1流體力學基本知識1流場的運動學1.1描述流體運動的兩種方法有兩種描述流體運動的方法：Eulerian表述和Lagrangian表述。Eulerian表述：將流體看作一個在時空上連續(xù)變化的場，所有物理量都定義為空間x和時間t的函數，例如速度場u(x,t)。Lagrangian表述：跟蹤某一個流體粒子的運動，所關心的物理量是該粒子的質心位置a和時間t的函數，例如粒子的速度v(a,t)。相比于Lagrangian表述，Eulerian表述有很多優(yōu)點：(1)在大多數理論分析中，采用Eulerian表述更加簡單明了，特別地，Eulerian表述所關心的是場量，我們可以利用強大的場論工具對流場進行分析；(2)流體力學中的許多試驗，諸如風洞試驗和外場試驗，往往比較容易觀測到的是與流場有關的物理量。(3)工程上關心的多是與流場有關的物理量，如速度、壓力或溫度等物理量的時空分布，而不去關心一個流體粒子的運動細節(jié)?？紤]到上述因素，在下面的章節(jié)中，除特別說明外，均選用Eulerian表述，來探討流場的運動規(guī)律或者通過場函數來探討流體粒子的運動規(guī)律。1.2流線為了直觀地描述流體的速度場，我們引入流線的概念。在某一時刻，如果流場中一條線上任何一點的切線方向都與該點的速度方向平行，這條線稱為流線。流線的方程為：==(1) dxdy==(1)u(x,t)v(x,t)w(x,t).如果已知速度場，對上式求積分可以求出流線的具體表達式，注意式中的時間在求積分時應看作常數。只有當流場平穩(wěn)的時候，流線與流體粒子的運動軌跡才會重合。另外，流管也是經常使用的概念，它是指通過某一閉合曲線的所有流線組成的幾何體。1.3隨體導數隨體倒數建立了Eulerian表述和Lagrangian表述之間的聯系。下面以速度場為例，給出隨體導數的表達式。2如果速度場u(x,t)已知，那么如何根據速度場求出流體粒子在某一時刻某一位置的加速度呢？設流體粒子在t時刻的位置為x，t+δt時刻所在的位置為x+uδt。于是流體粒子的速度在時間t內的改變量為：u(x+uδt,t+δt)一u(x,t)=δt尸+u．Vu、+O(δt2).因此，粒子的加速度為：=+u．Vu=+u．Vu.(2)?t?t上述推導可推廣到其它的物理量：已知采用Eulerian表述的物理量θ(x,t)(這個量可以是標量，也可以是矢量)，可以求出流體粒子相應的物理量上式中對流體場θ(x,t)的求導，定義為隨體導數：=+u．=+u．V.Dt?t1.4連續(xù)性方程連續(xù)性方程又稱質量守恒方程?？紤]空間中某一塊具有任意形狀的區(qū)域，單位時間內流入這個區(qū)域的流體質量為：f=一ρu．ndS.式中的積分涵蓋該區(qū)域的整個表面積，并且根據Green公式，f=一V．(ρu)dV.另外，單位時間內該區(qū)域中流體質量的增加量等于dt上式中的積分是在整個區(qū)域中進行的。如果該區(qū)域內不存在任何流體源(比如任何排水管或水泵)的話，f=f=ρdV=一V．(ρu)dV.dt由于積分區(qū)域是任意選取的，去掉積分，我們就可得到連續(xù)性方程：+V．(ρu)=31.5不可壓縮性流體粒子在運動過程中，如果其密度不隨壓力的變化而變化的話，我們就說該流體是不可壓縮的。根據(4)和(5)式，可以用隨體導數表示表示連續(xù)性方程：+V．u+V．u=0.ρDt由于流體粒子的體積隨時間的變化率是:lim=limu．lim=limu．ndST→0τdtτ=lim=limV．udV=V．u,(7)因此(6)式的物理意義是：當流體粒子質量守恒的時候，流體粒子的體積變化率和密度變化率大小相等，但相差一負號，這是很顯然的。當流體不可壓縮的時候，Dρ/Dt=0。根據(6)式，V．u=0.(8)嚴格地說，現實世界中所有的流體都是可壓縮的。