立體幾何初步

教材分析與教學(xué)建議北京一零一中熊永昌一、教材分析二、教學(xué)建議三、案例分享立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法；運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、*幾何學(xué)的發(fā)展。課程標(biāo)準(zhǔn)【內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)】

新課程標(biāo)準(zhǔn)（17版）

學(xué)科指導(dǎo)意見（過渡方案）（1）基本立體圖形①利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。②知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題。③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖。（1）空間幾何體①利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖。③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。④完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖。⑤了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。

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學(xué)科指導(dǎo)意見（過渡方案）（2）基本圖形位置關(guān)系。①借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本事實(shí)（公理）和定理?；臼聦?shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面?；臼聦?shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)?；臼聦?shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?；臼聦?shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行。定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

（2）點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系①借助長方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理?！艋拘再|(zhì)（公理）1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)?！艋拘再|(zhì)（公理）2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。◆基本性質(zhì)（公理）3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?！艋拘再|(zhì)（公理）4：平行于同一條直線的兩條直線平行?！舳ɡ恚嚎臻g中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（公理；推論；等角）

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學(xué)科指導(dǎo)意見（過渡方案）②從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明?！粢粭l直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行。◆兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行?！舸怪庇谕粋€(gè)平面的兩條直線平行?！魞蓚€(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直。②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理。◆平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。◆一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直?！粢粋€(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直。

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學(xué)科指導(dǎo)意見（過渡方案）③從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理?！羧绻矫嫱庖粭l直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行?！羧绻粋€(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行?！羧绻粭l直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。◆如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。④能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題。（3）*幾何學(xué)的發(fā)展。收集、閱讀幾何發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)。通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明?！粢粭l直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行?！魞蓚€(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行?！舸怪庇谕粋€(gè)平面的兩條直線平行?！魞蓚€(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。③能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。知識(shí)結(jié)構(gòu)

課標(biāo)版立體幾何內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)（1）必修課程:數(shù)學(xué)2：立體幾何初步；（2）選修課程：系列2：空間向量與立體幾何。（3）系列3,4：數(shù)學(xué)史選講部分專題。

教材內(nèi)容安排第一章空間幾何體

1.1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2

空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3

空間幾何體的表面積與體積

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.2

直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.3

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)必修2

大綱版教材課標(biāo)版教材

設(shè)計(jì)理念：

立體幾何的教學(xué)和學(xué)習(xí)是螺旋上升，分層遞進(jìn)，逐步到位，與之向適應(yīng)的內(nèi)容呈現(xiàn)也是分階段，分層次，多角度，先從對(duì)空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點(diǎn)、線、面。

從整體到局部、具體到抽象的安排原則不僅體現(xiàn)在章節(jié)內(nèi)容的安排上，體現(xiàn)在具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求上。如：借助長方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義。這種安排是從關(guān)注學(xué)生的角度出發(fā)的.因?yàn)槲覀兩钤谝粋€(gè)三維的世界中，對(duì)于一個(gè)物體，首先感受到的是它的輪廓，之后才會(huì)對(duì)它的側(cè)面、邊角感興趣.應(yīng)該承認(rèn)，這種先由整體上認(rèn)識(shí)空間幾何體的安排，更符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律.更有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣?？瓷绞巧娇瓷讲皇巧娇瓷竭€是山第一層次：對(duì)幾何體的認(rèn)識(shí)，依賴于學(xué)生的直觀感受，不做任何推理的要求.

第二層次：以長方體為載體（包括其它的實(shí)物模型、身邊的實(shí)際例子）對(duì)圖形（模型）進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)和說理.引入合情推理.

第三層次：嚴(yán)格的推理證明.如線面平行、垂直的性質(zhì)定理的證明

第四層次：空間向量與立體幾何，用代數(shù)的方法研究幾何問題

大綱版課標(biāo)版內(nèi)容安排點(diǎn)、線、面→柱、錐、臺(tái)、球。柱、錐、臺(tái)、球→點(diǎn)、線、面→側(cè)面積、表面積與體積的計(jì)算特征

與理念從局部到整體從抽象到抽象從知識(shí)建構(gòu)的角度，嚴(yán)格按公理化體系的邏輯，建構(gòu)學(xué)生的知識(shí)體系與思維體系。從整體到局部到…從具體到抽象到…從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的角度，關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，關(guān)注學(xué)生思維的成長過程。符合人類對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)知規(guī)律。新修訂課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。

