（2）依據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分紅相等的兩部分，從而求解即可；（3）△BCP為等腰三角形時(shí)，分三種狀況進(jìn)行議論：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．【解答】解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周長(zhǎng)=8+6+10=24cm，∴當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分紅相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，t=12÷2=6（秒）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分紅相等的兩部分，此時(shí)CA+AP=8+5=13（cm），t=13÷2=6.5（秒），CP=AB=×10=5cm；（3）△BCP為等腰三角形時(shí)，分三種狀況：①假如CP=CB，那么點(diǎn)P在AC上，CP=6cm，此時(shí)t=6÷2=3（秒）；假如CP=CB，那么點(diǎn)P在AB上，CP=6cm，此時(shí)t=5.4（秒）（點(diǎn)P還能夠在AB上，此時(shí)，作AB邊上的高CD，利用等面積法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））②假如BC=BP，那么點(diǎn)P在AB上，BP=