但是當流體滿足下述條件的時候，可以近似看作是不可壓縮的1：1、如果流體是平穩(wěn)的，流體的速度|u|<c，其中c是聲速；2、如果流體是不平穩(wěn)的，除了條件(1)滿足外，還要求τ>l/c，其中τ和l是流體的速度發(fā)生明顯改變的特征時間和距離。1.6流函數如果流體是不可壓縮的或者是可壓縮的平穩(wěn)流，并且流體是二維的或者是軸對稱的2，那么我們可以引入流函數，從而將兩個速度分量的求解轉化為對一個標量函數的求解。首先，討論二維不可壓縮流體的流函數及其性質。對于不可壓縮的二維流體，連續(xù)性方程為：+=0.+=0.?x?y因此，存在標量函數ψ，其全微分為dψ=udy一vdx。因此，?y??y?x.標量函數ψ(x,y)稱為流函數。二維不可壓縮流體的流函數具有以下性質： 1LandauandLifshitz,FluidMechanics,secondedition,p.212二維流體的速度場在直角坐標系下可以表示為(u(z,y),u(z,y),0)；標(3,r,o)下，其速度場可以表示為(uz(3,r),ur(3,r),uφ(3,r))。軸對稱的流體在柱坐41、設P和Q是xy平面內任意兩點，ψP和ψQ是這兩點的流函數，于是：PP一ψQ=(udy一vdx)Q只要積分路徑上每一點都滿足不可壓縮的條件。另外可以證明，通過積分路徑的面積通量為：PQdlQPQ其中，n是垂直于線元的單位矢量，并且從O往P看，n指向線元的右側。因此，這說明，曲線兩端點的流函數之差等于單位時間通過這條曲線的面積，只要這條曲線上每一點都滿足不可壓縮條件。2、從Q出發(fā)沿不同的路徑到P，如果這兩條路徑上的每點滿足不可壓縮條件，那么這兩條路徑圍起來的區(qū)域中面積的增加率為：=(udy一vdx)一=(udy一vdx)一(udy一vdx).dtQ1Q2如果這個區(qū)域中的流體是不可壓縮的，那么dSQP/dt=0，因此：P1P2(udy一vdx)=(udy一vdx).Q1Q2相反地，如果區(qū)域中有部分不可壓縮的流體，上述等式不成立，這樣就會導致ψP一ψQ有兩個不同的值，這種情況下的流函數不再是單值函數。因此，如果流體中每一點都是不可壓縮的話，流函數是單值函數。3、因為沒有任何通過流線的面積通量，所以流線上流函數處處相等。這個結論也可以根據(10)式和流線方程得到。其次，討論軸對稱不可壓縮流體的流函數及其性質。對于軸對稱不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為：+=0.+=0.?zr?r根據二維流體的討論，相應地我們可以定義流函數ψ(r,z)，它與速度場的關系uur=uur=一r?rr?z.在二維流體中，流函數包含了整個速度場的信息。而在軸對稱流體中，根據流函數不能求出uá的值。軸對稱不可壓縮流體的性質為：1、設P和Q是軸平面內任意兩點，于是只要積分路徑上每點都不可壓縮：PP一ψQ=r(u之dr一urdz).Q5另外，如果將PQ曲線沿對稱軸z旋轉一圈構成閉合曲面，那么流過這個閉合曲面的體積流為dVPdtQ=u．ndS=2πr(uzdr一urdtQ因此，以軸平面上兩點之間曲線為母線，繞對稱軸旋轉一周形成閉合曲面，那么在這兩點上的流函數之差等于通過閉合曲面的體積通量除以2π。2、相應于二維流場，如果流體處處不可壓縮，流函數為單值函數。3、如果軸對稱速度場沒有φ方向分量，此時流線上流函數處處相等，這是因為沒有體積通量通過流管的外壁。1.7流體粒子速度的分解流體粒子的運動可以分解為平動、形變和剛體轉動，分析如下：設流體中某一點O的速度為u(x,t)，其附近另一點的速度為u(x+r,t)，r是這一點到O點的矢徑。通過Taylor展開，并保留一階小量，我們有：?xj?xj.ui(x+r,t)=ui(x,t)+δui=ui(x,t)+rj將二階張量分解為對稱和反對稱張量:?ui1?ui?uj1?ui?uj?x?ui1?ui?uj1?ui?uj?xj2?xj?xi2?xj?xi其中，對稱部分用eij表示，反對稱部分用ξij表示。