（四基+四能核心素養(yǎng)）“四基”：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！八哪堋保喊l(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。目標(biāo)定位與素養(yǎng)提升高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)定義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為：是具有數(shù)學(xué)基本特征思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)有關(guān)，是對(duì)培養(yǎng)人的描述：

會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)眼光：數(shù)學(xué)抽象（符號(hào)意識(shí)、數(shù)感），直觀想象（幾何直觀、空間想象力），保證數(shù)學(xué)的一般性數(shù)學(xué)思維：邏輯推理（推理能力），數(shù)學(xué)運(yùn)算（運(yùn)算能力），保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)語言：數(shù)學(xué)模型（模型思想），數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)分析觀念），

保證數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界用數(shù)學(xué)的思維分析世界用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界彼此獨(dú)立、相互滲透、有機(jī)聯(lián)系立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握?qǐng)D形的能力，空間想象與幾何直觀能力、邏輯推理能力。強(qiáng)調(diào)幾何直觀與邏輯推理，適當(dāng)滲透公理化思想?！吨笇?dǎo)意見解讀》王尚志教授考查要求（北京考試說明）考試內(nèi)容要求層次ABC立體幾何初步空間幾何體柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體

√三視圖√斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖√球、棱柱、棱錐的表面積和體積

√

點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系空間線、面的位置關(guān)系√公理l、公理2、公理3、公理4、定理*√線、面平行或垂直的判定√線、面平行或垂直的性質(zhì)

√考查熱點(diǎn)（1）從形式上看，試卷多為”兩小一大”或者”一小一大”．在分?jǐn)?shù)上每年都在20分左右，解答題往往會(huì)設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問題，以多面體為依托，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系；空間角、面積、體積等度量關(guān)系，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。（2）從內(nèi)容上看，一是關(guān)系問題（平行與垂直），重點(diǎn)考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，這類題既可考查多面體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，將論證與計(jì)算有機(jī)地結(jié)合在一起，比較全面的考查學(xué)生的能力。二是度量問題，角與距離以及簡單幾何體的側(cè)面積、表面積和體積問題?？疾闊狳c(diǎn)（3）從方法上看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計(jì)算相結(jié)合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如常把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體把握思想，如有時(shí)把幾何形體納入更大的幾何背景之中；考查等體積變換法，以及運(yùn)動(dòng)變化的思想方法等。（4）從能力上看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索創(chuàng)新能力。要求學(xué)生“四會(huì)”：1）會(huì)畫圖——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面）；2）會(huì)識(shí)圖——根據(jù)題目所給的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)的線面關(guān)系；3）會(huì)析圖——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合。三視圖，表面積或體積，距離2010，2011，2012，2013，2014,2015，20167次體積與動(dòng)點(diǎn)問題20101次選擇填空題：一般在5到7題位置，三視圖為主；13年在14題，10年兩題中的一題在第8題。試題呈現(xiàn)問

線線垂直，線面垂直，面面垂直2010，2011，2012,2013,2015,20166次線面平行，面面平行2010，20142次(2)問異面直線成角20111次二面角2010，2013,2015,20163次線面角2012,20143次（3）問探索性（存在）問題，（根據(jù)線線垂直，線面垂直，面面垂直，點(diǎn)在面內(nèi)等幾何條件），借助空間向量求線段長、比值或證明存在（不存在）2011,2012,2013，2014,2015,20166次解答題：題目位置：第16題→第17題；幾何載體：以棱錐、棱柱為主，而且都有垂直特征（或?qū)ΨQ特征）.可以從教材習(xí)題（生活中）找到實(shí)例，立體幾何與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，17年考綱增加了數(shù)學(xué)文化。見下表：試題呈現(xiàn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)一是從平面到立體建立空間觀念。從二維到三維，是學(xué)生思維的躍遷，學(xué)生需要認(rèn)知把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。二是從立體到平面解決空間問題。學(xué)生應(yīng)通過具體的長方體的點(diǎn)、線、面關(guān)系等載體，在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中一般的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；將空間問題有效的轉(zhuǎn)化成平面問題加以解決。。學(xué)習(xí)難點(diǎn)三是推理論證。邏輯推理是需要學(xué)生通過立體幾何的學(xué)習(xí)提升的最重要的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要求學(xué)生把握推理的嚴(yán)密與規(guī)范。四是符號(hào)表達(dá)。幾何教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)實(shí)際模型的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言。通過對(duì)圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系。一、教材分析二、教學(xué)建議三、案例分享【教學(xué)提示】

