專題12坐標系與參數(shù)方程1．【2022年全國甲卷】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（t為參數(shù)），曲線C(1)寫出C1(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ?sinθ=0，求C3與【答案】(1)y2(2)C3,C1的交點坐標為12,1，1,2，【解析】【分析】(1)消去t，即可得到C1(2)將曲線C2(1)因為x=2+t6，y=t，所以x=2+y(2)因為x=?2+s6,y=?s，所以6x=?2?y由2cosθ?sinθ=0?2ρcos聯(lián)立y2=6x?2y≥02x?y=0，解得：x=12y=1聯(lián)立y2=?6x?2y≤02x?y=0，解得：x=?12y=?12．【2022年全國乙卷】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cos2ty=2sint，（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，(1)寫出l的直角坐標方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)3(2)?【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式處理即可；（2）聯(lián)立l與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設a的取值范圍求解m的范圍即可.(1)因為l：ρsinθ+π又因為ρ?sinθ=y,ρ?cos整理得l的直角坐標方程：3(2)聯(lián)立l與C的方程，即將x=3cos2t3x+y+2m=0中，可得3所以3(1?2sin化簡為?6sin要使l與C有公共點，則2m=6sin令sint=a，則a∈?1,1，令f(a)=6a對稱軸為a=1所以f(a)f(a)所以?m的取值范圍為?191．（2022·寧夏·吳忠中學三模（文））在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線與的直角坐標方程；(2)已知直線l的極坐標方程為，直線l與曲線，分別交于M，N（均異于點O）兩點，若，求．【答案】(1)曲線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為，(2)【解析】【分析】（1）的參數(shù)方程消參可求出的直角坐標方程；的極坐標方程同乘，把，代入的極坐標方程可求出的直角坐標方程.（2）設M、N兩點的極坐標分別為、，用極徑的幾何意義表示出，即，解方程即可求出.(1)解：的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），把代入中可得，，所以曲線的直角坐標方程為，的極坐標方程為，即，所以曲線的直角坐標方程為，綜上所述：曲線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為，(2)由（1）知，的極坐標方程為，設M、N兩點的極坐標分別為、，則，，由題意知可得，因為，所以，所以，故，所以或（舍）所以.2．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校模擬預測（理））在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.已知曲線與，正半軸分別相交于兩點.(1)寫出曲線的極坐標方程，并求出兩點的直角坐標；(2)若過原點且與直線垂直的直線與曲線交于點，與直線交于點，求線段的長度.【答案】(1)，點為，點為(2)【解析】【分析】（1）普通方程，即可得（2）求出直線的方程為，然后求出直線的方程，然后可求出的長度(1)曲線的普通方程，極坐標方程，∴.在曲線上，當時，或，此時或（舍），所以點為.當時，或，此時或（舍），所以點為.(2)直線的方程為，極坐標方程為，∴，過原點且與直線垂直的直線的極坐標方程為.與聯(lián)立，得.與聯(lián)立，得.∴.3．（2022·江西·南昌市八一中學三模（理））在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求和的直角坐標方程；(2)設點的直角坐標為，為上的動點，求中點的軌跡的極坐標方程.【答案】(1)直線的普通方程為，曲線的普通方程為；(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程，再由兩角和的正弦公式及，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設，即可表示點坐標，再根據(jù)點在曲線上，代入的方程，即可得到點的軌跡方程，再將直角坐標方程化為極坐標方程即可；(1)解：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的普通方程為，因為曲線的極坐標方程為，即，即，所以，又，所以，即，即曲線的普通方程為；(2)解：設，則，因為點在曲線上，所以，即，所以中點的軌跡方程為，即4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（理））在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)設點，直線與曲線的交點為，，求的值.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）直接消去參數(shù)，將直線的方程化為普通方程，利用互化公式將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得到，得到，化簡，代入韋達定理，即可得到答案(1)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得的普通方程為.曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，可得.∴曲線的直角坐標方程為(2)在直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中，設點，對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入，得，∴，.∴5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為．(1)求曲線C的極坐標方程與直線的直角坐標方程；(2)設直線與曲線C交于點O，A，直線與曲線C交于點O，B，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化和極坐標方程與直角坐標方程的互化即可解決；（2）先求得面積的表達式，再對其求最大值即可.(1)曲線C的直角坐標方程為，展開得，則曲線C的極坐標方程為．直線的直角坐標方程為(2)由（1）可知，設直線的極坐標方程為，根據(jù)條件知要使面積取最大值，則，則，于是，所以當即時，的面積取最大值，最大值為．6．（2022·內蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系取相同單位長度，直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；(2)求曲線上的點到直線距離的最小值.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）消去曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)即可得解，利用極坐標與直角坐標互化得直線的直角坐標方程作答.（2）設出曲線C上任意一點的坐標，利用點到直線距離公式及輔助角公式求解作答.