本文格式為Word版，下載可任意編輯——勾股定理教材分析word勾股定理

一、課標(biāo)要求：

1、經(jīng)歷摸索勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展自身合情推理意識(shí)和主動(dòng)探究的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊湊聯(lián)系。

2、理解直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，有意識(shí)地發(fā)現(xiàn)自己說(shuō)理和簡(jiǎn)單推理的能力

3、可以運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題，并通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會(huì)它的文化價(jià)值。

二、中考要求：

1、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，會(huì)求第三邊長(zhǎng)（A級(jí)）

2、會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)用勾股定理逆定理判定三角形是否為直角三角形。（B級(jí)）3、了解定義、命題、定理含義；了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立，逆命題不一定成立（A級(jí)）

三、本章結(jié)構(gòu)圖：

實(shí)際問(wèn)題（直角三角形邊長(zhǎng)計(jì)算）勾股定理互逆定理實(shí)際問(wèn)題（判定直角三角形）勾股定理的逆定理

四、課時(shí)安排：

本章教學(xué)時(shí)間約需要7課時(shí)，具體安排如下：18.1勾股定理3課時(shí)18.2勾股定理的逆定理2課時(shí)18.3小結(jié)2課時(shí)

五、本章教材在學(xué)習(xí)中地位：

勾股定理是直角三角形的一條十分重要的性質(zhì)，它將數(shù)與形密切聯(lián)系起來(lái)，透露了一

個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、余弦定理的基礎(chǔ)，是三角形知識(shí)的深化,他緊湊聯(lián)系了數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)量——數(shù)和形，能夠把形（直角三角形中一個(gè)角是直角）轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系（三邊之間滿足a2?b2?c2），既是數(shù)形結(jié)合的典范，又表達(dá)了轉(zhuǎn)化和方程思想。

由于本章在二次根式之前，學(xué)生對(duì)根式的運(yùn)算極不熟悉，故本章的運(yùn)算結(jié)果如何保存，

如何有效地減少計(jì)算錯(cuò)，需要老師們注意。

六、本章教學(xué)特點(diǎn)：

1、讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的摸索和運(yùn)用過(guò)程

1

從勾股定理證明的摸索，到教科書讓學(xué)生利用勾股定理探究三個(gè)問(wèn)題：探究1是木板進(jìn)門的問(wèn)題，探究2是梯子滑動(dòng)問(wèn)題，探究3是在數(shù)軸上畫出13的問(wèn)題。

2、注意表達(dá)由抽象到具體的思維過(guò)程

本章無(wú)論勾股定理還是勾股定理逆定理的研究都表達(dá)著由抽象到具體的思維過(guò)程。在

勾股定理逆定理的一節(jié)中，從古代埃及人畫直角的方法談起，然后讓學(xué)生畫一些直角三角形，可以猜想出假使三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2?b2?c2，那么這個(gè)三角形顯然是直角三角形，即教科書的命題2。把命題2的條件、結(jié)論與上一節(jié)命題1的條件、結(jié)論作比較，引出逆命題、逆定理的概念。

3、重視介紹數(shù)學(xué)文化

在教學(xué)中，注意浮現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，使學(xué)生對(duì)勾股定理的發(fā)展過(guò)程有所了解，感受勾股定理豐富的文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。特別應(yīng)通過(guò)向?qū)W生介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱心，培養(yǎng)他們的民族高傲感，為將來(lái)?yè)?dān)負(fù)起振興中華的重任打下基礎(chǔ)。

?勾股定理的名稱

在西方國(guó)家，一般稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理，由于人們相信是畢達(dá)哥拉斯最早提出并證明白這一定理。并且據(jù)說(shuō)，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時(shí)，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈。因而這一定理又有了“百牛定理〞的稱法。在法國(guó)和比利時(shí)這個(gè)定理被稱為“驢橋定理〞。在中世紀(jì)的阿拉伯國(guó)家和印度，這一定理還有一個(gè)綽號(hào)，叫“新娘圖〞。至于綽號(hào)由來(lái)，現(xiàn)代人眾說(shuō)紛紜，莫衷一是。