立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。通過對(duì)圖形的觀察和操作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題，對(duì)相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)，在選擇性必修課程中將用向量方法對(duì)這些定理加以論證?！緦W(xué)業(yè)要求】能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實(shí)際問題。能夠運(yùn)用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果。能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質(zhì)定理），并會(huì)進(jìn)行簡單應(yīng)用。重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和教學(xué)抽象素養(yǎng)。（一）回到課標(biāo)看教學(xué)（二）回到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)展開教學(xué)學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)接觸過一些立體幾何知識(shí)．例如，直觀認(rèn)識(shí)了長方體、正方體、圓柱，并且還學(xué)習(xí)了它們的體積與表面積的求法；了解了圓錐，知道了求圓錐體積的公式；通過球形的物體直觀認(rèn)識(shí)了球；知道觀察立體圖形時(shí)，角度不同，看到的形狀可能不同．

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了更多立體幾何的知識(shí)．比如了解了立體圖形與平面圖形的區(qū)別，直觀認(rèn)識(shí)了棱柱、棱錐，了解了點(diǎn)、線、面、體以及它們之間的關(guān)系，在求扇形面積時(shí)還學(xué)會(huì)了求圓錐側(cè)面積及全面積的方法，學(xué)習(xí)了立體圖形的三視圖等．B區(qū)真實(shí)問題解決，關(guān)鍵能力知識(shí)綜合應(yīng)用、高級(jí)思維D區(qū)核心素養(yǎng)關(guān)鍵能力、必備品格A區(qū)傳統(tǒng)紙筆考試成績具體、孤立的知識(shí)與技能C區(qū)穩(wěn)定、持久的核心觀念興趣、情感、態(tài)度、觀念（三）理解走向核心素養(yǎng)的教與學(xué)的策略確定的不確定的情境現(xiàn)在未來

意義問題化情境化結(jié)構(gòu)化主題化活動(dòng)化

知識(shí)學(xué)習(xí)教學(xué)的情景化：真實(shí)的生活情景在以核心素養(yǎng)為本的教學(xué)中具有重要價(jià)值。知識(shí)是素養(yǎng)的媒介和手段，知識(shí)轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)的重要途徑是情景，如果脫離情景，知識(shí)就只剩下符號(hào)，知識(shí)的應(yīng)用和知識(shí)蘊(yùn)含的文化精神就無從談起。教學(xué)的問題化：回歸對(duì)問題的探求，并在這個(gè)過程中找回自己應(yīng)有的智慧，應(yīng)該就是學(xué)習(xí)的本意。真實(shí)的問題形成問題鏈，形成問題矩陣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中，在對(duì)問題的追尋中慢慢形成一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從低結(jié)構(gòu)到高結(jié)構(gòu)，從本學(xué)科的結(jié)構(gòu)到跨學(xué)科的結(jié)構(gòu)，從孤立的知識(shí)到真實(shí)的世界。數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂模型把握四個(gè)維度問題與情景

交流與反思

知識(shí)與技能思維與表達(dá)四維度相互作用，共同形成相互聯(lián)系的四個(gè)場域，生成基于核心素養(yǎng)的生態(tài)智慧課堂模型.北京一零一中“生態(tài)智慧課堂”實(shí)踐研究基本要求發(fā)展要求重點(diǎn)難點(diǎn)說明1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，了解柱、錐、臺(tái)、球的概念．2．了解畫立體圖形三視圖的原理，并能畫出簡單幾何圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖．能識(shí)別上述的三視圖表示的立體模型，會(huì)用斜二測法畫出立體圖形的直觀圖．1．能用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)整體認(rèn)知柱、錐、臺(tái)、球．

2．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)觀察、比較、歸納、分析等一般科學(xué)方法的運(yùn)用．重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型，概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖．難點(diǎn)：如何讓學(xué)生概括柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征只須通過實(shí)例概括，不必證明．2．空間幾何體的性質(zhì)不必深入挖掘．

§11.1空間幾何體（4課時(shí)）（四）具體教學(xué)策略建議1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例如：通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體

在柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的歸納過程中，強(qiáng)調(diào)的仍然是學(xué)生的幾何直觀能力:你看到什么了?如何描述你所看到的？

教師在歸納的方法上可以給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).如：在引出棱柱的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，注意在學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納(給學(xué)生大量的具有棱柱形象的圖片和實(shí)物模型)，在歸納過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生從圍成幾何體的面的特征上去觀察，從而得出能反映棱柱主要特征的定義.通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體類比類比（合情推理）通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體

思考1：有兩個(gè)面互相平行其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？思考2：“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體是棱錐嗎？通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體

棱錐的本質(zhì)特征主要是：①有一個(gè)面的形狀是多邊形；②其他各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.二者缺一不可.因此棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形.通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體如圖：此幾何體有一個(gè)面是四邊形，其余各面都是三角形，但它不是棱錐.通過結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)幾何體以上部分內(nèi)容從空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征這一角度展開，以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體，初步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

課堂應(yīng)體現(xiàn)兩個(gè)核心概念：

幾何直觀、合情推理.§2空間幾何體的表面積與體積（3課時(shí)）基本要求發(fā)展要求重點(diǎn)難點(diǎn)說明1.了解柱、錐、臺(tái)、球表面積的計(jì)算公式，并能計(jì)算一些簡單組合體的表面積；2.了解柱、錐、臺(tái)、球的體積公式，并能計(jì)算一些簡單組合體的體積．1.初步體驗(yàn)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法；2.體會(huì)柱、錐、臺(tái)之間的關(guān)系3.初步體會(huì)“積分”思想的應(yīng)用．重點(diǎn)：讓學(xué)生了解柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積和體積計(jì)算公式．難點(diǎn)：球的表面積與體積公式的推導(dǎo)．祖暅原理可向?qū)W生形象地介紹，但不作了解要求．

從學(xué)生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系.把握好以下幾個(gè)方面的目標(biāo)。一是提出表面積的概念：表面積就是各個(gè)面的面積的和；二是介紹了一種求幾何體表面積的方法：把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三是從展開圖的角度，重新認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)，而不是僅僅套套公式。

如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積。棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？從計(jì)算的角度去認(rèn)識(shí)空間幾何體

通過柱、錐、臺(tái)體積公式的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這三種幾何體的關(guān)系

棱錐與等底同高的棱柱的體積關(guān)系是什么？你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？從計(jì)算的角度去認(rèn)識(shí)空間幾何體

基本要求發(fā)展要求重點(diǎn)難點(diǎn)說明1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示．了解平面的基本性質(zhì)，即公理1、2、3及其推論1、推論2和推論3，了解平行公理(即公理4)與（等角）定理．2.了解異面直線的定義，會(huì)說明兩條直線是異面直線，并能正確畫出兩條異面直線，在畫圖過程中感知兩條異面直線所成的角．3.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的判定定理．4.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納并能證明出直線與平面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的性質(zhì)定理．

5.能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．1.會(huì)進(jìn)行“文字語言”“符號(hào)語言”“圖形語言”之間的轉(zhuǎn)化．2.在引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、抽象、類比得出空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的過程中，努力浸透數(shù)學(xué)思想與辯證唯物主義觀念．

重點(diǎn)：直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．

難點(diǎn)：文字語言、符號(hào)語言與圖形語言的轉(zhuǎn)化；對(duì)異面直線的認(rèn)識(shí)．1.有關(guān)判定定理的證明不作要求．2.有關(guān)角與距離不作計(jì)算要求．3.三垂線定理及其逆定理不補(bǔ)充．§3點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（10課時(shí)）

刻畫平面的三個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題時(shí)進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)：公理1是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2提供了確定平面的最基本的依據(jù)；公理3是判定兩個(gè)平面是否重合或不重合時(shí)確定交線位置的依據(jù).