于是速度增量可以分解為：δui=δu+δu,其中δu=rjeijδu=rjξij.先來考察對稱速度增量的物理意義。先將對稱增量寫成下面的形式：?ri,δu=rjeij?ri,其中，Φ=rkrlekl.然后旋轉坐標系，使得坐標軸與二階張量eij的主軸重合。在新坐標系下，Φ=r2ei=(ar2+br2+cr2).并且，二階張量的跡是標量，在坐標變換時是不變量：ei=eii=a+b+c.因此，在新坐標系下，速度的增量為uarbrcr(11)6根據(11)式，可以看出:1、平行于主軸的直線，只會沿主軸被拉伸或壓縮。在每個主軸方向，其形變速率(單位時間內的形變量除以形變前的長度)為分別a、b和c。對于其它方向的直線，除受到拉升或壓縮外，一般還會向形變速率快的方向旋轉。如果a=b=c三k，那么在任何方向的直線都會沿著自身的方向以相同的速率k伸縮。因此，二階張量eij被稱為形變率張量，其在主軸坐標系下的對角元，決定了與主軸平行的直線的形變速率。2、設想有一個球形的流體粒子，受(11)式支配，發(fā)生形變，變成一個橢球體，橢球體的主軸即為eij的主軸方向。在形變過程中，主軸方向的直線會沿著主軸拉升或壓縮，而偏離主軸的直線其在主軸平面上的投影會向橢圓的長軸方向移動，這就好像氣球在短軸方向受到擠壓，球面上的點向長軸靠攏。3、對于不可壓縮流體，V．u=0，因此不可壓縮流體粒子在形變過程中體積不變，并且eii=0。而對于可壓縮流體，我們可以將形變率張量分為兩部eij=e+e=eiiδij+尸eij一eiiδij、.很明顯，e表示各向同性的伸縮，e的跡幺=eii=V．u，表示流體粒子在形變中體積的變化率或稱為局域體積變化率，參見(7)式。e的跡等于0，表示等體積的形變。綜上述，δus會引起流體粒的形變。對于不可壓縮流體，流體粒子的體積在形變中保持恒定。而對于可壓縮流體，形變可看作是各向同性形變和等體積形變的疊加，前一種形變會改變粒子的體積。再來考察反對稱速度增量的物理意義。反對稱張量有三個獨立的變量，一般可以寫成下面的形式：ξij=一eijkwk.因此，反對稱速度增量為：δu=eikjwkrj,寫成矢量形式：δuà=w×r.(12)根據(12)式，可以看出：1、剛體的運動可以分為平動和轉動，其中轉動的線速度：u=wr×r,(13)其中，wr=V×u是剛體的角速度。將(12)式與(13)式進行對比可知：如果扣除形變，流體粒子可看作剛體，反對稱張量就是剛性流體粒子繞O點轉動的線速度。相應地，流體粒子的角速度為w=(Vr×δuà)，其中w稱為局域渦旋(vorticity)，所謂局域，指的是渦旋與空間坐標有關，整個流體并不像剛體那樣有相同的渦旋。Vr表示對矢徑求導。ij(一)，故而w=V√×u,7其中V√表示對坐標求導，于是：V√×u=Vr×δuà三w.(14)上式有什么物理含義呢？根據Stokes公式，在很小的一塊圓形面積內，w．n=[V×u(x)]．ns[V×u(x+r)]．ndS=u(x+r)．dr.其中，a表示這塊圓面的半徑，n表示圓面的法向單位矢量。上面的等式中最左邊w．n表示反對稱速度增量沿圓面邊界的切向速度(該切向速度在邊界上處處相等)除以半徑a，等式最右邊u(x+r)．dr表示沿著圓面邊界的平均切向速度除以半徑a。因此，(14)式表示：扣除掉平動和變形后，流體粒子剛性轉動的線速度(也即是反對稱速度增量)，沿其內部某一圓環(huán)的切向分量等于流體粒子的真實速度(未分解前的速度)沿同一圓環(huán)的切向分量的平均值。為什么會這樣呢？我們考察一下平動和變形就知道：平動的切向分量沿著平動方向幾乎處處反對稱(所謂反對稱，就是繞動方向相反，一個沿逆時針，另一個沿順時針，但兩者大小相等?！皫缀酢北砻髯罡唿c和最低點是例外，兩者切向速度對稱，但這兩點的貢獻平均后為零)，因而對平均切向速度沒有貢獻。另外，變形的切向分量沿著主軸方向反對稱，也對平均切向速度沒有貢獻。最后只剩下反對稱速度增量或者說是流體粒子的剛性線速度對平均切向速度有貢獻