第1~2章矢量分析宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1.設(shè)：直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)uxyyzzx的梯度為A，則M（1，1，1）處，A0。2e?2e?2e?A=xyze?xz，則在M（1，1，1）處A2.已知矢量場(chǎng)Ae?(yz)e?4xy29。xyz），則必須同時(shí)給定該場(chǎng)矢量3.亥姆霍茲定理指出，若唯一地確定一個(gè)矢量場(chǎng)（場(chǎng)量為AAA旋度散度。的及、所滿足的方程（結(jié)構(gòu)方、、、EBHJ4.寫(xiě)出線性和各項(xiàng)同性介質(zhì)中場(chǎng)量DDE,BH,JE程）：J。qJdStSt5.電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為和。、磁場(chǎng)強(qiáng)度為，則6.設(shè)理想導(dǎo)體的表面A的電場(chǎng)強(qiáng)度為EB（a）、皆與A垂直。EB與A垂直，與A平行。（b）EB與A平行，與A垂直。（c）EB皆與A平行。（d）E、B答案：B7.兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上，（A）EE,HH1212（B）E,H2nH2nE1n1n(C)EE,HH2t1t2t1t(D)EE,HH2n答案：C1t2t1n?sin(ωtβz)(V/m)，其中Eωβ8.設(shè)自由真空區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度EeE、、為常數(shù)。則00y空間位移電流密度（A/m2）為：Jd（a）e?Ecos(ωtβz)?ωEcos(ωtβz)（b）eyy00?ωycos(ωtβz)?βEcos(ωtβz)（d）ey0（c）eE答案：C00x(V/m)，其中9.已知無(wú)限大空間的相對(duì)介電常數(shù)為4，電場(chǎng)強(qiáng)度Ee?cosx02drd、為常數(shù)。則xd處電荷體密度為：044（c）2（d）20（a）（b）答案：d00d000ddd10.已知半徑為R0球面內(nèi)外為真空，電場(chǎng)強(qiáng)度分布為2(e?cose?sin)(rR)R0rE0B(e?2cose?sin)(rR)0rr3求（1）常數(shù)B；（2）球面上的面電荷密度；（3）球面內(nèi)外的體電荷密度。Sol.(1)球面上由邊界條件EE得：2sinBsinB2R021t2tRR300（2）由邊界條件DD得：1n2ns60cos(EE)(EE)01n2n01r2rRs（3）由D得：0E(Esin)0(rR)1(r2E)10rr0rsin0(rR)00r20即空間電荷只分布在球面上。11.已知半徑為R0、磁導(dǎo)率為的球體，其內(nèi)外磁場(chǎng)強(qiáng)度分布為2(e?cose?sin)(rR)0HrAr3(e?2cose?sin)(rR)r0且球外為真空。求（1）常數(shù)A；（2）球面上的面電流密度JS大小。Sol.球面上（r=R0）：H為法向分量；H為法向分量r（1）球面上由邊界條件BB得：HHAR31n2n1r02r00（2）球面上由邊界條件HHJ得1t2tsJ(HH)|(2)sins12rR00第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法的關(guān)系為E；在兩種不同的電介質(zhì)（介電常數(shù)1.靜電場(chǎng)中電位與電場(chǎng)強(qiáng)度E122n；分別為ε和ε）的分界面上，電位滿足的邊界條件為1n。1212ρ，則靜電場(chǎng)：E2.設(shè)無(wú)限大真空區(qū)域自由電荷體密度為0，E。=2E滿足的泊松方程分別為、。23.電位和電場(chǎng)強(qiáng)度Ew1E24.介電常數(shù)為的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場(chǎng)儲(chǔ)能密度為。2m5.對(duì)于兩種不同電介質(zhì)的分界面，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量及電位移的法向分量總是連續(xù)的。E、E分別為兩種電介質(zhì)內(nèi)靜電場(chǎng)在界面上的電場(chǎng)強(qiáng)度，，30°，6.如圖，則1260°，|E||E|3。12E1θε1ε12θE22的7.理想導(dǎo)體與電介質(zhì)的界面上，表面自由電荷面密度與電位沿其法向的方向?qū)?shù)nsn關(guān)系為s。8.如圖，兩塊位于x=0和x=d處無(wú)限大導(dǎo)體平板的電位分別為0、U0，其內(nèi)部充滿體密度e)的電荷（設(shè)內(nèi)部介電常數(shù)為）。（1）利用直接積分法計(jì)算0<x<dxd區(qū)域的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）x=0處導(dǎo)體平板的表面02U10電荷密度。xSol.為一維邊值問(wèn)題：(x)od2d20(1e)xddx20邊界條件：(x0)0，(xd)U0（1）直接積分得：E(x)e?(1d2ed)]x0(x)0(ex2ed)[Uxd02dd00ddd0e?