專題平面圖形的認識（二）章末重難點題型【蘇科版】【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】【方法點撥】直線AB，CD被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點，圍繞兩個頂點的8個角之間有三種特殊關(guān)系：*同位角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD的同側(cè)，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對角叫做同位角；*內(nèi)錯角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這樣的一對角叫做內(nèi)錯角；*同旁內(nèi)角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角；【例1】（2019春?巴州區(qū)校級期中）如圖，下列說法中錯誤的是（）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁內(nèi)角 C．∠2和∠4是對頂角 D．∠2和∠5是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，對頂角以及內(nèi)錯角的定義進行判斷．【答案】解：A、∠3和∠5是同位角，故本選項不符合題意．B、∠4和∠5是同旁內(nèi)角，故本選項不符合題意．C、∠2和∠4是對頂角，故本選項不符合題意．D、∠2和∠5不是內(nèi)錯角，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．【變式1-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）同學(xué)們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角 B．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 C．同位角、對頂角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯角、對頂角【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【答案】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角．故選：B．【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．【變式1-2】（2019春?閔行區(qū)期中）如圖，同位角共有（）對．A．6 B．5 C．8 D．7【分析】根據(jù)同位角的概念解答即可．【答案】解：同位角有5對，∠4與∠7，∠3與∠8，∠1與∠7，∠5與∠6，∠2與∠9，∠1與∠3，故選：A．【點睛】此題考查同位角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角解答．【變式1-3】（2019春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，下列結(jié)論正確的是（）A．∠4和∠5是同旁內(nèi)角 B．∠3和∠2是對頂角 C．∠3和∠5是內(nèi)錯角 D．∠1和∠5是同位角【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，對頂角，內(nèi)錯角以及同位角的定義解答．【答案】解：A、∠4和∠5是鄰補角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤．B、∠3和（∠1+∠2）是對頂角，故本選項錯誤．C、∠3和∠5是內(nèi)錯角，故本選項正確．D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角的定義，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．【考點2平行線的判定】【方法點撥】兩條直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行：平行線判定定理1：同位角相等，兩直線平行平行線判定定理2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行平行線判定定理3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行平行線判定定理4：兩條直線同時垂直于第三條直線，兩條直線平行【例2】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，下列條件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判斷直線l1∥l2的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對各小題進行逐一判斷即可．【答案】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本條件不合題意；②∵∠4＝∠5，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本條件不合題意；④∵∠1＝∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，點E在AC的延長線上，對于給出的四個條件：（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．能判斷AB∥CD的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行線的判定判斷即可．【答案】解：（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，故選：C．【點睛】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．【變式2-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級月考）如圖，下列條件，其中能判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ABC＝180°．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】根據(jù)平行線的判定方法對四個條件分別進行判斷即可．【答案】解：①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；②∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD；③∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；④∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；∴能判定AB∥CD的有1個，故選：C．【點睛】本題考查了平行線判定：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式2-3】（2019春?吳江區(qū)期中）以下四種沿AB折疊的方法中，由相應(yīng)條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．展開后測得∠1＝∠2 B．展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測得∠1＝∠2 D．測得∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進行分析，即可解答．【答案】解：A、∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行判定，故正確；B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由圖可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故正確；C、測得∠1＝∠2，∵∠1與∠2即不是內(nèi)錯角也不是同位角，∴不一定能判定兩直線平行，故錯誤；D、∠1＝∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行進行判定，故正確．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理．【考點3利用平行線的性質(zhì)求角】【方法點撥】兩條直線平行則同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補.