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我們把未知數的個數多于方程的個數,且其解受到某種限制的方程,叫做不定方程.通常主要研究不定方程的正整數解、整數解、有理數解等.

不定方程問題的常見類型是：

（1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）確定不定方程解的數量（有限還是無限）.

不定方程問題的常用解法是：

（1）代數分析與恒等變形法，如因式分解、配方、換元等；

（2）估計范圍法，利用不等式放縮等方法,確定出方程中某些變量的取值范圍,進而求整解；

（3）同余法，即恰當選取模m,對方程兩邊做同余分析,以縮小變量的范圍或發(fā)現(xiàn)性質,從而得出整解或判定無解；

（4）構造法，構造出符合要求的特解,或構造一個求解的遞推式,證明方程有無窮多解；

（5）無窮遞降法，無窮遞降法是一種用反證法表現(xiàn)的特殊形式的歸納法,由Fermat創(chuàng)立并運用它證明了方程x4+y4=z4沒有非零整解.從此,無窮遞降作為一種重要的數學思想方法廣為流傳應用,并在平面幾何、圖論及組合中經常用到它.

引例：求所有正整數對（x,y）滿足xy=yx-y.1.二元一次不定方程

定義1形如ax+by=c（a,b,c∈Z,a,b不同時為0）的方程，稱為二元一次不定方程.

定理1不定方程ax+by=c有整數解的充要條件是（a,b）|c.

定理2設（x0,y0）是不定方程ax+by=c的一組整解,則此方程的一切整數解為（x,y）=（）,其中t∈Z.當（a,b）=1時,（x,y）=（x0+bt,y0-at）.例1求不定方程3x+2y+8z=40的正整數解。例2足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。那么，一個球隊打14場球積分19分的情況共有多少種.例3公元五世紀末，我國數學家張丘建在他的名著《算經》里提出一個世界數學史上著名的“百雞問題”：“雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。例4時鐘的刻度盤（寫有數字1,2,…,12的圓盤），以其中心為軸，固定在教室的黑板上，刻度盤可以繞軸轉過30°的整數倍的任意角度。起初，在黑板上靠近刻度盤上的數字旁邊的地方寫上“0”，然后轉動刻度盤若干次，每次轉動停止后，都將刻度盤上的數加到靠近它旁邊的黑板上所寫的數字，這樣是否可以做到：

（1）黑板上所寫的數都是1984？

（2）黑板上所寫的數除了一個之外，其余所寫的數都是1984？

（3）黑板上所寫的數除了兩個之外，其余所寫的數都是1984？

2.勾股數定理

定義2形如x2+y2=z2的方程叫做勾股數方程,并稱滿足（x,y）=1的解為方程的基本解.

引理給定正整數n,且n≥2,則不定方程uv=wn①,適合w>0,u>0,v>0,（u,v）=1的一切正整數解為:u=an,v=bn,w=ab,其中a>0,b>0,（a,b）=1②.例1求最小的正整數n（n≥2）,使得為整數.定理方程x2+y2=z2③適合條件x>0,y>0,（x,y）=1,且2|x④的一切正整數為:x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2,其中a>b>0,（a,b）=1,且a,b一奇一偶⑤.

推論單位圓上一切有理點為及,其中a,b不全為零,“±”號可任取.例2已知xn+yn=zn無正整數解.求證:方程x2n+y2n=z2也無正整數解.例3求方程2x+3y=z2的所有整數解（x,y,z）.

3.沛爾（pell）方程

定義3通常pell方程指以下四個不定方程：x2-dy2=±1，±4，其中x，y∈Z，d∈N*，且d不是平方數。

如果pell方程的正整數解（x，y）中，使得x+y最小的正整數解為（x1，y1），則稱（x1，y1）為方程的最小解。定理1設d∈N*，d不是平方數，方程x2-dy2=1的最小解為（x1，y1），則

xn=，

yn=，n=1，2，…。

給出方程x2-dy2=1的全部正整數解.稱x1+y1為方程x2-dy2=1的基本解。定理2設方程x2-dy2=-1的正整數解（x，y）中，使得x+y最小的解為（x1，y1），則

xn=，

yn=，n=1，2，…。

給出方程x2-dy2=-1的全部正整數解。例1設正整數d無平方因子，x0+y0為方程x2-dy2=1的基本解.求該方程的正整數解（x，y），使得x的所有素因子整除x0。

定理3（1）當a為非零整數時，方程x2-a2y2=1只有平凡解（±1，0）；方程x2-a2y2=-1僅當a=±1時有整數解（0，±1）。

（2）存在無窮多個非平方數d>0，使方程x2-dy2=-1無整解。

4.費爾馬大定理

不定方程xn+yn=zn（正整數n≥3）無正整數解.

