向量的定義1:既有大小,又有方向的量稱為向量,記為或用有向線段AB表示向量,線段的長(zhǎng)度AB表示向量的大小又稱向量的長(zhǎng)度或模,模等于1的向量稱為單位向量,模等于向量的坐標(biāo)表

的向量稱為零向量在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,若OM點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z稱為的坐標(biāo)記為x,y,z設(shè)axayazbbxbybz則baxbxaybyazbz向量的模與方在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,稱與三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z軸的夾角,,為的方向角.設(shè)x,y,z,則的模 x2y2z2;的方向余弦cos二、向量的線性運(yùn)算設(shè)axayazbbxbybz加法baxbxaybyazbz數(shù)乘:axayaz向量的加法與數(shù)乘有以下性質(zhì):bb bcabaa aa aba第二 數(shù)量 向量 混合一、兩向量的幾何表示ababcos其中是a與b的夾角代數(shù)表示設(shè)a（axayazb（bx,bybz,則abaxbxayby,,應(yīng)用:判定兩向量垂直abab0axbxaybyazbz二、兩向量的幾何表示:ab是一個(gè)向量模ababsin其中是a與b的夾角；方向:ab同時(shí)垂直于a和 代數(shù)表示:設(shè)a（ax,ay,az,b（bx,by,bz,則ab

az,,應(yīng)用:判定兩向量平行abab0

ay

az例1設(shè)M1112、M233,1和M33,13求與M1M2M2M3同時(shí)垂直的單位向量三、混合定義稱（ab）c為三個(gè)向量abc的混合積,記為 az,,bz,cz,

bz.:a第三 平面及其方一、建立平面方基本點(diǎn) 平面由一個(gè)定點(diǎn)與法向量確定,與平面垂直的向量稱為它的法向量平面的點(diǎn)法式Axx0Byy0Czz0這里x0y0z0為平面上一定點(diǎn),nAB,C為平面的法向量平面的一般式AxByCzD0這里nA,B,C為平面的法向平面的截距式xyz1,這里a,b,c分別為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距且均不為0. 二、平面與平面的位置例1求過三點(diǎn)M121,4、M21,3,2和M30,2,3的平面方程例2一平面通過兩點(diǎn)M11,1,1和M20,1,1且垂直于平面xyz0求它的方程第四 空間直線及其方基本點(diǎn):空間直線由一個(gè)定點(diǎn)與方向向量確定,與直線平行的非零向量稱為它的方向向xx0

y

zz0這里xyz為直線上一定點(diǎn),smn,p nt,這里x,y, 為直線上一定點(diǎn) m,n,p為直線的方向向量 zz0A1xB1yC1zD1這里的直線為兩個(gè)平面的交線,方向向量snnAxByCzD 兩點(diǎn)Px,y,z和Px,y,z的距離d xx2yy2zz2 點(diǎn)Px,y,z到平面AxByCzD0的距離d P0Psx y P0Ps點(diǎn) x,y, 到空間直 0 0 0的距離d 這里P是直線上任一點(diǎn),s（m,n,p）是直線的方向向量xyz100例2求過點(diǎn)124且垂直于平面2x3yz40的直線方程例3求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點(diǎn)32,5的直線方程第五 曲面及其方一、曲面的方程三元方程Fx,yz0在空間表示一張曲面S,叫做曲面的二、旋轉(zhuǎn)曲面定義1:以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,fy,z設(shè)yoz坐標(biāo)面上的一條曲線L:x 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f x2y2,z繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為:fy, 例1將xoz面上的曲線 21分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程 三、柱面定義2:平行直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線動(dòng)直線L叫做柱面的母線.

Fx,y方程Fx,y0在空間中表示柱面,它的母線平行于z軸,準(zhǔn)線是xoy面上的曲線 z三、二次曲第六 空間曲線及其方一、空間曲線的方程方程組

Gxyz0在空間表示一條曲線C,叫做空間曲線的一般式xxt方程組yyt在空間表示一條曲線C,叫做空間曲線的參數(shù)zztFx,y,z設(shè)由空間曲線C

Gx,y,z0在此方程組中消去z得Hx,y0,它表示空間曲線C關(guān)于xoy面的投影柱面Hx,y若在令z0,即 z

表示空間曲線C在xoy面上的投影例1求上半球面z 4x2y2和錐面z 3x2y2圍成的立體在xoy面上的投影第九 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)第一 多元函數(shù)的基本概一、二維鄰域設(shè)P0x0,y0是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn),是某一與點(diǎn)P0x0y0距離小于的點(diǎn)Px,y的全體稱為點(diǎn)P0的鄰域記作UP0,即UP0,x,y

點(diǎn)P0的去心鄰域,記作UP0,,即UP0,x,y0 二、二元函數(shù)定義1設(shè)有三個(gè)變量xyz變量xy的變化域?yàn)镈若對(duì)D中每一點(diǎn)Px,y按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f變量z都有唯一確定的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng),則稱變量z是變量x,y的二元函數(shù)記作zfx,y.這里x,y稱為自變量D稱為定義域,z稱為因變量（函數(shù)值三、多元函數(shù)定義2:y

fx,yAfx,yAx,yx0,y0定理:y

fxyAfxyA其中0x,yx0y0注:1.二元函數(shù)中x,yx0,y0是指的沿任意路徑方除法則、單調(diào)有界準(zhǔn)則外其余求極限的方法適用于二重極要會(huì)用不同的路徑或某一特殊的路

sinxy

例

2

x

x

xx:1lim ；2）lim ；xx

四、多元函數(shù)定義3:y

fxyfx0y0則稱二元函數(shù)fxy在x0y0處連續(xù)注:1.二元函數(shù)fx,y在x0,y0處若不連續(xù)是不討論其間斷點(diǎn)類型（二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）或復(fù)合仍連續(xù)（有界性與最大值最小值定理、介值定理第二 偏導(dǎo)一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意定義1fxylimfx0xy0fx0y0limfxy0fx0y000x00 xxfx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y0.y00 yy0 yy00例2設(shè)fx,yxy x,求f 例3討論下列函數(shù)在0,0點(diǎn)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性 ,x,y0,（1）fx,yx2

x,y0,

;2）fx,y

xyfxx0y0是曲面zfxy與平面yy0的交線在點(diǎn)P0x0y0fx0y0處的切線對(duì)x軸的斜率;fyx0y0是曲面zfx,y與平面xx0的交線在點(diǎn)P0x0y0fx0y0處的切線對(duì)y軸的斜率例4zx2y2在點(diǎn)2,4,5處的切線對(duì)x軸的傾角是多少？ y二、高階偏導(dǎo)設(shè)zfx,y在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)zfxy,zfx,y在D內(nèi)zz均是x,y的函數(shù) x如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,稱它們是zfx,y的二階偏導(dǎo)按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同 二階偏導(dǎo)數(shù)有以下四個(gè)z2zfx,y z2zfx,yxx yx z2zfx,y z2zfx,yxy yy 2 2其中xy和yx稱為混合偏導(dǎo)數(shù)定理 2 2若zfx,y的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)xy和yx在在點(diǎn)x0y0處連續(xù)2 xyx0,y0

2 2例5驗(yàn)證函數(shù)z 滿足方程:

2例6設(shè)zfxy在全平面有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且xy0,求fxy一、全微分的

第三 全微定義1:設(shè)zfxy在點(diǎn)x0y0的某鄰域有定義,若全增量zfx0xy0yfx0y0可表示為zAxByo x2y2,其中A和B是不依賴于x和y的常數(shù)則稱zfxy在點(diǎn)x0y0處可微,而AxBy稱為zfxy在點(diǎn)x0y0處的微分0記為dzxyAx0二、可微的必要條件與充分若zfxy在點(diǎn)x0y0處可微（1）fx,y在點(diǎn)x0y0處連續(xù)（2）fx,y在點(diǎn)x0,y0處可偏導(dǎo),且dz x0,y0x x0,y0y x0,y0dx x0,y0若zfxy的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)ff都在點(diǎn)xy處連續(xù),則zfxy在點(diǎn)xy處可x 例1計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分

,x,y0,x,y0,

討論fx,y在0,0點(diǎn)是否可微例3設(shè)fxy

x2y2,x,y0,x2

討論fx,y在0,0點(diǎn)是否可微 x,y0,例4設(shè)uuxy滿足du4x310xy33y4dx15x2y212xy35y4dy求ux,y若dux,yPx,ydxQx,ydy稱ux,y為Px,ydxQx,ydy的原函數(shù)第四 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一、鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則設(shè)uuxyvvxy在點(diǎn)xy處有對(duì)xy的偏導(dǎo)數(shù)zfuv在對(duì)應(yīng)點(diǎn)可微則復(fù)合函數(shù)zfux,yvx,y對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在 f ； fu f fu f f ； u v 1 2 u v 1 2 例1設(shè)wfxyzxyzf具有二階連續(xù)偏導(dǎo)x及xz2例2設(shè)zfuxy,uxeyf具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求

xyux2 2 2 2 2例3用變換vxay可把方程6x2xy其中z有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)第五 隱函數(shù)的求一、一個(gè)方程

0化簡(jiǎn)為uv0求a隱函數(shù)存在定理 設(shè)Fx,y有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),且Fy則方程Fx,y0確定yyxdyFx 隱函數(shù)存在定理2設(shè)Fx,y,z有連續(xù)階偏導(dǎo)且Fz則方程Fxyz0確定zzx,y

z

x， y Fz 二、方程組情形（僅數(shù)一Fx,y,u,v設(shè)uux,yvvx,y有方程組Gx,y,u,v

確定FFuFv u v u在方程兩端直接對(duì)x求偏導(dǎo),有G Gv0x,x u v

10在點(diǎn)0,1附近能確定函數(shù)yyx并求

2 xuyv uu 例2設(shè)xyz4z0x2

,求 和xy 例4設(shè)uv具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明由方程cxazcybz0所確定的函數(shù)z滿足azbz

fx,y 例5設(shè)yfxt而ttx,y是由方程Fx,y,t0所確定的函數(shù).其中fF都具有一階連續(xù)偏導(dǎo). 一、曲面的切平面與法線曲面以隱式給出:Fx,y,z0法向量n=FxFy,曲面以顯示給出zfxy法向量n=fxfy例1求曲面x2y2z214在點(diǎn)12,3處的切平面及法線方程例2求曲面zx2y21在點(diǎn)2,14處的切平面及法線方程二、空間曲線的切線xxt空間曲線L以參數(shù)形式給出yyt,t切向量=xt,yt,ztzztFx,y,z空間曲線L以一般式給出:Gx,yz0切向量=n1n2例3求曲線xt2在點(diǎn)1,1,1處的切線及法平面方程 zx2y2z2

xyz0在點(diǎn)1,2,1處的切線及法平面方程 定義1二元函數(shù)zfxy在點(diǎn)P0x0y0處沿著方向elcoscosfx0tcos,y0tcosfx0,y0方向?qū)?Plim t 二、方向?qū)?shù)的存在若zfx,y在點(diǎn)P0x0y0可微則zfxy在點(diǎn)P0x0y0沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在且 fx,ycosfx,ycos,其中cos,cos是方向l的方向余弦l 例1求函數(shù)zxe2y在點(diǎn)P1，0處沿從點(diǎn)P1，0到點(diǎn)Q21的方向?qū)?shù)三、梯定義2gradfx0y0fxx0y0ifyx0y0方向?qū)?shù)與梯度向量的關(guān)系: fx,ycosfx,ycoslx0,y0 fx0,y0,fyx0,y0cos,cosgradfx0y0l0gradfx0y0cos其中是gradfx0y0與l0的夾角例2求 x2例3設(shè)fxy1x2y2P1,1求 （1）fx,y在P0處增加最快的方向以及fx,y沿這個(gè)方向的方（2）fx,y在P0處減少最快的方向以及fx,y沿這個(gè)方向的方（3）fx,y在P0處變化率為零的方向第八 多元函數(shù)的極值及其求一、多元函數(shù)定義1設(shè)zfx,y在點(diǎn)P0x0,y0的某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)該鄰域內(nèi)任何異于P0x0,y0點(diǎn)x,y,有fx,y（）fx0,y0則稱P0x0,y0是fx,y的極大（?。┲礷x,y例1已知函數(shù)fx,y在點(diǎn)0,0的某個(gè)鄰域

x2y2則下列說法正確的 A點(diǎn)00不是fx,y的極值B點(diǎn)00是fx,y的極C點(diǎn)00是fx,y的極小值D根據(jù)所給條件無法判斷0,0是否為fx,y的極二、極值的必要條件和充分設(shè)zfx,y在x0,y0處具有偏導(dǎo)數(shù),且在x0,y0處取極值,則fxx0y00,fyx0,y0設(shè)zfx,y在x0y0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且fxx0y00,fyx0y0記fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C,若B2AC0,則x0y0是fxy的極值點(diǎn)A0時(shí),x0,y0為fx,y的極小值點(diǎn)；A0時(shí),x0y0為fx,y的極大值若B2AC0,則x0,y0不是fx,y的極值若B2AC0,則x0,y0可能是也可能不是fx,y的極值例2求fxyx3y33x23y29x的極值例3設(shè)zzxy由方程x2y2z22x4y6z110確定求zzxy的極值三、條件最求zfx,y在條件x,y0下的（1）構(gòu) 日函數(shù)Fx,y,fx,yx,y（2）列方程組Ffx,y x,y Fx,y解上述方程組根據(jù)實(shí)際問題,所得即所求上述方法可推廣求zfx,yz在一個(gè)條件x,yz或兩個(gè)條

