本文格式為Word版，下載可任意編輯——公允的評(píng)卷系統(tǒng)模型公允的競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)模型

摘要

本文針對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)進(jìn)行模型建立和求解．

問題一：研究一種答卷編號(hào)加密和解密的數(shù)學(xué)公式方法（其中題號(hào)為明號(hào)）；通過碼制轉(zhuǎn)換和異或運(yùn)算進(jìn)行簡單易算、可隨意轉(zhuǎn)換且保密性良好的加密和解密方法。

問題二：研究一種評(píng)閱答卷分派的數(shù)學(xué)公式方法。通過以滿意度最大為目標(biāo)函數(shù)建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，把所有評(píng)委分組，分別為{7,8,5,5}，再引入隸屬度函數(shù)，以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)，回避本校答卷和滿足某些特別要求為約束條件建立優(yōu)化模型，給各題組的評(píng)委具體分派答卷。

問題三：研究評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法。通過運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理分析了評(píng)委的類型—客觀公允型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅度波動(dòng)型和作弊型。

問題四：研究最終的分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算公式，該公式要處理那些可能出現(xiàn)的“不公允〞，及尺度偏差。通過對(duì)各類型的評(píng)委的評(píng)分作出合理的量化，并以這些量作為權(quán)值對(duì)不合理分?jǐn)?shù)進(jìn)行最終調(diào)整，最終調(diào)整公式為：Sj??wi?sij．

i?1m綜上所述，利用本文所建立的各種模型，可以有效的對(duì)試卷編號(hào)進(jìn)行加密，合理的對(duì)試卷分派，根據(jù)評(píng)委的公正性和每份試卷打分的置信區(qū)間可以給出最終分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式，反應(yīng)了試卷的真實(shí)水平。

組A、B的參賽隊(duì)要比選擇題組C、D的多，為了保證閱卷的公允性，分派到題組A、B的評(píng)委數(shù)目應(yīng)當(dāng)比C、D的多，不妨假設(shè)題組A和B的評(píng)委數(shù)至少分別比題組C和D的多1，于是有以下模型（Ⅰ）：

max??yk?1l?1425'kl

?a?b?c?d?25?a?b?12?s.t.??c?5??d?5（Ⅰ）

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Lingo9.0來求解以上的數(shù)學(xué)模型，得到下面的分派結(jié)果（見表3.1）：

表3.1評(píng)委答卷分派題該題組評(píng)委該題組評(píng)委所在學(xué)校編號(hào)組數(shù)目A71，4，6，12，16，28，30B82，5，7，10，17，20，21，26C511，13，14，15，24D53，8，9，22，292）答卷分派：在評(píng)閱過程中，每份答卷必需經(jīng)四位不同的評(píng)委評(píng)閱，同時(shí)要求評(píng)委回避本校答卷，滿足某些特別要求，在此基礎(chǔ)上盡可能使評(píng)委評(píng)閱的答卷廣泛，也就是說，該評(píng)委所評(píng)閱的答卷含不同學(xué)校數(shù)目盡量多．

在上一步中已經(jīng)探討了把25名評(píng)委分到四個(gè)題組的問題，現(xiàn)在我們以題組A為例，建立模型求解出題組A評(píng)委的具體分派狀況，其他題組可以類似地求解．

題組A的評(píng)委數(shù)為7，分別是1、4、6、12、16、28、30，我們重新對(duì)這些評(píng)委編號(hào)為1，2，．．．，7，選做題組A的學(xué)校編號(hào)為1，2，．．．，19．

為了使評(píng)委評(píng)閱答卷盡可能廣泛，我們引入模糊數(shù)學(xué)的柯西型隸屬度函數(shù)，給出各評(píng)委每評(píng)閱一份答卷的值——廣泛度：

??xij?12??2???f?xij???1??????4?????1（5）

其中廣泛度校越多，

f?xij?是

xij的減函數(shù)，表示當(dāng)?shù)趇個(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷越廣泛，即所含學(xué)

xij越小，則廣泛度

f?xij?越大，(見表3.2)：表3.2xij函數(shù)表

xij10.883220.862130.8351-6-

40.800050.753860.6923f?xij?xij70.609880.500090.3600100.2000110.0588120f?xij?