對(duì)空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面的問題來解決的.“確定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決相當(dāng)一部分問題的一種重要的思想方法.這種轉(zhuǎn)化的最基本的依據(jù)就是三個(gè)公理.定理敘述：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線與此平面垂直。

證明：已知：直線

，

，求證：a⊥平面π。

證明：設(shè)p是平面π內(nèi)任意一條直線，則只需證a⊥p，

設(shè)直線a，b，c，p的方向向量分別是

，

只需證

，

∴b與c不共線

直線b，c，p在同一平面π內(nèi)，

根據(jù)平面向量基本定理存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

，

則

，

，

∴

，

∴

，即

，

所以直線a垂直于平面π。

關(guān)于定理的歸納與證明

本章的課程目標(biāo)：以長方體為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；通過對(duì)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用空間幾何的數(shù)學(xué)語言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》明確知識(shí)的終極目標(biāo)，同時(shí)也明確了到達(dá)終極目標(biāo)的途徑。如“通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理”，“通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理”，“通過對(duì)圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法”。為了體現(xiàn)“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”四個(gè)層次的認(rèn)識(shí)過程，教科書設(shè)置了“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)實(shí)的生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

側(cè)重于從學(xué)生的實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)際中提出與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，放手讓學(xué)生去想去議，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性和學(xué)習(xí)交流。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過思考、討論后，真正實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)的過渡，達(dá)到鞏固所學(xué)知識(shí)的目的，激發(fā)學(xué)生的理性思維，引導(dǎo)學(xué)生由直觀感知、操作確認(rèn)到思辨論證的過渡。

著眼于促使學(xué)生獨(dú)立思考和自主探索，給學(xué)生自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在討論的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題和解決問題；

安排適量的、具有一定探索意義和開放性的問題，給學(xué)生比較充分的思考的空間和時(shí)間，在借助圖形直觀進(jìn)行合情推理的過程中，增強(qiáng)學(xué)生探究的好奇心，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力，讓學(xué)生在不斷探索與創(chuàng)造的氛圍中發(fā)展解決問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.（1）幾何是空間的科學(xué)。項(xiàng)武義在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》中提出：幾何學(xué)乃是人類理性文明，對(duì)于我們和大自然中的萬物萬象共存于其中的空間的「認(rèn)識(shí)論」．幾何學(xué)是我們研討大自然、理解大自然的自然起點(diǎn)和基石所在；它也是整個(gè)自然科學(xué)的啟蒙者和奠基者，是理所當(dāng)然的第一科學(xué)。（2）幾何是多樣統(tǒng)一的科學(xué)。幾何包涵了歐式幾何，非歐幾何，黎曼幾何，坐標(biāo)幾何，向量幾何等，在研究幾何方法上多樣統(tǒng)一，實(shí)驗(yàn)幾何，推理幾何，坐標(biāo)幾何，向量幾何，變換幾何，最終通過群理論用變換群下的不變量揭示了各種幾何的本質(zhì)特性。1.幾何學(xué)的特點(diǎn)（五）開篇：特征與文化主題

展現(xiàn)幾何的魅力，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)“幾何”的歷史宮殿，激發(fā)“幾何”興趣。（3）幾何是既直觀又抽象的科學(xué)。幾何作為對(duì)我們所生活的空間的理解、描述和與之相互影響的一種工具，也許是數(shù)學(xué)中最為直觀、具體并與實(shí)際關(guān)系最密切的部分。幾何可以作為其他數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域中概念和過程直觀表示的一種方法。具體與抽象這兩方面塑造了幾何的特殊性，立體幾何更是直觀性和抽象性相結(jié)合的產(chǎn)物。（4）幾何是邏輯演繹最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。弗賴登塔爾曾經(jīng)說過:“培養(yǎng)邏輯思維與形成演繹體系似乎是幾何的特權(quán)”。幾何源起：測地術(shù)公元前兩千年前，古埃及的尼羅河每年洪水泛濫，總是把兩岸的土地淹沒，水退后，使土地的界線不分明.古埃及的人們?yōu)榱酥匦聹y出被洪水淹沒的土地的地界，每年總要進(jìn)行土地測量，積累了許多測量土地方面的知識(shí).而希臘人由于跟埃及人通商，從埃及學(xué)到了測量與繪畫等的幾何初步知識(shí).1.引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)“幾何”的歷史宮殿，感悟“幾何”魅力，幾何學(xué)的發(fā)展演變。幾何理論：漫長探索

公元前四世紀(jì)，古希臘偉大的哲學(xué)家，柏拉圖的哲學(xué)思想奠定了立體幾何的研究對(duì)象：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和正多面體等.希波克拉底《幾何綱要》是幾何學(xué)的第一本教科書，據(jù)說包括了歐幾里得《幾何原本》的前四章內(nèi)容，他曾致力于“化圓為方”和“立方倍積”問題的研究.

