第7章數(shù)字控制系統(tǒng)的離散化設(shè)計(jì)

——狀態(tài)空間法7.1引言狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)是基于系統(tǒng)內(nèi)部模型的一類設(shè)計(jì)方法。本章討論如下幾方面問題：系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性，采樣周期與能控性、能觀測(cè)性；狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、有輸入的系統(tǒng)設(shè)計(jì)；狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)。對(duì)于不是所有狀態(tài)均能直接量測(cè)的系統(tǒng)，觀測(cè)器是實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋必須的環(huán)節(jié)。7.2能控性與能觀測(cè)性7.2.1能控性（controllability）系統(tǒng)能控性定義：如能找到一個(gè)控制序列{u(k)}，使得在有限個(gè)采樣周期內(nèi)，系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)，到達(dá)某一任意狀態(tài)，則稱系統(tǒng)（A,B）是狀態(tài)完全能控的，系統(tǒng)具有能控性。能控性與能觀測(cè)性是20世紀(jì)60年代由Kalman提出并予以解決的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的兩個(gè)基本問題，在現(xiàn)代控制理論中占有重要的地位。例7-2-1已知系統(tǒng)，分析能控性，T=1s。ZOH例7-2-2若控制量限制為，對(duì)7-2-1系統(tǒng)做進(jìn)一步分析。若控制量u(0)、u(1)無(wú)限制，則無(wú)論初始狀態(tài)x(0)位于二維空間何處，只要有相應(yīng)的u(0)、u(1)作用于系統(tǒng)，經(jīng)兩個(gè)采樣周期，系統(tǒng)就可回到原點(diǎn)。若控制量有限制，則系統(tǒng)存在可控子空間。如在本例中，|u(k)|1,則系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)只有位于w1、w2兩矢量構(gòu)成的平行四邊形區(qū)域之內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)才能經(jīng)兩步控制回到原點(diǎn)。例7-2-4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，分析其能控性。7.2.2能觀測(cè)性(observability)例7-2-5分析7-2-1系統(tǒng)的能觀測(cè)性。7.2.3輸出能控性7.2.4對(duì)偶原理(dualityprinciple)7.3狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，是在系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)≠0，系統(tǒng)輸入為r(t)=0的情況下，設(shè)計(jì)控制器。本節(jié)是在假設(shè)系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量均可直接測(cè)量的前提下進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)的。7.3.1設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

通過狀態(tài)反饋陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)處于所希望的一組位置上。系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能夠任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是，系統(tǒng)具有能控性。xy圖7-3-1具有狀態(tài)反饋的閉環(huán)調(diào)節(jié)系統(tǒng)r=0u_A,BLCZOH系統(tǒng)設(shè)計(jì)就是確定狀態(tài)反饋陣L，使閉環(huán)極點(diǎn)位于所要求的位置上。可由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程求L。由于系數(shù)矩陣A、B均與采樣周期T有關(guān)，因此L也與采樣周期T有關(guān)。7.3.2有限拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)如果由狀態(tài)反饋配置的希望極點(diǎn)全部位于原點(diǎn)，對(duì)于n階系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程為：zn=0。其物理意義為：若系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)0，則經(jīng)n步，就能將全部狀態(tài)驅(qū)動(dòng)至零。例7-3-2例7-3-1對(duì)象之有限拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)。7.4狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)系統(tǒng)在所有狀態(tài)均能直接量測(cè)的前提下，狀態(tài)反饋可以任意配置極點(diǎn)。在實(shí)際系統(tǒng)中，狀態(tài)變量往往不能完全測(cè)量，需要由狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)狀態(tài)，得到狀態(tài)變量的估計(jì)，以便實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。本節(jié)介紹幾種狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。7.4.1閉環(huán)全階觀測(cè)器鑒于上述不足，構(gòu)造閉環(huán)觀測(cè)器，使其具有要求的動(dòng)態(tài)特性。1.預(yù)估觀測(cè)器當(dāng)且僅當(dāng)[A,C]完全能觀測(cè)時(shí)，可任意選擇K，使觀測(cè)器具有所要求的極點(diǎn)。此觀測(cè)器由輸入和輸出的量測(cè)值生成了系統(tǒng)的狀態(tài)，之所以稱為預(yù)估觀測(cè)器，是因?yàn)榈趉個(gè)采樣點(diǎn)的輸出y(k)，重構(gòu)第k+1個(gè)采樣點(diǎn)的狀態(tài)。7.4.2降階觀測(cè)器有些可以直接測(cè)量的狀態(tài)變量，可不必重構(gòu)，以減少計(jì)算量，為此設(shè)計(jì)階數(shù)低于對(duì)象階數(shù)的降階觀測(cè)器。1.降階觀測(cè)器之一