費爾馬大定理，是困擾人們近四百年的著名世界難題，已于1994年被普林斯頓大學教授A.Wiles攻克。例2證明：存在無數個正整數n，使得[n]為完全平方數。例3試找出最大的c∈R+，使得對任意正整數n，都有{n}≥.（{x}=x-[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數）

不定方程的解法

1.因式分解法

將方程的一端化為常數，做因數分解，另一端含未知數的代數式因式分解，再由各因式的取值分解為若干方程組進行求解。

例1求方程2x2+5y2=11（xy-11）的正整數解。例2求方程x3-y3=z2的正整數解。其中y為素數，且3和y都不是z的約數。例3求方程x2-5xy+6y2-3x+5y-25=0整數解。2.配方法

將方程一邊變形為平方和的形式，另一邊是常數。從而縮小解的存在范圍，達到求解或判定無解之目的。

例1求方程x2-12x+y2+2=0的整數解。例2證明方程x2+y2+z2+3（x+y+z）+5=0無有理數解。例3求方程x2（y-1）+y2（x-1）=1的整數解。3.估計范圍法

從方程的形式入手，依據不等式及其性質等確定方程解的存在范圍，進而求解方程。

例1求方程3x2+7xy-2x-5y-35=0的正整數解。例2求所有整數組（a，b，c，x，y，z）滿足：

（?。?，（ⅱ）a≥b≥c≥1，x≥y≥z≥1.例3求x2+x=y4+y3+y2+y的整解。例4求方程的整數解。4.同余法

若某不定方程有整解，則等式兩邊對模m同余（m為任意正整數），這是原方程有解的一個必要條件，據此可以縮小解的范圍，或判定方程無解。

例1求|12x-5y|=7的全部正整數解（x，y）。例2.求8x+15y=17z的全部正整數解（x,y,z）。例3.證明方程組沒有整數解。5.無窮遞降法

運用無窮遞降法主要是證明方程無正整數解。其一般步驟是：

先假定存在一組適合條件的正整數解，再設法構造出其它正整數解,要求必須是遞降的，由于上述過程可無限進行下去，再由嚴格遞減的正整數數列只有有限項，從而導致矛盾。還可從假設方程的一組“最小解”，而遞降得到更小解引出矛盾。

例1.設p≡-1（mod4）,證明：對任意正整數n，方程x2+y2=pn無正整數解。例2.證明方程x2+y2-19xy-19=0無整數解。

例3.證明方程x4+y4=z2沒有正整數解。6.構造法

即通過構造恒等式或一些特定方程,來證明不定方程有解或者有無窮多解.

例1.證明方程x3+y3+z3+t3=1999有無窮多組整解。例2.是否存在正整數m，使得方程有無窮多組正整數解（a,b,c）。例3.證明：有無窮多個正整數n，使得n的整數部分[n]為完全平方數。

【不定方程練習題】

1.是否存在正整數m,n滿足5m2-6mn+7n2=2006？請說明理由。

2.求出所有正整數x,y使得x2+615=2y。

3.求出所有正整數對（n,k）使得（n+1）k-1=n!。

4.證明方程3y2=x4+x沒有正整數解。

5.找出所有的正整數對（m,n）,使得6m+2n+2是一個完全平方數。

6.求所有正整數x,y,滿足1!+2!+3!+…+x!=y2。

7.設x1，x2是方程x2-6x+1=0的兩個根.證明:對于一切正整數n,an=x1n+x2n都是整數且不整除an。

8.若n個邊長為正整數的正方體體積之和為20022005。求n的最小值。

【知識點概要】

1、帶余除法定理:設（a,b）是兩個給定整數，a≠0.那么，一定存在唯一的一對整數（q,r），使得b=qa+r,0≤r<|a|.此外，a|b當且僅當r=0.（帶余除法是初等數論中最重要、最基本、最直接的工具。）

2、公因數、最大公因數、互素的定義和性質:

用（a1,a2,...,an）記a1,a2,…,an的最大公約數[a1,a2,...,an]記為a1,a2,...,an的最小公倍數。特別的，若（a,b）=1則稱a,b互素。