[0(exdx)U00(1d2ed)]xdxx0（2）由得：0n0xE(x)nss0x0x0U1d2[ed(11)]00ddd009.如圖所示橫截面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)體槽，內(nèi)填空氣。已知側(cè)壁和底面的電位為零，而頂蓋的電位為V0。寫(xiě)出導(dǎo)體槽內(nèi)電位所滿足的微分方程及其邊界條件，并利用直角坐標(biāo)系分離變量法求出該導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。Sol.（略）見(jiàn)教材第82頁(yè)例3.6.110.如圖所示，在由無(wú)限大平面和突起的半球構(gòu)成的接地導(dǎo)體上方距離平面為d處有一個(gè)點(diǎn)電荷q0。利用鏡像法求z軸上z>a各點(diǎn)的電位分布。Sol.空間電荷對(duì)導(dǎo)體表面上部空間場(chǎng)分布的影響等效于：z無(wú)限大接地導(dǎo)體平面+接地導(dǎo)體球dq邊界條件：00平面球面使0，引入鏡像電荷：zd,qqqoqzx平面0121使0，引入鏡像電荷：z2a球面z,qaqa2qddz110a2aaqaq2z,q|z|d|z|d220z軸上z>a各點(diǎn)的電位：q1qq1q4|zd|zzzzzd020121q12a34|zd|zdz2d2a40011.已知接地導(dǎo)體球半徑為R0，在x軸上關(guān)于原點(diǎn)（球心）對(duì)稱放置等量異號(hào)電荷+q、-q，位置如圖所示。利用鏡像法求（1）鏡像電荷的R位置及電量大小；（2）球外空間電位；（3）x軸q01qx2xox2qq上x(chóng)>2R0各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。1R0R0Sol.(1)引入兩個(gè)鏡像電荷：Rqq，xRR2002R2q102R2100R(q)q，20R02q2x2R02R22R001qqqq（2）(x,y,z)4RRRR（略）12012R(x2R)2y2z2，R(xR/2)2y2z2010R(xR/2)2y2z2，R(x2R)2y2z2200（3）x軸上x(chóng)>2R0各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：q(x2R)2(xR/2)2(xR/2)2(x2R)q/2q/2qEe?x2000012.如圖所示，兩塊半無(wú)限大相互垂直的接地導(dǎo)體平面，在其平分線上放置一點(diǎn)電荷q，求（1）各鏡像電荷的位置及電量；（2）兩塊導(dǎo)體間的電位分布。Sol.（1）qq，(a,0,0)yP0,a,010qq，(0,a,0)q020qq，(a,0,0)4545301qqqq3（2）(a,0,0)q1(a,0,0)x(x,y,z)4RRRR012q00123（略）3其中：q(0,a,02)Rx2(ya)2z20R(xa)2y2z21Rx2(ya)2z22R(xa)2y2z23第4章恒定電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)1.線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部電荷體密度等于0，凈余電荷只能分布在該導(dǎo)電媒質(zhì)的表面上。2.線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，J；D00。。和電流密度J的邊界條件3.在電導(dǎo)率不同的導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度EEE1tJJ1n為：、。2t2npE24.在電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)中，功率損耗密度pc與電場(chǎng)強(qiáng)度大小E的關(guān)系為c；A所滿足的泊松方程與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為5.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位ABA2AμJ為。6.對(duì)線性和各項(xiàng)同性磁介質(zhì)（磁導(dǎo)率設(shè)為），恒定磁場(chǎng)1（磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為H）的磁能密1HdVH2222度w，V空間磁能V。Wm=m，為常數(shù)，且A7.已知恒定電流分布空間的矢量磁位為：Aex2ye?y2xe?CxyzC?xyz滿足庫(kù)侖規(guī)范。求（1）常數(shù)C；（2）電流密度J；（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（直角坐標(biāo)系中：ae?(za)e?(z)e?(zxxaaxyaaax)）yyyzxyzSol.(1)庫(kù)侖規(guī)范：A0AxAyAz2xy2xyCxy0C4xyz(2)由2AμJ，Ae?xye?yxe?4xyz得：22xyzJ2A12AAA122e?2ye?2xy2zx22xy(3)BAe?4xze?4yze?(y2x2)zxy8.(P.136.習(xí)題4.2)在平板電容器的兩個(gè)極板間填充兩種不同的導(dǎo)電媒質(zhì)（,和11,），其厚度分別為d和d。若在兩極板上加上恒定的電壓U。試求板間的電位22120、電場(chǎng)強(qiáng)度E、電流密度J以及各分界面上的自由電荷密度。Sol.用靜電比擬法計(jì)算。用電介質(zhì)（和）替代導(dǎo)電媒質(zhì)，靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分別設(shè)為E、E12UEe?(0xd)20EdEdUxdd11112202112DDEEUEe?(dxd)12112210xdd21222112U12e?電位移：DDE10xdd121211Udd1Exx(0xd)2011(x)212x()dEdE(xd)1U(dxd)012121dd11212112靜電比擬：EE，JD，σε，，則導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)：Ux(0xd)20dd211211x()d1U2(dxd)121dd0122112Ue?(0xd)20E(x)xdd211122Ue?(dxd)210xdd1211Je?U120xdd21121U120ddn11xssx012112U210n22(x)dd2xdd21221121n1x()U11221221dd21120nxsxd221xdxd11可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為非等量異號(hào)sxdd。只有理想電容器sx012才有電容定義。9.一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a、2a，電導(dǎo)率為。如圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位U（常量）及0。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布以020及恒定電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻R。()Sol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即ya1d2（1）200AB2d2P)oa2U00得：()由U及x2a0021e2U10Eeezze（第9題圖）2U10（2）JEe2U12aU0ln22a2a(ad)IJdSJ(ad)0SaaI2aln2RU0直流電阻：10.一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a、2a，電導(dǎo)率為。如圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位U（常量）及0。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布a02a以及導(dǎo)電媒質(zhì)上恒定電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻R。Sol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即()1dduAlnBy（1）200ddaUln2U0ln(2a)ln0ln2P由0得：()U及a02ao)axU12aEeeln20EeU1（第10題圖）（2）Jln20aU2IJdSJ(a)2ln20SU2ln2R直流電阻：0aI第5章電磁波的輻射1.復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個(gè)旋度方程為，。的瞬時(shí)表示式是，平均值是2.坡印亭矢量S3.自由空間中時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程為2E0，這個(gè)方程在正弦2Et22Ek2E0電磁場(chǎng)的情況下變?yōu)椤?中，正弦電磁場(chǎng)的磁場(chǎng)滿足的亥姆霍茲方程為4.在無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)2HkH0，。A其中2(A)k22(B)k2222k221(D)k22(C)BA5.在時(shí)變電磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與位的關(guān)系為，EAt.電場(chǎng)強(qiáng)度與位的關(guān)系為E4,5,0中））時(shí)諧電磁場(chǎng)的角頻率為6.已知某一理想介質(zhì)，位移電00πJeJcosyejz流復(fù)矢量為，a、、J0皆為常數(shù)。則電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為Edx0a（A）e0cosπyejzcosπyejzJJ（B）exj40xjaa0sinπyejzsinπyejzaJJxj40（C）e（D）e答案：B0xja07.電偶極子天線的功率分布與的關(guān)系為a。(b)sin(d)cos(a)sin2(c)cos2時(shí)刻影響到r處的位8.自由空間的原點(diǎn)處的場(chǎng)源在t時(shí)刻發(fā)生變化，此變化將在b函數(shù)和A。（a）tr;c（b）tr;ct;(c)(d)任意9.