在我國(guó)以前也稱這一定理為畢達(dá)哥拉斯定理。五十年代初，曾展開過(guò)關(guān)于這一定理命

名的探討。有人主張叫“商高定理〞。因這一結(jié)論的在我國(guó)最早是由西周初的商高提出的。在數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》一書中，記載有商高與周公的對(duì)話，其中商高提出了“勾三股四弦五〞的說(shuō)法。不過(guò)據(jù)推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關(guān)系的特例狀況，普遍性的結(jié)論，由陳子提出。他說(shuō)：“……勾股各自乘，并而開方除之……〞這是普遍勾股定理在我國(guó)的最早記載。故有人主張應(yīng)稱為“陳子定理〞。后來(lái)決定不用人名，而稱為“勾股定理〞。單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項(xiàng)平面幾何之最了。

七、各節(jié)特點(diǎn)：§1、摸索勾股定理1、勾股定理

（1）定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

（2）表示方法：假使直角三角形兩直角邊分別為a,b，斜邊為c，那么a2?b2?c2（3）起源與作用：

不僅對(duì)中國(guó)，它的啟示和影響對(duì)世界大量重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)也都很重要。如在西方無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)就應(yīng)直接歸功于勾股定理的發(fā)現(xiàn)。在其它文明古國(guó)如古代印度、古代巴比倫、古代埃及等的數(shù)學(xué)發(fā)展史上這一定理也都發(fā)揮過(guò)不可估量的作用。毫不夸誕地說(shuō)，它是世界各大文明古國(guó)最早認(rèn)識(shí)也是最廣泛使用的數(shù)學(xué)定理之一，是人類最宏偉的十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。天文學(xué)家開普勒亦把它稱為幾何定理中的“黃金〞，應(yīng)當(dāng)說(shuō)勾股定理實(shí)在是受之無(wú)愧的！因此勾股定理有千年第一定理的美譽(yù)。

由于：

2

①勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)與形的第一定理；②勾股定理導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)；

③勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量轉(zhuǎn)化為證明與推理的科學(xué)；

④勾股定理的公式是第一個(gè)不定方程，它一方面引出各種各樣的不定方程；另一方面也為不

定方程解題樹立了一個(gè)范示。勾股定理a2?b2?c2本身就是一個(gè)關(guān)于a,b,c的不定方程，顯然它有無(wú)數(shù)多組解，滿足該方程的正整數(shù)解a,b,c尋常叫做勾股數(shù)組。世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九章

11算術(shù)》，公式為：a?(m2?n2)，b?mn，c?(m2?n2)，其中m,n為互質(zhì)的奇數(shù)(m?n)，

22則a,b,c為勾股數(shù)。國(guó)外最先給出勾股數(shù)通解公式為：a?2mn，b?m2?n2，c?m2?n2，其中m,n(m?n)是互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)，則a,b,c為勾股數(shù)，這是由希臘的丟番圖給出的。

2、勾股定理的證明

關(guān)于中西方勾股定理不同證法，全日制初中義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材(人教版)一共介紹了6種證法，讓學(xué)生開闊眼界，并讓他們感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用勾股方圓圖證明勾股定理是多么巧妙，多么的簡(jiǎn)捷，融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，真可謂獨(dú)具匠心。勾股定理除了教材中介紹的6種證法外，還有大量巧妙的證明。千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)?？赡苁怯捎诠垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單又實(shí)用，更簡(jiǎn)單吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料說(shuō)明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比較的。

例如：勾股定理的證明方法十分多，利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我

b國(guó)古代數(shù)學(xué)家的宏偉貢獻(xiàn)。三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注是a就給出了弦圖，并用它驗(yàn)證了勾股定理。其證明過(guò)程是：

