22空幾體表積體【習標1.通過對柱、錐、臺體的研究，握柱、錐、臺的表面積和體積的求法；2.能運用公式求解柱體、錐體和體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推的基本思想握球的表面積和體積的計算公式會球的表面積和體積；4.會用柱、錐、臺體和球的表面和體積公式求簡單幾何體的表面積和體.【點理【清堂空幾體表積體395219間何的面】要一棱、錐棱的面棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積和。計算時要分清面的形狀，準確算出每個面的面積再求和。棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀下表：名稱

項目

底面

側(cè)面棱柱

平面多邊形

平行四邊形

面積=底·高棱錐棱臺

平面多邊形平面多邊形

三角形梯形

面積=面積=

1212

·底·高底下要詮：求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面的表面積．要二圓、錐圓的面圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應把它們側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．．圓的面（）柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長l那么這個矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr等圓柱側(cè)面的母線長（也是高得=Cl=2πrl．（）柱的表面：

2

(r)

．．圓的面（）錐的側(cè)面積：如下圖1所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為

l

，那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等圓錐側(cè)面的母線長為

l

，由此可得它的側(cè)面積是

1Cl圓錐側(cè)

rl

．（）錐的表面積S圓表π+πrl．

．圓的面（）臺的側(cè)面積：如上圖2所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)．如果圓臺的上、下底面半徑分別為r，線長為l，么這個扇環(huán)的面積為(rl，即圓臺的側(cè)面積為S=(r＇l．（）臺的表面積：

r'2'lrl)

．要詮：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要清它們的底面半徑、母線長與對應的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．．圓、錐圓的面公之的系下所．【清堂空幾體表積體395219空間何的積要三柱、體臺的積．柱的積式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S高的乘積，即V=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，是h的圓的體積是V=Sh=πrh．綜上，柱體的體積公式為．．錐的積式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是，那么它的體積

棱錐

13

．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是，高是h，那么它的體積V圓錐

13

；如果底面積半徑是r，πr表，則

圓錐

13

rh

．綜上，錐體的體積公式為

13

．．臺的積式棱臺的體積：如果棱臺的上、底面的面分別SS，高是h，那么它的體積是棱臺

1h'3

．圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是，是h，那么它的體積是圓臺

1((r2rr2)33

．

綜上，臺體的體積公式為

13

h'')

．．柱、體臺的積式間關(guān)如圖示【清堂空幾體表積體395219的積表積要四球表積體．球表積（）面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（）的表面積設球的半徑為R，則球的表面積式S=4πR．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．．球體設球的半徑為R，它的體積只與徑R關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為

球

43

3

．要五側(cè)積體的算．多體側(cè)積體的算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面積公式及其推導過程的基礎(chǔ)上，對于一些較簡單的幾何組體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺、球，再進一步分解為平面圖形（正多邊形、三角、梯形以求得其表面積與體積．要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈運用．（）錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：S小錐底S大錐底

S小錐全S大錐全

S小錐側(cè)S大錐側(cè)

對應線段（如高、斜高、底面邊長等）的平方之比．要詮：這個比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時，會大大簡化計算過程．在求臺體的側(cè)積、底面積比時，將臺體補成錐體，也可應用這個關(guān)系式．（）關(guān)棱柱直截面的補充知識．在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S=CV=Sl

l（其中C、（其中S、l

l分為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長．旋體側(cè)積體的算（）柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形式及面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵．（）算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多體的有關(guān)問題的關(guān)鍵．

【型題類一簡幾體表積例1．已知正四棱錐底面正方形邊長為，高與斜高的夾角為30°求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．【思路點撥】利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式。【答案】48cm【解析圖四錐的高PO高PE面邊心距OE組成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴

OE30

4cm

．因此

S

側(cè)

11Ch')2

，S=S+S=32+16=48（cm【總結(jié)升華】求棱錐的側(cè)面的關(guān)鍵是求側(cè)面等腰三角形的高（稱為斜高就要充分利用棱錐的高、邊心距（底面中心到各邊的距離）和斜高所構(gòu)成的直角三角形來求解．舉反：【清堂空幾體表積體3952191】【變式】已知棱長為a各面均為等邊三角形的四面體求的表面積。【答案】

a

【變式】圓的母線長擴大到原來的n倍，底面半徑縮小為原來的（）

1n

，那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉淼腁．1倍B．

n

倍C．

倍D．

1n

倍【答案】A例2．圓錐的高和底面半徑相等它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．【思路點撥】一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求解。【答案】【解析】如右圖為其軸截面圖，設圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長為rRr，，則有R

l

．∴R=2r，

l

R

,令圓柱和圓錐的表面積分別為S和12∴

S222112SR((2r2【總結(jié)升華】這是一個圓錐和圓柱的組合體．這種切接問題一般要畫出其軸截面來分析，利用似三角形求各元素之間的關(guān)系，再利用相應表面積公式計算．例3．一個直角梯形的上底、下、高的比為積和側(cè)面積的比．【答案】∶∶