【例3】（2019春?澗西區(qū)校級月考）如圖所示，將含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角頂點放在相互平行的兩條直線其中一條上，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)（）A．28° B．22° C．32° D．38°【分析】延長AB交CF于E，求出∠ABC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AEC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．【答案】解：如圖，延長AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的運用，主要考查學(xué)生的推理能力．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式3-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．68° B．58° C．48° D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角構(gòu)建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．【答案】解：如圖所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，故選：B．【點睛】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，直角，平角和角的和差相關(guān)知識的應(yīng)用，重點是平行線的性質(zhì)．【變式3-2】（2018秋?襄汾縣期末）如圖，某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點拐彎后與原來方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【分析】由題意可得AB∥DE，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，由平行線的性質(zhì)可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，繼而求出∠DCF，再由平行線的性質(zhì)，即可得出∠CDE的度數(shù)．【答案】解：由題意得，AB∥DE，如圖，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．故選：A．【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C點先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解．【變式3-3】（2018秋?方城縣期末）將AD與BC兩邊平行的紙條ABCD按如圖所示折疊，則∠1的度數(shù)為（）A．72° B．45° C．56° D．60°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠C'EF＝62°，利用平行線的性質(zhì)進行解答即可．【答案】解：∵一張長方形紙條ABCD折疊，∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）．正確觀察圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點4利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行】【例4】（2019秋?渦陽縣期中）已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求證：AB∥CD．（在每步證明過程后面注明理由）【分析】結(jié)合圖形，利用平行線的性質(zhì)及判定逐步分析解答．【答案】證明：∵∠1與∠CGD是對頂角，∴∠1＝∠CGD（對頂角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代換），∴AE∥FD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），∴∠A＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題利用了平行線的判定和性質(zhì)，還利用了對頂角相等，等量代換等知識．【變式4-1】（2019春?江城區(qū)期中）如圖，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB與DG平行嗎？為什么？【分析】結(jié)論：AB∥DG．只要證明∠BAD＝∠2即可．【答案】解：結(jié)論：AB∥DG．理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴AD∥EF，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，垂線等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式4-2】（2019春?懷寧縣期末）如圖，已知點A．D，B在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，試判斷DE、BC有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】由∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD可證得∠CDO＝∠E；再由∠3＝∠E得∠CDO＝∠3，即得DE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【答案】解：DE∥BC．證明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD（對頂角相等），∴在△AOE和△COD中，∠CDO＝∠E（三角形內(nèi)角和定理）；∵∠3＝∠E，∴∠CDO＝∠3，∴DE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題主要考查平行線的判定，涉及到三角形內(nèi)角和定理、對頂角等知識點．【變式4-3】（2019春?明光市期末）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，請問AB與DE是否平行，并說明理由．【分析】結(jié)論：AB∥DE．首先證明EF∥BC，再證明∠B＝∠EDC即可．【答案】解：結(jié)論：AB∥DE．理由：∵∠1+∠ADC＝180°（平角的定義），又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠ADC＝∠2（等量代換），∴EF∥DC（同位角相等兩直線平行），∴∠3＝∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠3＝∠B（已知），∴∠EDC＝∠B（等量代換），∴AB∥DE（同位角相等兩直線平行）．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【考點5利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等】【例5】如圖，已知BD⊥AC，EF⊥AC，點D，F(xiàn)是垂足，∠1＝∠2，求證：∠ADG＝∠C．【分析】由BD與EF都與AC垂直，利用垂直于同一條直線的兩直線平行得到BD與EF平行，利用兩直線平行同位角相等得到一對角相等，再由已知的一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到DG與BC平行，利用兩直線平行同位角相等即可得證．【答案】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定義），∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠CBD（等量代換），∴GD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠ADG＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2019春?彭澤縣期中）如圖，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，則∠F與∠G的大小關(guān)系如何？