北京中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期考試期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用列舉法表示出集合，即可判斷；【詳解】解：，故集合中含有個(gè)元素；故選：C2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義以及常見函數(shù)的單調(diào)性，即可容易判斷得解.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，沒有意義，故錯(cuò)誤；對(duì)B：的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，無奇偶性，故錯(cuò)誤；對(duì)C：，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)候，是單調(diào)增函數(shù)，故正確；對(duì)D：定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但，故不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：C.3.已知等差數(shù)列的公差為d,前n項(xiàng)和為,則“d>0”是A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】由，可知當(dāng)時(shí)，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件，選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知，結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件．4.函數(shù)=的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】依題意在上的增函數(shù)，且，即，所以的唯一零點(diǎn)在區(qū)間.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可得，求出，再利用通項(xiàng)公式，即可得到答案；【詳解】由，，有即則，故選：.6.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.7.中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出，即得解.【詳解】因?yàn)樗裕裕缘拿娣e.故選：C8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)的圖像距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定的值【詳解】解：如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點(diǎn)為，由圖可知，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以平移后的函數(shù)為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的圖像與軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即，由圖可知此點(diǎn)為，所以，故選：B9.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．10.國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的相關(guān)規(guī)定指出，飲酒駕車是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于，小于的駕駛行為；醉酒駕車是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于的駕駛行為.一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖所示，且圖中的函數(shù)模型為：，假設(shè)某成年人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時(shí)才可以駕車，則的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由散點(diǎn)圖知，該人喝一瓶啤酒后個(gè)小時(shí)內(nèi)酒精含量大于或者等于，所以，根據(jù)題意列不等式，解不等式結(jié)合即可求解.【詳解】由散點(diǎn)圖知，該人喝一瓶啤酒后個(gè)小時(shí)內(nèi)酒精含量大于或者等于，所以所求，由，即，所以，即，所以，因?yàn)?，所以最小為，所以至少?jīng)過小時(shí)才可以駕車，故選：B.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）11.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根的被開方數(shù)非負(fù)，分式的分母不為零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.【詳解】切點(diǎn)，，故切線方程為，即.故答案為：13.設(shè),且,則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以的最小值為.故答案為：14.已知平面向量與的夾角為，，，則___________；若平行四邊形滿足，，則平行四邊形的面積為___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】由結(jié)合已知條件可求出；先求出和，然后利用面積公式可求出平行四邊形的面積.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，，，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以平行四邊形的面積為，故答案為：1；.15.如圖，以O(shè)x為始邊作鈍角α，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x1，y1），將角α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β．角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Q（x2，y2），則x2﹣x1的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，求得再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求出的取值范圍.【詳解】由已知得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.16.已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖示可得答案.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則需函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.三、解答題（共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）17.在中，，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的值；（2）角的大小和的面積.條件①：；條件②：.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）若選①，則直接利用余弦定理可求得，若選②，先由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若選①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面積公式可求出其面積，若選②，由于，利用兩角和的余弦公式展開計(jì)算可求出角，利用面積公式可求出其面積，【小問1詳解】選擇條件①因?yàn)椋?，，由余弦定理，得，化?jiǎn)得，解得或（舍）所以；選擇條件②因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，得，解得；【小?詳解】選擇條件①因，，所以.由正弦定理，得，所以，因?yàn)?，所以，所以為銳角，所以，所以，選擇條件②由（1）知，，又因?yàn)?，，在中，，所以因?yàn)樗?，所?8.已知向量

，，設(shè)函數(shù)

．（1）求

的最小正周期，對(duì)稱中心，對(duì)稱軸；（2）若函數(shù)

，，其中

，試討論函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）；對(duì)稱中心：，；對(duì)稱軸：，，（2）答案見詳解.【解析】【分析】（1）通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用周期公式：，對(duì)稱中心，，對(duì)稱軸，即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為與，在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可推出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（1）函數(shù)，，．

的最小正周期：，由，，解得對(duì)稱中心：，由，，解得，，所以對(duì)稱軸為，，（2），，所以，，函數(shù)，，其中，令，在同一坐標(biāo)系中，作出與，如圖，當(dāng)或時(shí)，零點(diǎn)為0個(gè)；當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).19.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.【答案】（1），；的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）利用條件可得兩個(gè)關(guān)于的方程，然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）利用（1）的結(jié)論，分情況討論區(qū)間和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系即得．【小問1詳解】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，即，又，則，而的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得，∴，∴，于，由得或，由，可得，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；【小問2詳解】由（1）得，令得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：02＋0－0＋增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由此可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，無極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；綜上得，當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值；當(dāng)或時(shí)，無極值．20.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率，由切線方程求a；（2）原問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性即可求解.【詳解】（1），所以在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即；（2）因?yàn)?，所以，所以可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在時(shí)單調(diào)遞增，又，，所以存使得且時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增．綜上，對(duì)于連續(xù)函數(shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，在時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增，分類討論的正負(fù)即可．21.已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．【答案】（Ⅰ）數(shù)集不具有性質(zhì)P；數(shù)集具有性質(zhì)P（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