歐多克斯（公元前約400年）創(chuàng)立了古典幾何中的“比例論”（黃金分割比），他還利用“窮竭法”求復(fù)雜圖形的面積和體積，后來被納入歐幾里得的幾何學(xué).歐氏幾何歐幾里得（公元前364年－公元前283年），古希臘人，數(shù)學(xué)家。是柏拉圖學(xué)園的學(xué)員，被稱為“幾何之父”，他最著名的公理化結(jié)構(gòu)的最早典范著作《幾何原本》，是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家.阿基米德給出許多求幾何圖形重心，包括由一拋物線和其網(wǎng)平行弦線所圍成圖形的重心的方法.他還采用不斷分割法求橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等的體積，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.歐氏幾何阿波羅尼奧斯（約公元前262～190年），古希臘數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.喜帕恰斯（約公元前190年-公元前125年），是希臘最偉大的天文學(xué)家，是三角學(xué)奠基人，創(chuàng)立三角學(xué)和球面三角學(xué)，就像阿基米德是希臘最偉大一樣.解析幾何:笛卡爾（公元1596年—1650年）法國著名哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、神學(xué)家，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.是二元論的代表，黑格爾稱他為“近代哲學(xué)之父”.67射影幾何:笛沙格（公元1591年—1661年）法國著名的數(shù)學(xué)家和工程師，射影幾何的創(chuàng)始人之一，他奠定了射影幾何的基礎(chǔ).以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格圖、笛沙格平面.他建立了統(tǒng)一的二次曲線理論.

帕斯卡（公元1623年—1662年）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家、散文家.16歲時(shí)發(fā)現(xiàn)著名的帕斯卡六邊形定理，17歲時(shí)寫成《圓錐曲線論》，是研究德札爾格射影幾何工作心得的論文.微分幾何:歐拉（公元1707年—1783年）瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.首先引進(jìn)平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，開始了曲線的內(nèi)在幾何研究.1760年，歐拉在《關(guān)于曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論,是微分幾何發(fā)展史上的里程碑.高斯（公元1777年—1855年），猶太人，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，高斯在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.黎曼幾何:黎曼（公元1826—1866年），是德國著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)分析和微分幾何方面作出過重要貢獻(xiàn)，他開創(chuàng)了黎曼幾何，黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面.并且給后來愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).非歐幾何:羅巴切夫斯基（公元1792—1856年），俄羅斯數(shù)學(xué)家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一.關(guān)于非歐幾何的論文《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》.

19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家高斯、俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等人各自獨(dú)立地用歐氏幾何中的其他公理來證明其平行公理證明是不可能的.幾何統(tǒng)一性與幾何基礎(chǔ)

1899年希爾伯特（1862-1943）的《幾何基礎(chǔ)》把幾何學(xué)引進(jìn)了一個(gè)更抽象的公理化系統(tǒng)，把幾何重新定義，不但把傳統(tǒng)的歐幾里得的《幾何原本》改良，更把幾何學(xué)從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論.公理化體系：一個(gè)數(shù)學(xué)理論由一個(gè)公理系統(tǒng)和所有它導(dǎo)出的定理組成.公理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)定義嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募?，它給系統(tǒng)中出現(xiàn)的未定義術(shù)語賦予意義，并且是用一種和系統(tǒng)中所定義的關(guān)系一致的方式.第一個(gè)公理系統(tǒng)是歐氏幾何。70(六）識(shí)圖畫圖：學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵一步

識(shí)圖與畫圖（三視圖與直觀圖）是學(xué)生建立空間觀念，學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵步驟，多數(shù)同學(xué)雖然在初中對(duì)幾何圖形有了初步的感知與了解，但是對(duì)空間圖形的映像基本屬于“宏觀”與“大概”范疇，空間觀念比較模糊，需要重新建構(gòu)。

學(xué)生需要通過幾何體的三視圖，想象出空間幾何體的形狀，從而求其表面積及體積，同時(shí)也需要正確運(yùn)用斜二測畫法的作圖規(guī)則（平行改斜垂依舊，橫等縱半豎不變，眼見為實(shí)遮為虛，空間觀感好體現(xiàn)）入手培養(yǎng)空間想象力，直觀圖判定直線與平面間的相互位置關(guān)系。建議過關(guān)練習(xí)：三個(gè)平面位置關(guān)系（六）轉(zhuǎn)化：解決立體幾何問題的不二法門