在球坐標(biāo)系中，電偶極子的輻射場(chǎng)（遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)）的空間分布與坐標(biāo)的關(guān)系是csin（b）sinsin2sin2（a）(c)(d)rr2rr210.一均勻平面波垂直入射至電導(dǎo)媒質(zhì)中并在其中傳播，則（A）不再是均勻平面波。（B）空間各點(diǎn)電磁場(chǎng)振幅不變（C）電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相。。（D）傳播特性與波的頻率無(wú)關(guān)。答案：C11.下列電場(chǎng)強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的電磁波為線極化方式的是（A）Ee10ejze10jejz（B）Ee10ejze10jejzxyxy（C）Ee10ejze10ejz（D）Ee10ejze10ejzxy答案：CxyE(x,z,t)e?tkz。試求電場(chǎng)和磁場(chǎng)sin(10x)cos(12、已知真空中某時(shí)諧電場(chǎng)瞬時(shí)值為)zy復(fù)矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所給瞬時(shí)值表示式寫(xiě)成下列形式E(x,z,t)Re[e?sin(10x)ee]jkzzjty因此電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量表示為(,)?sin(10)yExzexejkzz由麥克斯韋方程組的第二個(gè)方程的復(fù)數(shù)形式可以計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量為??eee?xyz1j(E)jxyz001H(x,z)EEEyxz??eEEeyyxzjzjx0010kxz?esin(10)?xexecos(10)jkzzzj00功率流密度矢量的平均值S等于復(fù)坡印廷矢量的實(shí)部，即av?e?e?eSRe(S)1Re(EH*)1ReEEExyz22avxyH*H*H*zxyz1Re(e?EH*e?EH*)2xyzzyx5k12kz(10)xRe?zsin(20)?zsin2exexj00ke?sin2(10x)z2z013、已知真空中時(shí)變場(chǎng)的矢量磁位為A(z,t)e?xA0cos(tkz)H求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；(2)坡印廷矢量及其平均值。E解：(1)把矢量磁位的瞬時(shí)值表示為(,)Re[e?xA0e]ejkzjtAzt則矢量磁位的復(fù)數(shù)形式為AzeAejkz0()?x根據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式與矢量磁位復(fù)數(shù)形式之間關(guān)系可以求出HA??eee?xyz1010?AxH(z)(A)xyzez?(ejkA)ejkzyy0AAAyxz磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為H(z,t)e?(kA0)cos(tkz)2yHJjD根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程，此時(shí)J0，電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度之間關(guān)系為eee1H1j1xyzk2Aj0ejkzE(z)(H)exjzzyexxyjHHHzxy電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為k2Ae?tkzE(zt,)ReEe0cos()jt2x(2)坡印廷矢量為SEHe?e?k3A20kA32cos2(tkz)e?cos2(tkz)022xyz坡印廷矢量的平均值為Re(S)1Re(EHk3A2)e?z20S*2av第6章、均勻平面波的傳播1.兩個(gè)同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波，則它們/2。，相位相差的振幅相同2.均勻平面波垂直入射到理想導(dǎo)體表面上，反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)的振幅相等，相位相差。3.均勻平面波從空氣垂直入射到無(wú)損耗媒質(zhì)1/52.25,1,0表面上，則電場(chǎng)反rr射系數(shù)為。4.在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為Ee100cost20zV/m，則波的x傳播方向?yàn)?z，頻率為3×109Hz，波長(zhǎng)為0.1m，波的極化方式為沿100Heycost20zA/m377x方向的線極化波，對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)為，平均坡印5000Seavz377W/m2。亭矢量S為av、磁場(chǎng)方向的單位矢量以及傳播方向的單位矢量5.均勻平面波電場(chǎng)方向的單位矢量eeEH三者滿足的關(guān)系是e。eeenEHn6.損耗媒質(zhì)的本征阻抗為，表明損耗媒質(zhì)中電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間同一位置存在著相位差，損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質(zhì)又稱為色散媒質(zhì)。17.設(shè)海水的衰減常數(shù)為，則電磁波在海水中的穿透深度為，在此深度上電場(chǎng)的振1幅將變?yōu)檫M(jìn)入海水前的e。8.在良導(dǎo)體中，均勻平面波的穿透深度為a。224（a）（b）(c)(d)2和HHe，其中的E和H為jz0009.在無(wú)源的真空中，已知均勻平面波的EEejz0c。eE0;(b)eH0;(c)EH0;(d)EH0(a)0z00000z10.以下關(guān)于導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中，正確的是(a)不再是平面波b。(b)電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相(c)振幅不變(d)以TE波的形式傳播z11、已知空氣中存在電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度為EeE0cos(6108t2)V/my試問(wèn)：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什么？求此波的頻率、波長(zhǎng)、相速以及對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。H解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無(wú)限大平面上場(chǎng)強(qiáng)幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)式可以寫(xiě)成復(fù)矢量E=eEejkz0y0Ee，此波為均勻平面波。該式的電場(chǎng)幅度為E0，相位和方向均不變，且Ee傳播方向?yàn)檠刂鴝方向。zz由時(shí)間相位t6108t6108波的頻率f3108Hz波數(shù)k2波長(zhǎng)21mkdz相速v310m/sdtkp由于是均勻平面波，因此磁場(chǎng)為H1(eE)eE0ejkzZZxzWW12、在無(wú)界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為EeEsin(2108t2z)，已知介x0質(zhì)的1，求，并寫(xiě)出的表達(dá)式。Hrr解：根據(jù)電場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式可以得到2108，k2，而29kckrrrr00c電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)式可以寫(xiě)成復(fù)矢量為2EeEej2zj0x波阻抗為40，則磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為ZWH1(eE)eE2ej2zj0y40ZzW因此磁場(chǎng)為Esin(2108t2z)He0y4013、銅的電導(dǎo)率5.8107S/m，1。求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、rr波長(zhǎng)、透入深度及其波阻抗。(1)f1MHz；(2)f100MHz；(3)f10GHz1解：已知036109F/m和04107H/m，那么12f1.0441018fr0，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分(1)當(dāng)f1MHz時(shí)，1.04410121別為215.132f15.132103相速：v4.152104f0.4152m/sp2波長(zhǎng)：4.152104m1透入深度：6.6105m波阻抗：Z2(1j)2.61107(1j)f2.61104(1j)W1.04410101，則銅仍可以看作為良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和(2)當(dāng)f100MHz時(shí)，相位常數(shù)分別為215.132f15.132104相速：v4.152104f4.152m/sp2波長(zhǎng)：4.152105m1透入深度：6.6106m波阻抗：Z2(1j)2.61107(1j)f2.61103(1j)W，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分(3)當(dāng)f10GHz時(shí)，1.0441081別為215.132f15.132105相速：v4.152104f41.52m/sp24.152106m波長(zhǎng)：1透入深度：6.6107mZ波阻抗：2(1j)2.61107(1j)f2.61102(1j)W14、海水的電導(dǎo)率4S/m，81，1，求頻率為10kHz、10MHz和10GHz時(shí)rr電磁波的波長(zhǎng)、衰減常數(shù)和波阻抗。，那么118解：已知0369109。109F/m和04107H/mf1889105，則海水可看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和(1)當(dāng)f10kHz時(shí)，f91091相位常數(shù)分別為23.97103f0.397相速：v1.582103f1