6.4.3余弦定理第六章

平面向量及其應(yīng)用復(fù)習(xí)回顧三角形中的邊角關(guān)系內(nèi)角和定理(三個(gè)角)勾股定理(直角三角形的三條邊)銳角三角函數(shù)(直角三角形的邊和角)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角全等三角形的判定(SSS,SAS,AAS,ASA)邊角的定量關(guān)系邊角的定性關(guān)系A(chǔ)CB150°b=100kma=160kmc=?km思考

給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的嗎？為什么？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？新知探究新知探究思考

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題怎么表述？ACB150°b=100kma=160kmc=?km已知，在△ABC中AC=100km，BC=160km，C=150°，求AB.已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊.特殊

一般即：已知a、b及C,求c.問(wèn)題

已知三角形的兩邊a，b及它們的夾角C，如何求第三邊c？新知探究思考

在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB與CA的夾角為∠C，求邊c．請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，進(jìn)行分組合作探究，尋求解決方法．

向量法分析：因?yàn)樯婕叭切蔚膬蛇呴L(zhǎng)和它們的夾角，所以我們可以考慮用向量的數(shù)量積來(lái)研究.設(shè)，那么①把幾何元素用向量表示：②進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算：cba思考

在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB與CA的夾角為∠C，求邊c．新知探究∴

③向量式化成幾何式：同理可得于是，我們就得到了三角形中邊角關(guān)系的一個(gè)重要定理—余弦定理.余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.符號(hào)語(yǔ)言：文字語(yǔ)言：cba利用余弦定理，可以從三角形已知的兩邊及其夾角求第三邊問(wèn)題

公式的結(jié)構(gòu)特征怎樣？（1）輪換對(duì)稱，簡(jiǎn)潔優(yōu)美;（2）每個(gè)等式中有同一個(gè)三角形中的四個(gè)元素，知三求一.（方程思想）余弦定理問(wèn)題

你能用其他方法證明余弦定理嗎？在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB與CA的夾角為∠C，求邊c．

法1：向量法

法2：建系法

法3：幾何法bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：yx

法2：建系法余弦定理余弦定理

法3：幾何法⑴當(dāng)角C為銳角時(shí)

證明:過(guò)A作ADCB,交CB于DABCabcD余弦定理

法3：幾何法bAacCBD證明:過(guò)A作ADCB交BC的延長(zhǎng)線于D⑵.當(dāng)角C為鈍角時(shí)余弦定理問(wèn)題

勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系．你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．若在三角形ABC中，C=90°，則cos90°=0，這時(shí)c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．余弦定理的推論已知三條邊求任意角（SSS）余弦定理：推論：已知兩邊夾一角求第三邊（SAS）一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.新知探究“解三角形”的含義角A的對(duì)邊邊長(zhǎng)：a角B的對(duì)邊邊長(zhǎng)：b角C的對(duì)邊邊長(zhǎng)：c把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊邊長(zhǎng)a,b,c叫三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角余弦定理問(wèn)題

利用余弦定理及其推論，可以解決哪幾類解三角形問(wèn)題？（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（2）已知三邊，求三個(gè)角．余弦定理的應(yīng)用“知三邊”：(余)求cosA,cosB得A,B→(內(nèi))C=π-A-B.知/求哪角，用哪式(知三邊)(余)求cosB得B√余弦定理的應(yīng)用(知三邊)余弦定理的應(yīng)用(知兩邊及一角)知/求哪角，用哪式知兩邊及其夾角余弦定理的應(yīng)用(知兩邊及一角)知/求哪角，用哪式知兩邊和其中一邊的對(duì)角余弦定理的應(yīng)用在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形解析：在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos