新《空間向量與立體幾何》專題一、選擇題1．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中真命題的序號為（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【答案】A【解析】【分析】逐一分析命題①②③④的正誤，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于命題①，若，過直線作平面，使得，則，，，，，命題①正確；對于命題②，對于命題②，若，，則，命題②正確；對于命題③，若，，則與相交、平行或異面，命題③錯誤；對于命題④，若，，則或，命題④錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)線面、面面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.2．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，然后按照表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該幾何體的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與簡單幾何體的表面積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3．已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，可將異面直線轉(zhuǎn)化共面的相交直線，再進(jìn)行求解【詳解】如圖：作的中點(diǎn)，連接，由題設(shè)可知，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的邊長為4，由幾何關(guān)系可得，，，，得，即故選D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的求法，屬于基礎(chǔ)題4．已知平面α∩β=l，m是α內(nèi)不同于l的直線，那么下列命題中錯誤的是（）A．若m∥β，則m∥l B．若m∥l，則m∥βC．若m⊥β，則m⊥l D．若m⊥l，則m⊥β【答案】D【解析】【分析】A由線面平行的性質(zhì)定理判斷.B根據(jù)兩個(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線的直線必平行于另一個(gè)平面判斷.C根據(jù)線面垂直的定義判斷.D根據(jù)線面垂直的判定定理判斷.【詳解】A選項(xiàng)是正確命題，由線面平行的性質(zhì)定理知，可以證出線線平行；B選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)閮蓚€(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線的直線必平行于另一個(gè)平面；C選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)橐粋€(gè)線垂直于一個(gè)面，則必垂直于這個(gè)面中的直線；D選項(xiàng)是錯誤命題，因?yàn)橐粭l直線垂直于一個(gè)平面中的一條直線，不能推出它垂直于這個(gè)平面；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線關(guān)系和面面關(guān)系，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.5．設(shè)為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】【分析】利用空間線線、線面、面面間的關(guān)系對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解．【詳解】若，，則與相交、平行或異面，故錯誤；若，，則由直線與平面垂直的判定定理知，故正確；若，，則或，故錯誤；若，，則，或，或與相交，故錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】該幾何體是一個(gè)三棱錐，且同一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直并且相等，把這個(gè)三棱錐放到正方體中，即可求出其外接球的表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，且同一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直并且相等，如圖所示該幾何體是棱長為1的正方體中的三棱錐.所以該三棱錐的外接球即為此正方體的外接球，球的直徑為正方體體對角線的長.即.所以外接球的表面積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7．已知正方體的棱的中點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，平面過點(diǎn)且與直線垂直，若，則平面截該正方體所得截面圖形的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方體的垂直關(guān)系可得平面，進(jìn)而，可考慮平面是否為所求的平面，只需證明即可確定平面.【詳解】如圖所示，正方體中，為棱的中點(diǎn)，，則，，，，；又平面，，且，平面，且，即截該正方體所得截面圖形的面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，考查三角形面積的計(jì)算，熟悉正方體中線面垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8．以下說法正確的有幾個(gè)（）①四邊形確定一個(gè)平面；②如果一條直線在平面外，那么這條直線與該平面沒有公共點(diǎn)；③過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】【分析】對四個(gè)說法逐一分析，由此得出正確的個(gè)數(shù).【詳解】①錯誤，如空間四邊形確定一個(gè)三棱錐.②錯誤，直線可能和平面相交.③正確，根據(jù)公理二可判斷③正確.④錯誤，在空間中，垂直于同一條直線的兩條直線可能相交，也可能異面，也可能平行.綜上所述，正確的說法有個(gè)，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9．如圖，在長方體中，,而對角線上存在一點(diǎn)，使得取得最小值，則此最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】把面繞旋轉(zhuǎn)至面使其與對角面在同一平面上，連接并求出，就是最小值．【詳解】把面繞旋轉(zhuǎn)至面使其與對角面在同一平面上，連接．就是的最小值，，，．所以故選．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，空間想象能力，解決此類問題常通過轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離問題，是中檔題．10．如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對【答案】C【解析】【分析】畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動點(diǎn)在底面內(nèi)（不包括邊界），若平面，則的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面平行的判定定理可知平面平面，從而可得的軌跡是（不含兩點(diǎn)）；由垂直關(guān)系可知當(dāng)時(shí)，取得最小值；利用面積橋和勾股定理可求得最小值.【詳解】如圖，在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，且，平面平面，則動點(diǎn)的軌跡是（不含兩點(diǎn)）又平面，則當(dāng)時(shí)，取得最小值此時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中動點(diǎn)軌跡及最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過面面平行關(guān)系得到動點(diǎn)的軌跡，從而找到最值取得的點(diǎn).12．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】A，有可能出現(xiàn)，平行這種情況.B，會出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況.C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷.D，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷.【詳解】對于A，，，若，則，故A錯誤；對于B，會出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，故C錯誤；對于D，，，又由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行、垂直關(guān)系的判定，還考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.13．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng).14．如下圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面的中心，過三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分，其中含的部分為，不含的部分為，連接和的任一點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接EF，可證平行四邊形EFGH為截面，由題意可找到與平面所成的角，進(jìn)而得到sinα的最大值.【詳解】連接EF，因?yàn)镋F//面ABCD,所以過EFO的平面與平面ABCD的交線一定是過點(diǎn)O且與EF平行的直線，過點(diǎn)O作GH//BC交CD于點(diǎn)G,交AB于H點(diǎn)，則GH//EF,連接EH，F(xiàn)G,則平行四邊形EFGH為截面，則五棱柱為，三棱柱EBH-FCG為，設(shè)M點(diǎn)為的任一點(diǎn)，過M點(diǎn)作底面的垂線，垂足為N，連接,則即為與平面所成的角，所以=α，因?yàn)閟inα=,要使α的正弦最大，必須MN最大，最小，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)符合題意，故sinα的最大值為=,故選B【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行關(guān)系與平面公理的應(yīng)用，考查線面角的求法，屬于中檔題.15．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為A．1∶2 B．1∶C．1∶ D．∶2【答案】C【解析】【分析】由已知，求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的底面面積和側(cè)面積，可得答案【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，∴其母線長l＝r．∴S側(cè)＝πrl＝πr2，S底＝πr故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．16．已知正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先找出直線AD與平面所成角，然后在中，求出，即可得到本題答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，作于，連接，則即為與平面所成角.不妨設(shè)棱長為4，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成角的求法，找出線面所成角是解決此類題目的關(guān)鍵.17．圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計(jì)算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計(jì)算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為l，則側(cè)面積為，側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,則圓錐的體積為,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展開整理得R=所以外接球的體積為,故所求體積比為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題.18．某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為()A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】由三視圖可知該多面體的直觀圖為如圖所示的四棱錐：其中，四邊形為邊長為1的正方形，面，且，.∴，，∴，,∴∴最長棱為故選A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：①首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；②觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.19．如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N，Q分別是線段AD1，B1C，C1D1上的動點(diǎn)，當(dāng)三棱錐Q-BMN的正視圖如圖2所示時(shí)，三棱錐俯視圖的面積為A．2 B．1C． D．【答案】C【解析】【分析】判斷俯視圖的形狀，利用三視圖數(shù)據(jù)求解俯視圖的面積即可．【詳解】由正視圖可知：是的中點(diǎn)，在處，在的中點(diǎn)，俯視圖如圖所示：可得其面積為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖求解幾何體的面積與體積，