請說明理由【分析】根據(jù)平行線的判定得出AC∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBE＝∠DEB，求出∠FBE＝∠GEB，根據(jù)平行線的判定得出BF∥EG即可．【答案】解：∠F＝∠G，理由是：∵∠ABE+∠DEB＝180°，∴AC∥ED，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠1＝∠2，∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，即∠FBE＝∠GEB，∴BF∥EG，∴∠F＝∠G．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．【變式5-2】（2019春?惠陽區(qū)校級期中）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求證：CE∥GF；（2）試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若∠D＝30°，求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可證CE∥GF；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C＝∠FGD，根據(jù)等量關(guān)系可得∠FGD＝∠EFG，證出AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）由平行線的性質(zhì)得出∠DEF＝∠D＝30°，即可得出答案．【答案】（1）證明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∴∠AED+∠D＝180°，理由如下：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）解：∵AB∥CD，∠D＝30°，∴∠DEF＝∠D＝30°，∴∠AED＝180°﹣30°＝150°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及平角的定義等知識；平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式5-3】（2019春?北流市期末）如圖，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，證明∠B＝∠C．【分析】先根據(jù)∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，即可得到∠1＝∠2，進而得出∠2＝∠C，判定AB∥CD，即可得到∠1＝∠B，即可得到∠B＝∠C．【答案】證明：∵BE⊥FD于G，∴∠1+∠D＝90°，又∵∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠C，∴∠2＝∠C，∴AB∥CD，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．【考點6平移變換的運用】【例6】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，將周長為12cm的△ABC沿邊BC向右平移3cm得到△A′B′C′，則四邊形ABC′A′的周長為（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【分析】根據(jù)平移的定義求得AA'和BC'的長，則四邊形的周長即可求解．【答案】解：由題意知，BB'＝CC'＝AA'＝3cm，則四邊形ABC'A'的周長＝12+3+3＝18cm．故選：B．【點睛】本題考查了平移的定義，理解平移的定義求得AA'和BC'的長是關(guān)鍵．【變式6-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個沿點B到點C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距離為6，則陰影部分的面積（）A．40 B．42 C．45 D．48【分析】先判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，再根據(jù)平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得DE＝AB，然后求出HE，根據(jù)平移的距離求出BE＝6，然后利用梯形的面積公式列式計算即可得解．【答案】解：∵兩個三角形大小一樣，∴陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，由平移的性質(zhì)得，DE＝AB，BE＝6，∵AB＝10，DH＝4，∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，∴陰影部分的面積＝×（6+10）×6＝48，故選：D．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，對應(yīng)點連線的長度等于平移距離，平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀，熟記各性質(zhì)并判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，兩個形狀、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重疊在一起，固定三角形ABC不動，將三角形DEF向右平移，當(dāng)點E和點C重合時，停止移動，設(shè)DC交AC于G．給出下列結(jié)論：①四邊形ABEG的面積與CGDF的面積相等；②AD∥EC，且AD＝EC，則（）A．①，②都正確 B．①正確，②錯誤 C．①，②都錯誤 D．①錯誤，②正確【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行線的判定以及四邊形面積公式解答即可．【答案】解：由平移可得：△ABC的面積＝△DEF的面積，所以△ABC的面積﹣△EGC的面積＝△DEF的面積﹣△EGC的面積，即四邊形ABEG的面積與CGDF的面積相等，故①正確；由平移可得：AD∥EC，AD＝BE，故②錯誤；故選：B．【點睛】此題考查平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)和平行線的判定以及四邊形面積公式解答．【變式6-3】（2019?邢臺二模）如圖，有兩條長分別為a、b的鐵絲，其中長為a的鐵絲恰好圍成一個大正方形；AB是大正方形的對角線，把AB分成n條相等的線段，再以每條線段作為小正方形的對角線，長為b的鐵絲恰好能圍成n個這樣的小正方形；若均不考慮接口情況，則a、b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b【分析】在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，平移不改變圖形的大?。敬鸢浮拷猓河善揭瓶傻?，n個這樣的小正方形的邊長與大正方形的邊長相等，∴a、b的大小關(guān)系是a＝b，故選：C．【點睛】本題主要考查了平移變換的運用，平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等．【考點7利用平移變換作圖】【例7】（2019春?西湖區(qū)校級月考）作圖題．（1）過點M作直線AC的平行線；（2）將三角形ABC平移，使得點B與點B′重合．【分析】（1）利用點A平移到M點，C點平移到N，從而得到AC∥MN；（2）利用點B和B′點的位置關(guān)系確定平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律畫出A、C的對應(yīng)點A′、C′即可．【答案】解：（1）如圖，MN為所作；（2）如圖，△A′B′C′為所作．【點睛】本題考查了作圖﹣平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．【變式7-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點三角形（頂點都是格點），將△ABC向左平移5個單位得到△DEF．（1）在正方形網(wǎng)格中，作出△DEF；（2）設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長為1，求平移過程中線段AC所掃過的圖形面積．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點D，E，F(xiàn)即可解決問題．（2）根據(jù)平移過程中線段AC所掃過的圖形面積＝平行四邊形ADFC的面積求解即可．【答案】解：（1）△DEF如圖所示．（2）連接CF，AD．平移過程中線段AC所掃過的圖形面積＝平行四邊形ADFC的面積＝5×3＝15．