專(zhuān)題五

與平行四邊形的性質(zhì)關(guān)的計(jì)算與證明教材P90作業(yè)題第5)

__已知：如圖1，在A(yíng)BCD，過(guò)AC的中點(diǎn)的直線(xiàn)分別交CB，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，.求證：＝DF圖1證明：在平行四邊形中，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴OA，∥，ADBC∴∠FAC∠，又∠AOF∠，∴△AOF△ASA，∴AF∴AF－＝－，即DFBE【思想方法】平行四邊形對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)可以作為判定平行四邊形中三角形全等的條件．如圖2已知?的對(duì)角線(xiàn)BD相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O作一直線(xiàn)分別交AD，的延長(zhǎng)線(xiàn)于，F(xiàn)，求證：OE＝OF圖2證明：在?中，

AO，∥，∴∠E∠F，∠＝∠在△和△COF，∠E∠F，＝FCOAO∴△AOE△COFAAS，∴OE[2013·南充]如圖3在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于E，交CD于F求證：OE＝OF圖3證明：∵四邊形是平行四邊形，∴OA，∥∴∠OAE∠OCF.∵∠AOE∠COF∴△OAE△OCFASA．∴OE[2013·淮安]如圖，在平行四邊形中，過(guò)中點(diǎn)作直線(xiàn)分別交AD，BC于點(diǎn)，F(xiàn).求證：△COF圖4證明：∵為點(diǎn)，∴OA.

∵四邊形為平行四邊形，∴ADBC∴∠EAO∠FCO∠＝∠∴△AOE△COF.已知：如圖，為ABCD的對(duì)角線(xiàn)，O為BD的中點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)，與AD，分別交于點(diǎn)E，.證：DE＝.圖5證明：在平行四邊形中，ADBC∴∠OBF∠.∵為的中點(diǎn)，∴OBOD在△和△，∠＝∠ODEOD∠＝∠DOE∴△BOF△.∴OF.∵EFBD于點(diǎn)，∴DEDF如圖6，在平行四邊形中，是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作直線(xiàn)分別交AD于E，.求證：＝DF；若，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．

圖6解：證明：如圖，在平行四邊形中，∵ADBC∴∠1∠2∠3∠∵是的點(diǎn)，∴AO，∴在△與△中，∠3∠42AO，∴△AOF，∴AF又∵ADBC∴－AFBC，即BEDF變形5圖當(dāng)E點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)將平行四邊形分成的四個(gè)部分的面積相等．理由：∵四邊形是平行四邊形，∴OA＝，OB＝由△與△AOD等同高可知面積相等，同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，從而易知所分成的四個(gè)三角形面積相等．[2013·漳]如圖7，中，E，是對(duì)角線(xiàn)上兩點(diǎn)，且BE＝.

圖中共有__3__全等三角形；請(qǐng)寫(xiě)出其中一對(duì)全等三角形：________≌________，并加以證明．圖7解(1)圖中的全等三角形有：≌△CDF≌△CDBADE△CBF共有對(duì)．故填3①△ABE≌△.由如下：∵在?ABCD中，ABCDABCD∴∠ABE∠CDF＝，∴在△與△CDF中∠CDFBEDF∴△ABE△CDF(SAS②△ABD△CDB.由如下：∵在?ABCD中，＝，＝，＝∴在△與△中，，＝，∴△ABD△CDB()③△ADE△理由如下：∵在?ABCD中，∥，＝CB∴∠ADE∠∵BEDF，∴＝∴在△與△CBF中，

＝＝∠DEBF∴△ADE△(SAS[2013·徐]如圖四邊形是平行四邊形平分∠

222222交AB于，BF分∠ABC交CD于點(diǎn)F.求證：＝BF；連結(jié)EF，寫(xiě)出圖中所有全等三角形．(不要求明)圖8解：∵四邊形平行四邊形，∴ADCB∠＝∠C∠ADC∠CBA∵DE分∠，BF分∠ABC11∴∠ADE∠ADC∠CBF∠CBA∴∠ADE∠∴△ADE△(ASA∴DE△ADE≌△；△DEF≌△[2013·重]已知：在平行四形ABCD中，⊥，垂足為E，＝，點(diǎn)F的中點(diǎn)，點(diǎn)GCD上的一點(diǎn)，連結(jié)，，∠1＝∠2.若CF＝2＝3，求BE的長(zhǎng)；1求證：∠＝∠.圖9解：∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴＝CDCF＝

2222222222又∵四邊形為平行四邊形，∴ABCD4.在Rt△中，由勾股定理，得：＝

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－AE＝證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H.變形8圖∵＝CD∠＝∠2，∠C，∴△CEG≌△CDF.∴＝1