x,yz0下的最值構(gòu)造Fxyzfxyzxyz或Fxyzfxyzxyzxyz例4求uxyz在條1111xyza0下的最值 四、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值最小以二元函數(shù)為例:求連續(xù)函數(shù)zfxy在有界閉區(qū)域D上的最求fx,y在D內(nèi)部的偏導(dǎo)數(shù)為零和偏導(dǎo)數(shù)不存在的求fx,y在D的邊界上的最值比較上述各函數(shù)值的大小,最大的為最大值,最小的為最小例5設(shè)有一圓板占有平面閉區(qū)域Dx2y21該圓板被加以致在點(diǎn)xy的溫度是Tx22y2x.求該圓板的最熱點(diǎn)和最第十 重積第一 二重積分的概念與性定義

fx,ydlim

f,其中表示最大小區(qū)域的直徑 0

fxy在D上存在二重積分,也稱fxy在D若fxy0,則fxyd表示以曲面zD側(cè)面是柱面的曲頂柱體的體二、二重積分等式性D

fx,y為頂,以區(qū)域D為底（2）k1fx,yk2gx,ydk1fx,ydk2gx,y （3）fx,ydfx,ydfx,yd, D2D, D2 不等式性 D

D

fx,y（3）在D上若m中值定

fxyM,則mADfxydMD設(shè)fx,y在D上連續(xù)則存在一點(diǎn),D使D

fx,yd=f,三、二重積分設(shè)D關(guān)于y軸對(duì)稱D1是D在x0的部分,2fx,yd,fxy對(duì)x是偶函fx,yd fx,y對(duì)x是奇設(shè)D關(guān)于x軸對(duì)稱D1是D在y0的部分,2fxyd,fxy對(duì)y是偶函fx,yd fx,y對(duì)y是奇若D關(guān)于直線yx對(duì)稱,則fxydfyxd 例1設(shè)有平面閉區(qū)域DaxaxyaD10xaxy則xycosxsinydxdyDA2cosxsin

B2

C4xycosxsiny

D例2設(shè)fx,y,fy,x都在D上可積,D關(guān)于直線yx對(duì)稱證明fx,ydfyxd其中D1D2分別為D在yx的上方與下方部 fx,ydfy,xd 第二 二重積分的計(jì)算1.若Daxb,xyx則fxyd

2

fx,y d2.若Dcyd,yxy則fxydd

12yy1

的特點(diǎn):（1）和（2）都是將二重積分化為累次積分不同的是前者是先對(duì)y積分后對(duì)x積分,后者是先對(duì)x積分后對(duì)y積分區(qū)域的特點(diǎn):（1）中區(qū)域D的特點(diǎn)是穿過D內(nèi)與x軸平行的直線交D的邊界不多于兩點(diǎn),是適宜先對(duì)x積分后對(duì)y積分的區(qū)域積分限的特點(diǎn):每個(gè)單積分總是上限后積分的積分線是常數(shù),先積分的積分限是后積分變量的函D

1x2y2d其中D是由直線yxx1和y1圍成的閉區(qū)域例2計(jì)算xyd其中D是由拋物線y2x及直線yx2所圍成的閉區(qū)域D二 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積若D是適合極坐標(biāo)表示,即D:r1rr2 則fxyddr2frcosrsin D Dy x注:被積函數(shù)形如xmynfx2y2或xmyn

或xmyn

yx x且積分區(qū)域?yàn)閳A域、環(huán)域、扇形時(shí)使用極坐標(biāo)比較方D例3計(jì)算ex2y2d其中D是由圓心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的D y2 例4計(jì)算二重積分a2b2dxdy,其中D:x R 例5計(jì)算二重積分xydxdy其中D是由曲線x2y22x2y1所圍成的閉區(qū)域D例6交換下列二次積分的次序 1y

2

3 fx,ydxdy

fx,y

fx,y例7化下列的二次積分為極坐標(biāo)下的二次 fx,y

2axx2x2y2dy 例8計(jì)算下列二次積分（1）2dx2ey2dy ;2）2a 一、三重積分的概念與物理意義定義1fxyzdvlim

0

i fxyz在上存在三重積分,也稱fxyz在若物體占據(jù)空間區(qū)域其體密度為fx,yz,則在它的質(zhì)量mfx,yz普通對(duì)設(shè)關(guān)于yoz面對(duì)稱,1是在yoz前面的部分2fxyzdv,fxyz對(duì)x是偶函fx,y,zdv fxyz對(duì)x是奇函數(shù)若關(guān)于xoy面或x