【點睛】本題考查平移變換，平行四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式7-2】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中．（1）把△ABC進行平移，得到△A′B′C′，使點A與A′對應(yīng)，請在網(wǎng)格中畫出△A′B′C′；（2）線段AA′與線段CC′的關(guān)系是平行且相等．【分析】（1）利用點A和點A′的位置關(guān)系確定平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律畫出B、C的對應(yīng)點B′、C′即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)判斷．【答案】解：（1）如圖，△A′B′C′為所作；（2）線段AA′與線段CC′平行且相等．故答案為平行且相等．【點睛】本題考查了作圖﹣平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．【變式7-3】（2019春?西湖區(qū)校級月考）畫圖：如圖1，三角形ABC可通過平移得到三角形DEF，此時點A落在點D．（1）請描述三角形ABC經(jīng)過兩次平移后得到三角形DEF的過程．（2）平移三角形ABC使點B落在點D，在圖2中作出平移后的三角形．【分析】（1）根據(jù)平移得出平移過程即可；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出圖形即可．【答案】解：（1）△ABC經(jīng)過兩次平移后得到△DEF的過程為：先向右平移3個單位長度，再向下平移6故單位長度；（2）如圖2所示：【點睛】本題考查的是作圖﹣平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【考點8三角形的三邊關(guān)系】【方法點撥】三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊?！纠?】（2019春?福州期中）用一根長為10cm的繩子圍成一個三角形，若所圍成的三角形中一邊的長為2cm，且另外兩邊長的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，根據(jù)周長是10厘米，可知最長的邊要小于5厘米，進而得出三條邊的情況．【答案】解：∵三角形中一邊的長為2cm，且另外兩邊長的值均為整數(shù)，∴三條邊分別是2cm、4cm、4cm．故選：A．【點睛】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)三角形三條邊之間的關(guān)系解決問題的能力．在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【變式8-1】（2019秋?銀海區(qū)期中）a，b，c為△ABC的三邊，化簡|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，結(jié)果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】首先根據(jù)：三角形兩邊之和大于第三邊，去掉絕對值號，然后根據(jù)整式的加減法的運算方法，求出結(jié)果是多少即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊的關(guān)系，以及整式加減法的運算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形兩邊之和大于第三邊．【變式8-2】（2019春?秦淮區(qū)期中）已知一個三角形中兩條邊的長分別是a、b，且a＞b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a(chǎn)+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再確定這個三角形的周長l的取值范圍即可．【答案】解：設(shè)第三邊長x．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a﹣b＜x＜a+b．∴這個三角形的周長L的取值范圍是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故選：B．【點睛】考查三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式8-3】（2019?孝感校級期中）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框（形狀不限），不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩個螺絲間的距離的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【答案】解：已知4條木棍的四邊長為3、4、5、7；①選3+4、5、7作為三角形，則三邊長為7、5、7，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為7；②選5+4、7、3作為三角形，則三邊長為9、7、3，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為9；③選5+7、3、4作為三角形，則三邊長為12、4、3；4+3＜12，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；④選7+3、5、4作為三角形，則三邊長為10、5、4；而5+4＜10，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為9．故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【考點9三角形內(nèi)角和與平行線】【例9】（2019秋?自貢期中）如圖，將一副三角板如圖放置，若AE∥BC，則∠BAD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠ADB，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故選：C．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式9-1】（2019春?長安區(qū)期末）一副三角板如圖放置，點D在CB的延長線上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，則∠DFB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】直接利用三角板的特點，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝45°，進而得出答案．【答案】解：由題意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠ABC＝45°，∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2019?常熟市二模）如圖，△ABC是一塊直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，現(xiàn)將三角板疊放在一把直尺上，AC與直尺的兩邊分別交于點D、E，AB與直尺的兩邊分別交于點F、G，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．【答案】解：∵DF∥EG，∴∠1＝∠DFG＝40°，又∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式9-3】（2019?臥龍區(qū)一模）如圖，直線m∥n，△ABC的頂點B，C分別在直線n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．140° B．130° C．120° D．110°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由∠ACB＝90°得出∠4的度數(shù)，根據(jù)補角的定義即可得出結(jié)論．【答案】解：如圖：∵m∥n，∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°．∵∠ACB＝90°，∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【考點10三角形外角性質(zhì)與平行線】【例10】（2019秋?洛陽期中）如圖，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，則∠D的度數(shù)為（）A．22° B．44° C．68° D．