15.2線段的垂直平分線黃山市屯溪第六中學(xué)吳磊一、教學(xué)目標(biāo)1.能夠利用尺規(guī)作圖作一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性；通過探究、猜想并證明線段垂直平分線的判定定理；2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明的意識(shí)和能力；在定理的證明過程中，體會(huì)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；3.綜合運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；4.在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作與探究精神，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受中華文化，增強(qiáng)文化自信.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理的證明.難點(diǎn)：線段垂直平分線尺規(guī)作法正確性的證明.教學(xué)過程（一）溫故導(dǎo)新、感悟定義1.前面我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形，線段是軸對(duì)稱圖形嗎？為什么？你能找出它的對(duì)稱軸嗎？（操作：對(duì)折透明紙上的線段AB，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合）線段是軸對(duì)稱圖形，折痕所在的直線就是這條線段的一條對(duì)稱軸。問題1：折痕所在直線是線段AB的一條對(duì)稱軸，該直線與線段AB有什么特殊的關(guān)系？問題2：設(shè)這條直線與線段AB的交點(diǎn)為O，O點(diǎn)在線段AB的什么位置？（中點(diǎn)，通過折紙驗(yàn)證）問題3：這條直線與線段AB有什么位置關(guān)系？（垂直，通過折紙驗(yàn)證）問題4：你能給出它的一個(gè)名稱和定義嗎？（垂直平分線）過線段中點(diǎn)且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線，也叫中垂線.[設(shè)計(jì)意圖]由問題引入新課，既復(fù)習(xí)了軸對(duì)稱圖形的概念，又通過折紙活動(dòng)發(fā)現(xiàn)線段對(duì)稱軸的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納定義，為學(xué)習(xí)新知做鋪墊.（二）合作交流、探究作圖任何一條線段都有垂直平分線，你能畫出線段的垂直平分線嗎？有哪些方法？（學(xué)生動(dòng)手操作）方法一：通過折紙，畫出折痕所在的直線；方法二：先利用刻度尺找出線段的中點(diǎn)，再利用三角板過中點(diǎn)作垂線；PPT出示圖片（古建筑的房梁），古人是如何智慧地找到“垂直平分線”的？怎么利用尺規(guī)作圖作出線段的垂直平分線？利用圓規(guī)找一點(diǎn)C，使得CA=CB；如何確定一條直線？（兩個(gè)點(diǎn)）（學(xué)生自主探究，如何利用圓規(guī)找到符合要求的點(diǎn)）回顧尺規(guī)作圖的一般步驟有哪些？已知：線段AB.求作：直線CD，使CD⊥AB，且CD平分AB.作法：分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)C，D；作直線CD.（注意思考作圖中問題：為什么以大于AB的長為半徑畫弧）[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生將古建筑房梁構(gòu)造圖中蘊(yùn)含的“智慧”應(yīng)用到實(shí)際的尺規(guī)作圖中，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的文化自信.回顧尺規(guī)作圖的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.（三）啟發(fā)引導(dǎo)、證明作法思考：這樣作出的直線CD就是線段AB的垂直平分線嗎？你能給出證明嗎？（學(xué)生獨(dú)立思考，教師適時(shí)指導(dǎo)）證明思路：證直線CD是線段AB的垂直平分線↓O是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB↓AO=BO，∠AOC=∠BOC↓△AOC≌△BOC↓∠ACO=∠BCO↓△ACD≌△BCD（SSS）（同桌交流，口述證明過程）[設(shè)計(jì)意圖]運(yùn)用推理論證的方法證明尺規(guī)作圖的正確性，同時(shí)在運(yùn)用分析法分析證明思路中，多次把所求證的問題轉(zhuǎn)化成已知的知識(shí)來解決，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.（四）觀察演示、發(fā)現(xiàn)結(jié)論中垂線到線段交點(diǎn)O以及圖中點(diǎn)C、D與線段兩端點(diǎn)A、B的距離相等，即OA=OB，CA=CB，DA=DB.（特殊）你能猜想線段垂直平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？（一般）猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.驗(yàn)證：通過折紙或測量進(jìn)行初步驗(yàn)證，最后通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證：隨著動(dòng)點(diǎn)在線段垂直平分線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)與線段端點(diǎn)之間的距離也相應(yīng)變化，但與兩端點(diǎn)距離始終相等.證明：根據(jù)命題畫出圖形，并寫出已知和求證，分析證明思路，最后寫出證明過程.思路：證明兩條線段相等→看成兩個(gè)三角形的邊→證明這兩個(gè)三角形全等（學(xué)生獨(dú)立完成證明過程的書寫，投影展示，并思考是否嚴(yán)謹(jǐn)）已知:如圖，直線MN經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.證明:∵M(jìn)N⊥AB(已知)∴∠AOP=∠BOP=90°(垂直定義)在△AOP與△BOP中,∴△AOP≌△BOP(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.符號(hào)語言：∵點(diǎn)P是線段AB垂直平分線上的點(diǎn)∴PA=PB.或∵AO=BO，MN⊥AB∴PA=PB.[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生從中點(diǎn)出發(fā)，先猜想垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)，然后通過測量、折紙、幾何畫板驗(yàn)證猜想，再通過嚴(yán)格證明得到結(jié)論，體現(xiàn)了從特殊到一般及轉(zhuǎn)化的思想.