(1)由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，所以曲線的普通方程為，把代入直線的極坐標方程得：，所以直線的直角坐標方程為.(2)由（1）知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設為曲線上一點，到直線的距離為，則，其中銳角由確定，因此，當時，取到最小值，所以曲線上的點到直線距離的最小值為.7．（2022·甘肅·武威第六中學模擬預測（文））在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程：(2)若直線與曲線C交于A，B兩點，點P的坐標為，求的值．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t可得曲線C的方程，利用公式法轉化得到直線l的直角坐標方程；（2）利用直線l的參數(shù)方程中t的幾何意義求解.(1)∵（t為參數(shù)），∴，所以，所以曲線C的方程為又∵，，∴所以直線l的直角坐標方程為；(2)∵在直線l上，∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）設A，B對應的參數(shù)分別為與將直線l的參數(shù)方程代入到得．∴，∴，，∵，∴，所以．8．（2022·全國·贛州市第三中學模擬預測（理））在平面直角坐標系中，曲線滿足參數(shù)方程（為參數(shù)且）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上一動點，且極坐標為.(1)求曲線的直角坐標方程；(2)求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t可得普通方程，由，得到，即可求出曲線的直角坐標方程；（2）先判斷出利用三角函數(shù)出的范圍.(1)由消去t可得：.由于，則，即.因此曲線的直角坐標方程為或(2)曲線為上半圓，點在上，因此，由三角函數(shù)的性質知，在上，因此9．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為，求.【答案】(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)將、、代入圓C的極坐標方程即可求其直角坐標方程；(2)將直線l的參數(shù)方程化為標準形式，代入圓C的直角坐標方程得到關于參數(shù)t的二次方程，根據(jù)韋達定理和直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義即可求出．(1)∵，∴，即；(2)直線l參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，代入圓C直角坐標方程整理得，設方程的兩根為、，則A、B對應參數(shù)、，則，∴．10．（2022·河南·模擬預測（理））在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線l與交于點P，Q，與交于點S，T，與x軸交于點R.(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若，求直線l的傾斜角.【答案】(1)，(2)或或【解析】【分析】（1）消參求得曲線的普通方程為.由同乘得到的直角坐標方程.（2）l過定點.將直線l的參數(shù)方程代入，整理得，利用參數(shù)的幾何含義化簡求解.(1)曲線的普通方程為.由得.所以的直角坐標方程為，即.(2)不妨設，則.易知是l過的定點.將直線l的參數(shù)方程代入，整理得，設P，Q對應的參數(shù)分別為，，則.將直線l的參數(shù)方程代入，得，設S，T對應的參數(shù)分別為，，則.由得，得或，所以直線l的傾斜角為或或.11．（2022·河南洛陽·三模（理））在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設與的交點為，當變化時，的軌跡為曲線.(1)求曲線的普通方程；(2)以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設曲線的極坐標方程為，射線：與，分別交于A，B兩點，求線段AB的長.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得到直線、的普通方程，聯(lián)立兩方程消去，即可得到的軌跡；（2）首先將的方程化為極坐標方程，再將代入兩極坐標方程即可求出，，即可得解；(1)解：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為①，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為②，設，由①②聯(lián)立得，消去得即曲線的普通方程為，；(2)解：設，，由得曲線的極坐標方程為（，），代入得，將代入得，所以，即線段的長度為；12．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預測（理））在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程；(2)已知射線與曲線交于、兩點，若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出曲線的參數(shù)方程，化為普通方程，再利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉換關系可得出曲線的極坐標方程；（2）設、，則、為方程的兩根，由已知可得，結合韋達定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得的值.(1)解：由題可得的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的直角方程為，即，因為，，所以，所以曲線的極坐標方程為.(2)解：設、，則、為方程的兩根，，則①，②，因為，所以③，由①②③解得，則，，此時，合乎題意.故.13．（2022·貴州遵義·三模（文））在極點為O的極坐標系中，經(jīng)過點的直線l與極軸所成角為，且與極軸的交點為N．(1)當時，求l的極坐標方程；(2)當時，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求得的直角坐標方程，再轉化為極坐標方程.（2）對直線的傾斜角進行分類討論，結合三角形的面積公式求得面積的取值范圍.(1)點，則，所以點的直角坐標為，當時，直線的直角坐標方程為，轉化為極坐標方程為.(2)在極坐標系下：經(jīng)過點的直線l與極軸所成角為，在直角坐標系下：經(jīng)過點的直線的傾斜角為或.即直線的傾斜角是或.當直線的傾斜角為時，直線的方程為，令得，，，，所以.當直線的傾斜角為時，直線的方程為，令得，，所以.綜上所述，面積的取值范圍是.14．（2022·江西·上饒市第一中學二模（文））在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的普通方程為：，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），點.(1)求曲線和的極坐標方程；(2)設射線分別與曲線和相交于A，B兩點，求的面積.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）由公式法求極坐標方程（2）聯(lián)立方程后分別求出A，B坐標，及到直線距離后求面積(1)曲線的直角坐標方程為：，將代入上式并化簡，得曲線的極坐標方程為：.曲線的普通方程是：，將代入上式并化簡，得曲線的極坐標方程為：.(2)設，則，，所以，所以.又到直線的距離為：所以.15．（2022·全國·模擬預測（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標