2:3

，求由它旋轉(zhuǎn)而成的圓臺的上底面積，下底面

3CDE3CDE【解析】如右圖，設上、下底和高分別為x、2x、

，則母線

l

)3x2

，∴=x，S=π(2x)=4xS=π(x+2x)2x=6πx．∴圓臺的上、下底面積及側(cè)面積之比為1∶∶6．【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是利用軸截面是等腰梯形，進而化為直角梯形、直角三角形，從而將、下底半徑、高、母線等集中在一個直角三角形中研究．舉反：【變式】圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm它的側(cè)面展開扇環(huán)的圓心角是180°那么圓臺的表面積是多少？（結(jié)果中保π【答案1100【變式】鄰長為a，b的行四邊形，且ab，分別以ab兩邊在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個平行邊形，所得幾何體的表面積分別為SS，則（）A．S＜B．＞C．S＝．SS【答案】類二簡幾體體例4南模擬）如圖，在長方體的中點．

AD111

中，已知AD=AA=1，=2點E是AB1求三棱錐

E1

的體積．【思路點撥）

CE

D

1CDE

；1【答案】3【解析】由長方體性質(zhì)可得，

1

⊥平面DEC，所以是棱錐CDE11

的高，∴三棱錐

1

的體積D

111133

．【總結(jié)升華】求幾何體的體積或表面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用式求

解．此類題目是新課標高考的熱點，應引起重視．舉反：【變式】（）各棱長都為1的四棱錐的體積V．（2如圖正方體ABCDABCD的長為動點在上動點P分在棱，111上．若EF，A=，DQ，DP=（，，z大于零四體PEFQ的積（）1A與，，有關(guān)B與有關(guān)，與，無C．有關(guān)，與，無D．有，與x，無【答案）

）【解析圖可以分析出eq\o\ac(△,，)EFQ的積永遠不變面ABCD面的而當P點化時到ABCD11的距離是變化的，即的小，影響P到CD的離，因此會導致四面體體積的變化．故選．11例年重高考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體為（）1A3

2B3

1C．3

2D．3

【答案A【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，12

，故選A【總結(jié)升華出幾何體的三視幾何體的體積或表面積時，根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解．此類題目是新高考的熱點，應引起重視．舉反：【變式】某幾體的三視圖如圖所示，則它的體積是

首先課標A

8

B83

C．

8

D．

23【答案A【解析】由三視圖可知，其幾何體是由一個正方體挖去一個圓錐所得，所以其體積是正方體的體積減去圓錐的體積之差，8類三球表積體例．求體積為V的方的外接球的表面積和體積．

3

．【答案】

32

【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過球心作平行于正方體任一面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點均在圓內(nèi)，而不是在圓上此樣截面無反映球的半徑與正方體的棱長的關(guān)系，注意到球心必在正方體的一個對角面上此以方體的一個對角面作截面即可．如圖，以正方體的對角面

ACCA1

作球的截面，則球心

為

1

的中

點，設正

球球2球球2方體的棱長為，x3,V，AC11

x1

1

2

11

2

x33

3R32

42V2V332【總結(jié)升華】正方體外接球的軸截面不是圓內(nèi)一正方形，而是圓內(nèi)一矩形，因此在解決棱柱內(nèi)球和外接球的有關(guān)問題時，必須謹慎地作其軸截面，切忌想當然地作圖．解決球與其他幾何體的內(nèi)切、外接問題的關(guān)鍵在于仔細觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球和其他幾何體各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系空間問題平面化的目的．舉反：【變式2015年國Ⅱ高考）已知A是球O球面上兩點，C為該球面上的動點，三棱錐O積的最大值為，則球O的面積為（）A36πB．πC144πD．【答案】C【解析所C位垂直于面AOB直徑端點時錐