30°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠EFC，∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝∠B﹣∠D＝2∠D﹣∠D＝∠D，∵∠E＝22°，∴∠D＝22°，故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．【變式10-1】（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（）A．28° B．32° C．20° D．16°【分析】依據(jù)對頂角以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得出∠1的度數(shù)．【答案】解：∵∠C＝90°，∠2＝∠CFE＝32°，∴∠4＝58°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝58°，∵∠3是△ADG的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝58°﹣30°＝28°，故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的運用，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．【變式10-2】（2019春?泰興市校級期中）如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．35° D．不能確定【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【答案】解：∵AE∥DF，∴∠3+∠4＝180°，∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式10-3】（2019春?瑞安市期末）如圖，已知直線EC∥BD，直線CD分別與EC，BD相交于C，D兩點．在同一平面內(nèi)，把一塊含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如圖所示位置擺放，且AD平分∠BAC，則∠ECA＝（）A．15° B．2 C．25 D．30°【分析】如圖，延長BA交EC于H．利用平行線的性質(zhì)求出∠AHC＝90°，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【答案】解：如圖，延長BA交EC于H．∵EC∥BD，∴∠CHA+∠ABD＝180°，∵∠ABD＝90°，∴∠AHC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，∵∠BAC＝∠AHC+∠ECA，∴∠ECA＝30°，故選：D．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【考點11三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)】【例11】（2018秋?武清區(qū)期中）小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠1+∠2等于（）A．120° B．150° C．180° D．210°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答即可．【答案】解：如圖：∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝∠D+∠E+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°，故選：D．【點睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．【變式11-1】（2019?景洪市一模）如圖，五角星的頂點為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【答案】解：如圖，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故選B．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2019秋?莆田期中）如圖，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360° B．300° C．180° D．240°【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，兩式相加再減去∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可求解．【答案】解：∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°．故選：C．【點睛】考查了三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的內(nèi)角和定理．【變式11-3】（2019春?江陰市校級月考）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根據(jù)鄰補角求出∠EOF，然后求解即可．【答案】解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并把各角進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【考點12三角形內(nèi)角和與角平分線】【例12】（2019秋?河西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，則∠BOC的度數(shù)為；（Ⅱ）若∠A＝100°，則∠BOC的度數(shù)；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度數(shù)，并說明理由．【分析】（Ⅰ）由三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得出∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)．（Ⅱ）和（Ⅲ）方法同（Ⅰ）．【答案】解：（Ⅰ）∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案為：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案為140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2019秋?長興縣期中）如圖，AD是△ABC的高線，AE是角平分線，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，∴設(shè)∠BAC＝6α，∠B＝3α，∠C＝α，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴6α+3α+α＝180°，∴α＝18°，∴∠BAC＝108°，∠B＝54°，∠C＝18°，∵AD是△ABC的高線，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵AE是角平分線，∴∠BAE＝BAC＝108°＝54°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣36°＝18°．【點睛】本題主要考查了三角形高線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2019春?南崗區(qū)校級期中）如圖，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點O．（1）試說明∠BOA＝90°+∠C；（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°時，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度數(shù)，由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE的度數(shù)，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)高線和直角三角形的兩銳角互余可得結(jié)論．【答案】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分線，∴∠EAB＝∠BAC，∠FAB＝，∴∠EAB+∠FAB＝＝＝90，∴∠AOB＝180°﹣（90）＝90．（2）∵∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，∴∠CAE＝＝30°，∵∠BOA＝115°，，∴∠C＝50°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2019秋?南昌期中）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，∠CAB與∠BD的平分線AP、DP相交于點P，求證：∠B+∠C＝2∠P．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可．【答案】證明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交線中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交線中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分別平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．【考點13三角形的外角性質(zhì)與角平分線】【例13】（2018秋?無為縣期末）如圖，AC平分∠DCE，且與BE的延長線交于點A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，則∠BEC＝．（直接在橫線上填寫度數(shù)）（2）小明經(jīng)過改變∠A，∠B的度數(shù)進行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三個角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系，請你用一個等式表示出這個關(guān)系，并進行證明．解：（2）關(guān)系式為：證明：【分析】（1）依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，進而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根據(jù)∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【答案】解：（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案為：100°；（2）關(guān)系式為∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【點睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【變式13-1】（2019春?內(nèi)江期末）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數(shù)．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，得到∠BAC的度數(shù)，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出∠CAM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠MAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．【答案】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分線，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【點睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2019春?大名縣期末）如圖，在△ABC中，點E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）圖1中，作∠BAC的角平分線AD，分別交CB、BE于D、F兩點，求證：∠EFD＝∠ADC；（2）圖2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD，分別交CB、BE的延長線于D、F兩點，試探究（1）中結(jié)論是否仍成立？為什么？【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進而得∠EFD＝∠ADC．【答案】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．【點睛】此題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【變式13-3】（2019秋?九龍坡區(qū)校級月考）探究：（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進行解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明．【答案】證明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）∠A＝∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACP＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∴∠A＝∠P．（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：∵P點是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．【點睛】本題考查了角平分線的定義，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°，此類題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．【考點14多邊形內(nèi)角與外角】【例14】（2019秋?岳池縣期中）一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于140°，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【分析】先求出多邊形的邊數(shù)，再求從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)即可．【答案】解：∵多邊形的每一個內(nèi)角都等于140°，∴每個外角是180°﹣140°＝40°，∴這個多邊形的邊數(shù)是360°÷40°＝9，∴從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是6條．故選：A．【點睛】本題考查多邊形的外角和及對角線的知識點，找出它們之間的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵．【變式14-1】（2019春?內(nèi)江期中）馬小虎在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算了2個內(nèi)角，其和等于830°，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，即為180°的（n﹣2）倍，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去2個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度的商加上2，以后所得的數(shù)值，比這個數(shù)值大1或2的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【答案】解：設(shè)少加的2個內(nèi)角和為x度，邊數(shù)為n．則（n﹣2）×180＝830+x，即（n﹣2）×180＝4×180+110+x，因此x＝70，n＝7或x＝250，n＝8．故該多邊形的邊數(shù)是7或8．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確理解多邊形內(nèi)角的大小的特點，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2019春?諸城市期中）過多邊形的一個頂點可以作7條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角和的（）A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．3倍【分析】從多邊形一個頂點可作7條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是10，n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，代入公式就可以求出內(nèi)角和，多邊形的外角和為360°，相除即可．