于是，我們以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型（Ⅱ）：

max??f?x??xiji?1j?1719ij

?7??xij?4Uj,j?1,?,191?i?719?xij?4?95?s.t.???i?1j?119???xij?bi,i?1,?,7?j?1??bi??45,65?（Ⅱ）

在模型（Ⅱ）中，第一約束條件表示每所學(xué)校的每份答卷都有4位評(píng)委評(píng)閱；其次

約束條件表示所有的答卷都有4位評(píng)委評(píng)閱；第三、四約束條件表示每個(gè)評(píng)委評(píng)閱一定量的答卷，且答卷量相當(dāng)．

推廣到其他題組，把模型（Ⅱ）寫成模型（Ⅲ）：

maxkkfx?x??ijij,i?1j?1mknk???k?1,2,3,4?

?mkkk??xij?4Uj,j?1,?,nk1?i?mn?kkxk?4A???ks.t.?i?1j?1ij?nkkk??xij?bi,i?1,?,mk?j?1kkk??bi?bl,bu（Ⅲ）

??kkbb其中，l和u分別表示第k個(gè)題組評(píng)委評(píng)閱答卷數(shù)的下界和上界．

3.模型求解：

1）答卷的加密

一個(gè)密碼系統(tǒng)，尋常簡稱為密碼體制，由五部分組成，可用數(shù)學(xué)符號(hào)描述如下[1]：

S??B,C,K,E,D?（1）

對(duì)于每一個(gè)確定的密鑰，加密算法將確定一個(gè)具體的加密變換，解密算法將確定一個(gè)具體的解密變換，而且解密變換就是加密變換的逆變換．對(duì)于明文空間B中的每一個(gè)明文，加密算法E在密鑰Ke的控制下將明文B加密成密文C：

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C?E?B,Ke?（5）于是，我們對(duì)加密算法E按以下步驟對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密：

Step1進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換；Step2確定密鑰；

Step3明文與密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4把結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制；Step5添加題組標(biāo)示，即為密文．

為了更好地理解該算法，我們選取了一個(gè)編號(hào)（1209B題）來簡單描述：Step1把1209的每個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)換為四位二進(jìn)制，即0001001000001001；

Step2隨機(jī)選取一個(gè)3-5個(gè)字母的英文單詞，如num，把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為ASCII碼，即110117109，再把ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，即110100100000100000011110101，取前16位，即1101001000001000；

1000與Step1得到的二進(jìn)Step3按位進(jìn)行異或運(yùn)算，即用密鑰K?110100100000制序列0001001000001001異或，得到序列1100000000000001；

Step4把新得到的序列轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即五位數(shù)字49153；

Step5在49153的最高位前添加2，即249153，代表該參賽隊(duì)是B題組的（數(shù)字1、2、3、4分別代表題組A、B、C、D）．

故：編號(hào)1209B題的密號(hào)為249153．

為了減少工作量和提高加密系統(tǒng)的保密性，我們可將所有的參賽隊(duì)編號(hào)按先后順序先自上而下、后從左到右地排列成n?m的矩陣；按每一列逐列進(jìn)行整體加密；每一個(gè)評(píng)委分別機(jī)要地發(fā)給公證人（注：該公證人不參與評(píng)卷工作，只負(fù)責(zé)對(duì)答卷加密、解密和分派答卷的工作．）3-5個(gè)字母的英文單詞，公證人按順序或逆序把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號(hào)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù)．這樣，就可以簡化了Step2隨機(jī)選取密鑰的工作量，同時(shí)不會(huì)降低其保密性能．

而解密算法D在密鑰Kd的控制下將密文C解密出同一明文B：

M?D?C,Kd??D?E?B,Ke?,Kd?（6）

假使一個(gè)密碼體制的Ke?Kd，則成為單密鑰密碼體制或?qū)ΨQ密碼體制，否則成為雙密鑰密碼體制．我們?cè)诒疚闹胁捎脝蚊荑€密碼體制，即Ke?Kd，對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密和解密．