解決立體幾何問題的核心思想是轉(zhuǎn)化，立體幾何的轉(zhuǎn)化涉及三個(gè)方面。一是維度的轉(zhuǎn)化，從三維到二維，是一種降維的思路，就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面的問題加以解決；二是語言的轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)立體幾何必須要實(shí)現(xiàn)文字語言、圖形語言和符號(hào)語言的無障礙快速轉(zhuǎn)化。三是關(guān)系的轉(zhuǎn)化，平行關(guān)系與垂直關(guān)系，線線關(guān)系、線面關(guān)系與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化在立體幾何中，解決問題的核心思想就是——轉(zhuǎn)化前面在分析平行、垂直位置關(guān)系時(shí)，主要強(qiáng)調(diào)了空間中的平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中的垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何問題中，還有一個(gè)重要的解決問題的策略就是：（1）空間問題平面問題對(duì)空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面的問題來解決的.“確定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，只有在同一平面內(nèi)的圖形，平面圖形中的定義、定理在空間圖形中才會(huì)仍然成立，對(duì)于非平面圖形，則須經(jīng)過證明方可應(yīng)用。（2）語言的轉(zhuǎn)化文字語言圖形語言數(shù)學(xué)符號(hào)語言例題：（3）空間中有關(guān)平行、垂直位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化幾何證明的思路就是關(guān)系轉(zhuǎn)化的思路例題：例題：如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．根據(jù)PA⊥平面ABM，證得BM⊥平面PAM，再利用線面垂直的判定定理證明AN⊥平面PBM.而證線線垂直，可先證線面垂直．[證明]

(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，又AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.（七）規(guī)范：依綱靠本是教學(xué)的保底工程

依綱靠本、規(guī)范要求是立體幾何教學(xué)扎實(shí)有效的保證，一是嚴(yán)格按照課標(biāo)要求教學(xué)，把握好教學(xué)的“度”，不盲目拔高與拓展，不偏不怪；二是深度挖掘課本題目的教學(xué)價(jià)值。高考立體幾何試題的試題多源自課本。

從學(xué)生答題情況來看，“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的問題比較突出，應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范答題的良好習(xí)慣，使學(xué)生做解作到“一看、二證、三求解”。

原題（必修2）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題:其中所有正確命題的序號(hào)是_______，為什么？(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值；(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，

是定值。改編如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面

上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面七個(gè)命題，真命題的有_______.(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值；(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，

是定值；(6)當(dāng)容器任意傾斜時(shí),水面可以是六邊形；(7)當(dāng)容器任意傾斜時(shí),水面可以是五邊形?！窘馕觥浚?），（2），（4），（5），（6），（7）。（八）以靜制動(dòng)，把握運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)特征例題：例題：一、教材分析二、教學(xué)建議三、案例分享2.1.1平面

孟鑫2018.11.10案例1(片段）問題2：（1）將一條線段向兩端無限延伸得到的圖形是什么呢？（2）直線有哪些基本特征？（3）怎么表示直線？圖形語言：符號(hào)語言：直線AB,或者直線l.問題3：將課桌面、平靜的水面，向四周無限延得到的圖形是什么呢？想一想，平面有哪些特征？使學(xué)生從直觀的認(rèn)識(shí)平面上升到理性認(rèn)識(shí)平面直線直的

無限延伸

沒有粗細(xì)圖形語言符號(hào)語言直線AB,直線l.文字語言平面平的

無限延展

沒有厚薄幾何里的“平面”是由生活中的課桌面、黑板面、海面等等抽象出來的數(shù)學(xué)概念。特點(diǎn)：重視語言轉(zhuǎn)換，運(yùn)用動(dòng)態(tài)直觀，引導(dǎo)認(rèn)知升級(jí)。使學(xué)生從直觀的認(rèn)識(shí)平面上升到理性認(rèn)識(shí)平面問題4：如何表示平面呢？平面的畫法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍。平面的表示方法：ABCD平面可以用希臘字母表示，也可以用代表表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC，平面BD等。在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1：如果把紙板看作一個(gè)平面，把你的筆看作一條直線：（1）你能使筆上的一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？（2）你能使筆上的兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).文字語言：圖形語言：符號(hào)語言：αl