最大公因數的基本性質：（以下關于最大公約數的性質都不需要用到算術基本定理）

（1）（交換律）（a,b）=（b,a）

（2）（結合律）（（a,b）,c）=（a,（b,c））

（3）若a1|ai,i=2,3,…,n，則（a1,a2,…,an）=a1

（4）若p是素數，則

（5）若b=qa+r，則（a,b）=（a,r）.3、輾轉相除法:任給整數m,n（n≠0）,則有如下帶余除法鏈：

m=nq1+r1,1≤r1<n

n=r1q2+r2,1≤r2<r1

r1=r2q3+r3,1≤r3<r2

……

Rk-1=rkqk+1+rk+1,rk+1=0

裴蜀定理：一次不定方程ax+by=c有整數解當且僅當（a,b）|c.【例題講解】

1.{Fn}是Fibonacci數列：F0=0,F1=1,Fn=Fn－1+Fn－2（n≥2），對于1≤i≤200,記gi=（Fi,F2007）.求gi的所有可能取值.2.（1）求證：（2m-1,2n-1）=2（m,n）-1；

（2）求（2m+1,2n+1）；

（3）求（3m3.（1）（Fermat型質數））求證：若1+2n是質數，則n一定形如2k（其中k是非負整數）；

（2）求證：若1+2n+4n是質數，則n=3k（其中k是非負整數）。4.給定正整數m,n,求最小的正整數k,使得（10m-1）·（10n-1）∣（10k5.由某些正整數組成的集合X稱為好集若：a,b∈X,a+b與|a-b|恰有一個屬于X（a,b可以相同）.（1）求包含2008的不同好集的個數；（2）求包含2010的不同好集的個數。6.稱正整數d為好數,如果對一切正整數x,y都有d|（（x+y）5-x5-y5）當且僅當d|（（x+y）7-x7-y7）.（1）29是不是好數?（2）2009、2010是不是好數?7.求所有不等正整數對（a，b），使得（a2+ab+4）|（b2+ab+4）.8.黑板上開始時寫著正整數組（m，n，m，n）.每步對當時的數組（x，y，u，v）進行廣義的歐氏運算：若x>y，變?yōu)椋▁-y，y，u+v，v）；而若x<y，變?yōu)椋▁，y-x，u，v+u）；當x=y時結束（此時它們等于最大公因數（m，n））.

求證，結束時后兩數的算術平均值等于最小公倍數[m，n]。9.給定奇數n>1，正整數a（1≤a≤n-1）稱為好數，若a及a+1都與n互素。求證：所有好數的乘積除以n的余數等于1（空集的乘積約定為1）.10.求所有的正整數三元組（a，b，c）滿足：a3+b3+c3能同時被a2b，b2c，c2

【知識點概要】

1、Fermat小定理：給定素數p，設整數a與p互素，則ap-1≡1（modp）。

2、Euler定理：給定整數m>1.設整數a與m互素，則aφ（m）≡1（modm）。

其中={modm的互不同余且都與m互素的代表元}，是對乘、除法封閉的集合，||是集合的元素個數。3、階的定義：使得ak≡1（modm）,a∈M﹡成立的最小正整數k稱為a對于（modm）的階，記作δm（a）。

滿足δm（a）=φ（m）的a（如果存在）,稱為（modm）的原根。

4、歐拉函數φ（m）的計算

（1）若（m，n）=1，則φ（mn）=φ（m）φ（n）；

（2）當m=pe（其中p為質數）時，φ（m）=pe-1（p-1）；

（3）若m的質因數分解式為m=

5、階的主要性質：

（1）模數列ak（modm）的最小正周期為δn（a）,其中n是m的與a互素的最大因數；

【例題講解】

1.設三角形的三邊長分別是整數l>m>n。已知其中{x}=x-[x]而[x]表示不超過x的最大整數。求種三角形周長的最小值。2.十進制正整數n的各位數字都由0或1構成，并且是585的倍數，求滿足條件的最小正整數n。10.n是合數，求證：（其中為Euler函數）。11.求方程n=φ（n）+402的正整數解（其中φ為Euler函數）。3.為純循環(huán)小數，循環(huán)節(jié)長為6=7-1，而且一個循環(huán)節(jié)內有142+857=999。

求證：分數（n為正整數）滿足類似性質：（1）循環(huán)節(jié)長度為2n；（2）在一個循環(huán)節(jié)內前n項與后n項之和為10n-1的充要條件為：（i）2n+1=p為奇質數，（ii）10是modp的原根，即10p-1≡1（modp）且p-1是滿足10k≡1（modp）的正整數里最小的一個，并據此條件再找出兩個這樣的分數。5.設p為奇素數，

（1）a≥2，求證：ap-1的素因子要么整除a-1,要么必形如2pk+1（k∈Z）；

（2）求證：2pk+1型素數有無窮多個；

（3）若素數q|（ap+1）,則或者q|（a+1）,或者q=2pk+1（k為整數）。6.（1）F