同時(shí)注重符號(hào)語言，增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).（五）再推定理、回歸作圖你能說出它的逆命題嗎？她得條件和結(jié)論分別是什么？逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上.證明：（學(xué)生探究交流，教師個(gè)別指導(dǎo)，最后請(qǐng)學(xué)生演示）預(yù)設(shè)證法一：過P點(diǎn)作AB的垂線，交AB于點(diǎn)C，證明點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；預(yù)設(shè)證法二：取AB中點(diǎn)C,作直線PC，證明PC⊥AB；預(yù)設(shè)證法三：從尺規(guī)作圖的圖中出發(fā)，得到結(jié)論.判定定理：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上.（判定垂直平分線需要證兩個(gè)點(diǎn)）反思：再次感受古人的智慧，即兩根一樣長的柱子就能確定垂直平分線上的點(diǎn)；推出不同的尺規(guī)作圖，感受數(shù)學(xué)中的簡潔美.[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生思考逆命題，通過證明確定判定定理，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的數(shù)學(xué)分析能力.師生合作交流，體會(huì)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).通過反思，反芻作圖，感受古人智慧，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).（六）例題分析、鞏固新知例已知:如圖所示,△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證:點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.證明:連接PA、PB、PC.∵點(diǎn)P在AB、AC的垂直平分線上，（已知）∴PA=PB,PA=PC,（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）∴PB=PC,（等量代換）∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.（到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上）（引導(dǎo)學(xué)生用文字語言轉(zhuǎn)換，并注意與三角形角平分線、中線、高的整合，分析異同點(diǎn)）三角形三邊的垂直平分線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.[設(shè)計(jì)意圖]通過例題的分析講解，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)定理解決問題的能力，同時(shí)注重符號(hào)語言的規(guī)范性.（七）鞏固練習(xí)、發(fā)展思維公路同側(cè)的A、B兩村，共同出資在公路邊修建一個(gè)停靠站C，使?？空镜紸、B兩村的距離相等，請(qǐng)你確定?？空綜的位置.B村A村2.已知：AB⊥CD，DE⊥AC，垂足B、E分別是CD、AC的中點(diǎn).求證：AC=DC.[設(shè)計(jì)意圖]通過練習(xí)，運(yùn)用性質(zhì)定理解決實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷建模和應(yīng)用的過程，感受學(xué)以致用.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用執(zhí)果索因（分析法）的方法尋求證明思路.（八）課堂小結(jié)、歸納提升一個(gè)作法：尺規(guī)作圖；兩個(gè)定理：線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；思想方法：轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的研究方法.[設(shè)計(jì)意圖]通過對(duì)所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)反思，明確所學(xué)知識(shí)和方法，更好地納入知識(shí)體系，提升思維能力水平.（九）分層作業(yè)，同步提高1.必做題：教材練習(xí)第1.2.3題；2.選做題：習(xí)題15.2第3.4題.3.操作題：根據(jù)本節(jié)課的知識(shí)自己動(dòng)手用木條制作一個(gè)能直接畫出線段垂直平分線的工具.[設(shè)計(jì)意圖]分層作業(yè)，旨在提高中等生的知識(shí)能力，提升優(yōu)等生的思維能力，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)反思（一）教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了命題與證明、全等三角形以及軸對(duì)稱圖形之后的新內(nèi)容，是以圖形的軸對(duì)稱為基礎(chǔ)，圍繞圖形的軸對(duì)稱性展開的。線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明線段相等的重要手段。本節(jié)課也為后面學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)做了鋪墊，同時(shí)為圓中垂徑分弦的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。（二）教學(xué)設(shè)計(jì)本節(jié)課從復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形的定義出發(fā)，想到線段的對(duì)稱軸，從而引出線段的垂直平分線，自然生成。再由古人房梁的設(shè)計(jì)，智慧地想到如何用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，并證明正確性，不僅培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，也自然而然地突破了教學(xué)難點(diǎn)。由垂直平分線上的特殊點(diǎn)猜想一般性質(zhì)并證明，得到了垂直平分線的性質(zhì)定理，緊接著證明逆命題的正確性得到判定定理，最后加以應(yīng)用，連貫性地突出了教學(xué)重點(diǎn)。（三）思想方法本節(jié)課以陶行知“在做中學(xué)”的思想為載體，以學(xué)生為主體，通過創(chuàng)設(shè)問題串，不斷地突破重難點(diǎn)。通過幾何畫板的演示，引導(dǎo)學(xué)生猜想出性質(zhì)定理，滲透從特殊到一般的合情推理思想；定理證明多樣性的反思中滲透分類的思想；得出定理后文字語言、圖形語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換