1c2?4??ab?(b?a)2=2ab?b2?2ab?a2?b2?a2（面積法驗(yàn)證勾股定理）

2其它證法：見2023年2月版教師用書117頁(yè)到118頁(yè)，124頁(yè)到125頁(yè)

3、勾股定理的使用范圍

勾股定理透露了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，它只適用直角三角形，對(duì)于鈍角三角形和銳角三角形的三邊不具有這一特征。因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)必需明白所考察對(duì)象是直角三角形。

4、勾股定理的應(yīng)用

（1）已知直角三角形任意兩邊的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出第三邊長(zhǎng)；（2）知道直角三角形某一邊長(zhǎng)，可得另兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；（3）可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題

5、需要注意的問(wèn)題：

3

（1）運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題時(shí)，必需是在直角三角形的條件下，不可不加分析就用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算。典型錯(cuò)誤：

例：已知在?ABC中，a,b,c分別是?A、?B，?C的對(duì)邊，且a?3,b?4，且b?c。若c為整數(shù)，則c=

錯(cuò)解：由勾股定理可得c?a2?b2?32?42=5分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五〞的影響，沒有認(rèn)真審題，錯(cuò)在沒有注意到題目中的三角形是否為直角三角形。

正解：b?a?c?b?a，又b?c,?b?c?a?b，即4?c?7，c為整數(shù)，?c為5或6

（2）在運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定明確哪條是直角邊，哪條是斜邊，以防止運(yùn)用不當(dāng)。典型錯(cuò)誤：

已知：三角形兩邊的長(zhǎng)分別是5和12，假使這個(gè)三角形是直角三角形，則其第三邊長(zhǎng)為錯(cuò)解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，則由勾股定理可得：52?122?x2，?x?13

分析：由于此題中已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但沒有明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，故需要分狀況探討

正解：當(dāng)x為斜邊時(shí)，x?13；當(dāng)x為直角邊時(shí)，x?119故第三邊長(zhǎng)為13或119。

6、知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一：利用勾股定理求線段長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

（1）在Rt?ABC中，?C?90?，①若a?7,b?24,則c?；②若a?5,c?13,則b?；③若b?15,c?25,則a?

（2）等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為22，則此直角三角形的腰長(zhǎng)為

（3）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，則斜邊AB=，斜邊AB上的高線長(zhǎng)為。（與面積的結(jié)合）

（4）等邊三角形的邊長(zhǎng)為2㎝，則它的面積為

（5）在Rt?ABC中，?ACB?90?，且c?a?9,c?a?4，則b?。

（6）假使一個(gè)直角三角形有一條直角邊長(zhǎng)為11，另兩條邊長(zhǎng)為自然數(shù)，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是

知識(shí)點(diǎn)（二）勾股定理在幾何中的應(yīng)用。

A例：已知：?ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC

上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求BD的長(zhǎng)。解：過(guò)A作AE⊥BC于E。

1AB=AC，?BE=EC=BC=16

2BC在Rt?ABE中，AB=20，BE=16，DE

4

?AE2?AB2?BE2?202?162=144

?AE?12

故在Rt?ADE中，設(shè)DE=x，則AD2?AE2?DE2?144?x2

AD?AC于A，?AD2?AC2?CD2，即144+x2?202?(16?x)2，解得x?9

?BD?BE?DE?16?9?7

[總結(jié)]勾股定理是解決直角三角形中線段問(wèn)題最有效的方法，有時(shí)為了需要，作垂線構(gòu)建直角三角形模型是行之有效的方法。練習(xí)：

1、在?ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求?ABC的面積。2、

如圖在四邊形ABCD中，?BAD?90?，?CBD?90?,AD?4，AB=3，BC=12，求以

DC為邊的正方形面積。

3、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A恰好落在DC上，記為A'.若AD=4，BC