2022-2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知全集，則_________.【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出補(bǔ)集即可.【詳解】解：，則.故答案為：.2．函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意列出不等式解出即可.【詳解】要使函數(shù)有意義則：，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3．已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及定義域直接求參數(shù)值.【詳解】由已知函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，函?shù)圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且，函?shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，綜上所述：，故答案為：.4．?dāng)?shù)列中，若，且，則__________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由，知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.故答案為：.5．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)的充要條件是_________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，建立對(duì)稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間為嚴(yán)格減函數(shù)，所以二次函數(shù)對(duì)稱軸，故答案為：6．設(shè)函數(shù)f（x），若f（α）＝9，則α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】對(duì)函數(shù)值進(jìn)行分段考慮，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案為：﹣9或3【點(diǎn)睛】本題考查由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量，屬簡(jiǎn)單題.7．若數(shù)列滿足，前5項(xiàng)和為，則__________.【答案】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，∵，則有：當(dāng)時(shí)，則，故，不合題意；當(dāng)時(shí)，則數(shù)列是以公比的等比數(shù)列，故，解得，則；綜上所述：.故答案為：.8．定義在R上的奇函數(shù)在上的圖像如圖所示，則不等式的解集是____.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得函數(shù)簡(jiǎn)圖，再分類討論解不等式即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖所示：不等式或或，由圖可得：或或，綜上：解集為：故答案為：.9．已知（為正整數(shù)），且數(shù)列共有100項(xiàng)，則此數(shù)列中最大項(xiàng)為第__________項(xiàng).【答案】45【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷數(shù)列的最大項(xiàng).【詳解】由解析式可知，時(shí)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列取得最大值.故答案為：4510．已知函數(shù)在上嚴(yán)格增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)遞增列不等關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上嚴(yán)格增，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：11．已知函數(shù)，，與函數(shù)，，對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)恒能成立的思想可確定兩函數(shù)值域的包含關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)值域的求法，根據(jù)包含關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】設(shè)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，由?duì)任意，總存在，使得成立知：；在上單調(diào)遞減，，即；當(dāng)時(shí)，，即，滿足；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，即，由得：，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.12．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________.【答案】【分析】由題知滿足任意，都有，進(jìn)而得，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：令，因?yàn)?，所以，函?shù)是上的奇函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以，關(guān)于中心對(duì)稱，所以，滿足任意，都有.因?yàn)?，所以，?；當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故答案為：.二、單選題13．若、為實(shí)數(shù)，則成立的一個(gè)充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將命題進(jìn)行等價(jià)變換，即可得其充要條件.【詳解】?故選D．【點(diǎn)睛】本題考查用不等式的性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式,要注意不等式性質(zhì)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14．若函數(shù)f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定義域?yàn)椋瑒t取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【詳解】要使函數(shù)y=log2（kx2+4kx+3）的定義域?yàn)镽，則kx2+4kx+3＞0恒成立．若k＝0，則不等式kx2+4kx+3＞0等價(jià)為3＞0，∴k＝0成立．若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，則，即，解得．綜上：．故選B.【點(diǎn)睛】本題以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榍腥朦c(diǎn)，主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，其中要注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)k的討論是解答本題的關(guān)鍵．15．等差數(shù)列中，首項(xiàng)為、公差不為零，前項(xiàng)和為，若是的3倍，則與的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，即，注意到，整理得.故選：A.16．已知非空集合滿足：，已知函數(shù)，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①存在無(wú)窮多非空集合對(duì)，使得方程無(wú)解；②存在唯一的非空集合對(duì)，使得為偶函數(shù).下列判斷正確的是（

）A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】設(shè)，，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，解得，故①正確；當(dāng)，時(shí)，顯然函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，由，解得，故函數(shù)此時(shí)也為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤.故選：A.三、解答題17．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，且是等比數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且記，試比較與的大小.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)為正整數(shù).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義并利用等比數(shù)列性質(zhì)可解得公差，再求出數(shù)列的前三項(xiàng)可得其公比，即可寫出數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得，，作差法即可比較出與的大小.【詳解】（1）由題意可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，解得或（舍）所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列；即，所以數(shù)列與的通項(xiàng)公式分別為（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得；由可得，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，綜上可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為正整數(shù).18．已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)；（2）由等價(jià)于，解之得.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，.解不等式，得.因此，的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.①當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于，無(wú)解.當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于，解得.所以的取值范圍是.【解析】不等式選講.19．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱口罩售價(jià)100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤(rùn)=銷售總價(jià)-固定成本-生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值是多少（萬(wàn)元）？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)量的不同取值范圍討論利潤(rùn)y關(guān)于產(chǎn)量x的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解.(2)分別求出分段函數(shù)的最大值，比較大小即可求出利潤(rùn)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬(wàn)元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：為常數(shù)，且，；（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；（3）若數(shù)列是（2）中的等比數(shù)列，數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由公式求得通項(xiàng)公式；（2）簡(jiǎn)化數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，得出，解得參數(shù)；（3）由（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征，采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，且，兩式做差化簡(jiǎn)得：即：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．（2），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，即．（3）由（2）知，

①

②①②得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，已知等比數(shù)列求參數(shù)，求數(shù)列前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減求前前項(xiàng)和是關(guān)鍵，屬于中檔題．21．已知函數(shù)，記.(1)求不等式的解集：；(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍；(3)記（其中均為實(shí)數(shù)），若對(duì)于任意的，均有，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用因式分解法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)