對(duì)象的狀態(tài)變量可分為可直接觀測(cè)的xa(k)與需重構(gòu)的xb(k)兩部分，則狀態(tài)空間描述可表示為：由上式可知，由預(yù)估全階觀測(cè)器推導(dǎo)出的降階觀測(cè)器，與其不同的是，重構(gòu)的狀態(tài)變量，需由本時(shí)刻與前一時(shí)刻輸出的采樣值來(lái)估計(jì)。7.5有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)圖7-5-1為由觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)的調(diào)節(jié)系統(tǒng)。設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的準(zhǔn)則：在零輸入r(t)=0及非零初始條件下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)至零，且具有希望的動(dòng)態(tài)特性。7.5.1分離原理由分離定理及調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，可得系統(tǒng)設(shè)計(jì)步驟為：（1）由希望的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性確定狀態(tài)反饋陣L。（2）選擇觀測(cè)器系數(shù)陣K，使重構(gòu)狀態(tài)誤差迅速收斂于零，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可取：觀測(cè)器的時(shí)間常數(shù)小于閉環(huán)系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)，前者為后者的1/4~1/2。7.5.2觀測(cè)器對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響由上式可知，只有在系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)與觀測(cè)器初始狀態(tài)相同時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性才與是否帶有觀測(cè)器無(wú)關(guān)。當(dāng)二者初始狀態(tài)不同時(shí)，重構(gòu)狀態(tài)通過反饋陣L影響系統(tǒng)狀態(tài)x(k)的動(dòng)特性，因此只有觀測(cè)器的時(shí)間常數(shù)小于系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)，狀態(tài)重構(gòu)誤差盡快趨于零，才對(duì)系統(tǒng)影響較小。7.5.3控制器特性7.6有輸入的系統(tǒng)設(shè)計(jì)本節(jié)闡述在有輸入的情況下，進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，使其輸出能夠跟蹤輸入信號(hào)。7.6.1輸入前饋狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖所示，L為狀態(tài)反饋陣，N為對(duì)輸入的前饋陣，此時(shí)控制量u(k)是狀態(tài)變量與輸入的線性組合。設(shè)計(jì)系統(tǒng)，就是確定L與N陣，L使閉環(huán)系統(tǒng)具有希望的極點(diǎn)，N使其能跟蹤輸入信號(hào)。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，N為一標(biāo)量。1.狀態(tài)變量均能量測(cè)的系統(tǒng)2.重構(gòu)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)反饋由例7-6-1求得的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)可知，此種方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)不足之處是：（1）擾動(dòng)使輸出產(chǎn)生的誤差是不能補(bǔ)償?shù)?；?）N只影響閉環(huán)系統(tǒng)增益，不改變其零點(diǎn)，零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性均有影響。7.6.2引入積分器圖7-6-2所示系統(tǒng)，是具有狀態(tài)反饋和輸出反饋的系統(tǒng)，引入積分器用以提高系統(tǒng)的無(wú)差度，且能有效地抑制干擾。7.6.3零點(diǎn)配置

H(z)的極點(diǎn)表征了系統(tǒng)的自身特性，由狀態(tài)反饋配置希望的極點(diǎn)。H(z)的零點(diǎn)，表征響應(yīng)外作用信號(hào)的特性。對(duì)于有輸入的系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤輸入，實(shí)質(zhì)上是通過在閉環(huán)系統(tǒng)中引入零點(diǎn)予以解決。這里介紹模型跟蹤法配置零點(diǎn)的設(shè)計(jì)。

系統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：構(gòu)造希望的閉環(huán)模型，由狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)，引入影響控制量的前饋配置零點(diǎn)，使系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)與模型響應(yīng)相同，或誤差很小。7.7小結(jié)本章主要討論建立在狀態(tài)變量反饋基礎(chǔ)上的閉環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題，其特點(diǎn)：用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，能控性與能觀測(cè)性是實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋與重構(gòu)狀態(tài)的前提條件。由狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)，使系統(tǒng)具有所希望的自身特性。對(duì)于單輸入單輸出具有能控性的n階系統(tǒng)，就可任意配置n個(gè)極點(diǎn)。狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)于不是所有狀態(tài)變量均能直接量測(cè)的系統(tǒng)，是實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋所必須的。重構(gòu)所有的狀態(tài)是全階觀測(cè)器。只重構(gòu)不可測(cè)狀態(tài)變量的觀測(cè)器為降階觀測(cè)器，用其可以簡(jiǎn)化算法，此時(shí)，可任意選擇的極點(diǎn)數(shù)隨之減少，降低了設(shè)計(jì)的靈活性。觀測(cè)器參數(shù)的確定，主要