【答案】解：∵過多邊形的一個頂點共有7條對角線，故該多邊形邊數(shù)為10，∴（10﹣2）?180°＝1440°，∴這個多邊形的內(nèi)角和為1440°，又∵多邊形的外角和為360°，∴1440÷360＝4．故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的對角線、內(nèi)角和公式．外角和公式，是需要熟記的內(nèi)容，比較簡單．【變式14-3】（2019?涼山州期中）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【分析】首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．【答案】解：設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝1080°，解得：n＝8．則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．【考點15折疊中的角度問題】【例15】（2019秋?蠡縣期中）（1）如圖，在三角形紙片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)部，折痕為MN．如果∠1＝17°，求∠2的度數(shù)；（2）小明在（1）的解題過程中發(fā)現(xiàn)∠1+∠2＝2∠C，小明的這個發(fā)現(xiàn)對任意的三角形都成立嗎？請說明理由．【分析】（1）先根據(jù)∠A＝64°，∠B＝76°，求出∠C的度數(shù)．再由∠1＝17°可求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【答案】解：（1）∵△ABC中，∠A＝64°，∠B＝76°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，∵∠1＝17°，∴∠CNM＝，在△CMN中，∠CMN＝180°﹣∠C﹣∠CNM＝180°﹣40°﹣81.5°＝58.5°，∴∠2＝180°﹣2∠CMN＝180°﹣2×58.5°＝63°．（2）由題意可知：2∠CNM+∠1＝180°，2∠CMN+∠2＝180°，∴2（∠CNM+∠CMN）+∠1+∠2＝360°，∵∠C+∠CNM+∠CMN＝180°，∴∠CMN+∠CMN＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝360°﹣（∠1+∠2），∴∠1+∠2＝2∠C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，翻折變換等知識，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是180°．【變式15-1】（2019春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A′處，折痕為DE．已知∠BDA′＝110°，∠C＝70°，∠B＝80°，設(shè)∠CFD＝α，∠CEA′＝β，求α和β的大小．【分析】分別在四邊形BCFD和△ABC中計算α和∠A的度數(shù)，進而在△A′EF中計算β的度數(shù)．【答案】解：在四邊形BCFD中，α＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDA′＝360°﹣80°﹣70°﹣110°＝100°在△ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°由折疊知：∠A＝∠A′＝30°∴β＝180°﹣∠A﹣α＝180°﹣30°﹣100°＝50°【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是關(guān)鍵．【變式15-2】（2019春?常熟市月考）將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，推出∠2＝∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．【答案】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，理由沿DE折疊使點A落在A′處的位置，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，理由：∵沿DE折疊使點A落在A′處的位置，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A′＝∠2﹣∠1．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．【變式15-3】（2018春?遷安市期末）動手操作：一個三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點A落在點Aˊ處．觀察猜想（1）如圖1，若∠A＝40°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，則∠1+∠2＝°．探索證明：（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．拓展應(yīng)用（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【答案】解：（1）∵點A沿DE折疊落在點A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝80°；同理∠A＝55°，則∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，則∠1+∠2＝2n°；故答案為：80°；110°；2n°；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×54°＝117°．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【考點16平行線中的輔助線構(gòu)造】【例16】（2019春?越城區(qū)月考）如圖，已知AB∥CD，分別探討下面的四個圖形中∠APC、∠PAB和∠PCD的關(guān)系，并請你從所得的四個關(guān)系中任選一個，說明成立的理由．（1）圖①的關(guān)系是；（2）圖②的關(guān)系是；（3）圖③的關(guān)系是；（4）圖④的關(guān)系是；（5）圖⑤的關(guān)系是．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【答案】解：（1）∠APC＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD，理由如下：過點P作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠APF+∠PAB＝180°，∠CPF+∠PCD＝180°．∵∠APC＝∠APF+∠CPF，∴∠APC＝180°﹣∠PAB+180°﹣∠PCD＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD；（2）∠APC＝∠PAB+∠PCD，理由如下：過點P作EF∥AB，延長AP交直線CD于E，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD．∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；（3）∠C＝∠A+∠P；理由：設(shè)AB與PC交于E，∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠C，∵∠PEB＝∠A+∠P，∴∠C＝∠A+∠P；（4）∠PCD＝∠A+∠P，理由：延長DC交AP于E，∵AB∥CD，∴∠PEC＝∠A，∵∠PCD＝∠P+∠PEC，∴∠PCD＝∠A+∠P；（5）∴∠APC＝180°﹣∠A+∠C．理由：∵AB∥CD，∴∠AEC＝180°﹣∠A，∵∠APC＝∠AEC+∠C，∴∠APC＝180°﹣∠A+∠C．故答案為：∠APC＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD，∠APC＝∠PAB+∠PCD，∠C＝∠A+∠P，∠PCD＝∠A+∠P，∠APC＝180°﹣∠A+∠C．【點睛】本題主要考查對平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，三角形的外角性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能靈活運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式16-1】（20