針對(duì)此題，我們加密的目的是把各參賽隊(duì)的序號(hào)反映出來的學(xué)校信息以及每個(gè)參賽學(xué)校不同隊(duì)伍的組號(hào)信息進(jìn)行隱蔽，即對(duì)答卷編號(hào)隱蔽，而各答卷編號(hào)（即題號(hào)）是明號(hào)．因此可以得出以下結(jié)論：明文空間B為各參賽隊(duì)的序號(hào)，密文空間C為我們對(duì)明文空間B進(jìn)行加密后的號(hào)碼．

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2）答卷的解密

對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密，實(shí)際上是對(duì)加密算法的逆運(yùn)算，即D?E．我們對(duì)解密算法D按以下步驟對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密：

Step1評(píng)委們公開各人機(jī)要發(fā)給公證人的字母，公證人公開其按順序還是逆序排列評(píng)委們的字母；

Step2把所有字母轉(zhuǎn)換為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號(hào)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù)；

Step3取密號(hào)的后五位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，得到的結(jié)果與密鑰K進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4所得結(jié)果每四位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成一位十進(jìn)制，按順序逐個(gè)轉(zhuǎn)換，得到的結(jié)果每四位十進(jìn)制便是明號(hào)，即答卷的編號(hào)．

3）數(shù)據(jù)的處理

在答卷數(shù)量不至于太多同時(shí)參賽學(xué)校不至于太少的狀況下，我們要求每個(gè)評(píng)委來自不同學(xué)校，以示其公允性．而本問題中要求，每個(gè)題組的M個(gè)評(píng)委來自不同學(xué)校，則我們不需要考慮某學(xué)校參賽隊(duì)數(shù)目與來自該校的評(píng)委數(shù)比例關(guān)系的公允性問題．

對(duì)于附錄給出的數(shù)據(jù)，我們經(jīng)統(tǒng)計(jì)可得以下的信息：35所學(xué)校298個(gè)參賽隊(duì)，各參賽隊(duì)選擇題組分別為A題95個(gè)、B題107個(gè)、C題50個(gè)、D題46個(gè)（見下表1）．25名評(píng)委分別來自不同學(xué)校，評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)分別為：1-17、20、21、22、24、26、28、29、30．對(duì)于評(píng)委評(píng)閱答卷，還有些特別要求，如：編號(hào)為15、22的只容許評(píng)C、D題，編號(hào)為26的只容許評(píng)A、B題，編號(hào)為1、4、6、12、16的評(píng)委要求評(píng)A題，編號(hào)為2、5、7、10的評(píng)委要求評(píng)B題；編號(hào)為24的評(píng)委要求評(píng)C題，編號(hào)為29的評(píng)委要求評(píng)D題（見表3.3）．

表3.3參賽學(xué)校與組隊(duì)狀況

?1

表3.4評(píng)委評(píng)閱答卷的特別要求

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4）評(píng)委的公允性評(píng)價(jià)

在評(píng)卷過程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)評(píng)分一致偏高或偏低的狀況，也有可能出現(xiàn)某些評(píng)委評(píng)分不公正的現(xiàn)象．于是，給出一種評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法，是十分必要的．

本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，引入幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)各評(píng)委的評(píng)分特點(diǎn)在這些統(tǒng)計(jì)量上表現(xiàn)出來的不同特征，對(duì)不同特點(diǎn)的評(píng)委進(jìn)行分類，從而實(shí)現(xiàn)評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)．

4．1評(píng)分特點(diǎn)的分類

從經(jīng)驗(yàn)角度看，觀測(cè)評(píng)委的評(píng)分線與平均分線的關(guān)系，實(shí)際上有這樣幾種評(píng)委的評(píng)分傾向：

1）客觀公允型：這種評(píng)委的評(píng)分線圍繞平均分線做小幅波動(dòng)．他們?cè)噲D依照客觀標(biāo)準(zhǔn)把