數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1.1表達(dá)形式描述控制系統(tǒng)的主要模型有微分方程、狀態(tài)空間表達(dá)式等形式的時(shí)域描述法和用傳遞函數(shù)描述的頻域描述法。即對于一個(gè)連續(xù)的控制系統(tǒng)，數(shù)字仿真常用的數(shù)學(xué)模型一般有3種表示方式：◆直接用微分方程描述；◆用傳遞函數(shù)描述；

多項(xiàng)式形式零極點(diǎn)形式◆狀態(tài)方程描述；這三種描述方式是可以相互轉(zhuǎn)換的。

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五(1).微分方程設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的輸出量為y(t)，輸入量為u(t)，采用微分方程的形式來表示的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般式可描述如下：（2.1）上式中，為常數(shù)。(2).傳遞函數(shù)第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對式（2.1）等號(hào)兩邊逐項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，并考慮系統(tǒng)輸出、輸入及其各階導(dǎo)數(shù)的初值均為零，可得到

（2.2）式中，-系統(tǒng)輸出的拉氏變換；

-系統(tǒng)輸入的拉氏變換；可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2.3)第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五微分方程或傳遞函數(shù)是用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的，表示了系統(tǒng)的外部特征，所以稱其為外部模型。用微分方程表示的系統(tǒng)可以是非線性或線性系統(tǒng)，而對于傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)，只適用于單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)，所以傳遞函數(shù)的模型表示有一定的局限性。

(3).狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式可以由兩個(gè)途徑獲得，由微分方程或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方框圖導(dǎo)出，這里對微分方程推導(dǎo)作簡單說明。設(shè)系統(tǒng)由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階微分方程表示：(2.4)第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五定義n個(gè)狀態(tài)變量為，且令寫出各個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程形式第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五將上述n個(gè)一階微分方程寫成矩陣向量形式為(2.5)上式稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，其中A、B、C為系數(shù)矩陣，x為狀態(tài)變量。第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五2.1.2.數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換由于要解決的控制問題所需的數(shù)學(xué)模型與所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，不同的應(yīng)用場合需要對控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換

（1）微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式例2.1已知某控制系統(tǒng)的微分方程為將其分別表示為傳遞函數(shù)、一階微分方程組和狀態(tài)空間描述。第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五解：①將給定系統(tǒng)微分方程的兩端取拉氏變換，并令初始值為零，則可用以下傳遞函數(shù)表示根據(jù)傳遞函數(shù)定義有第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五③按照狀態(tài)空間描述，將各變量和系數(shù)矩陣表達(dá)為②由于是二階導(dǎo)數(shù)，可以引入兩個(gè)狀態(tài)變量，將給定的二階微分方程寫成一階微分方程組形式第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五（2）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換采用的方法是狀態(tài)變量圖法，用基本模擬單元替代系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得到的圖形式系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)上狀態(tài)變量的圖形是狀態(tài)變量圖，然后再求出狀態(tài)空間表達(dá)式。

圖2-1積分器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和狀態(tài)變量圖由狀態(tài)變量圖根據(jù)積分器的輸入、輸出關(guān)系寫出：輸出方程狀態(tài)方程對于初始條件為零的積分器

第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對于帶反饋的積分器，其傳遞函數(shù)為圖2-2帶反饋積分器的狀態(tài)變量圖由積分器輸入、輸出關(guān)系得到第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五從上面得到由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖到狀態(tài)變量圖并到處狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟如下：根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，n階系統(tǒng)有n個(gè)積分器；把積分器輸出處定為狀態(tài)變量x，積分器輸入處為狀態(tài)變量微分，并把狀態(tài)變量x，和狀態(tài)變量微分分別標(biāo)在積分器輸入和輸出處，得到狀態(tài)變量圖；根據(jù)積分器輸入、輸出的方程寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。對于高階、復(fù)雜系統(tǒng)采用級(jí)聯(lián)法、并聯(lián)法和串聯(lián)法得到代表實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及相應(yīng)的狀態(tài)變量圖，依據(jù)同樣方法求得狀態(tài)空間表達(dá)式。第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對于一個(gè)三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，

(2.6)（1）級(jí)聯(lián)法

采用如下步驟進(jìn)行：◆用傳遞函數(shù)的最高階次除以傳遞函數(shù)分子分母多項(xiàng)式得到◆利用信號(hào)流圖法畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖及系統(tǒng)狀態(tài)變量圖

第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五圖2-3系統(tǒng)信號(hào)流圖圖2-4系統(tǒng)狀態(tài)變量圖第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)積分器輸入、輸出關(guān)系得到如下方程◆寫成矩陣表達(dá)式

A、B、C為系數(shù)矩陣第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五其中，分析系數(shù)矩陣A、B、C可見：系數(shù)矩陣A是一個(gè)方陣，以I表示行號(hào)，J表示列號(hào)，最末一行元素和傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)按s0升冪排列的負(fù)值一一對應(yīng)，其余各行的元素在J=I+1時(shí)為1，其他全部為0；系數(shù)矩陣B是一個(gè)單列矩陣，最后一行元素為1，其余為零；系數(shù)矩陣C是一個(gè)單行矩陣，各列元素與傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)按s0升冪排列值相同。第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五推廣到n階方程，系數(shù)矩陣

A、B、C分別為

這種形式的矩陣稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)表達(dá)式。(2.7)第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五例2.2已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為利用式（2.7）將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述和一階微分方程組描述。

解：①這是一個(gè)三階系統(tǒng)，將給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)按照狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣A、B、C的對應(yīng)關(guān)系，依據(jù)式（2.7）可得各系數(shù)矩陣如下第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五組合為狀態(tài)空間描述有②將上述矩陣展開即可得到系統(tǒng)模型的一階微分方程組表示形式第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五（Ⅱ）并聯(lián)法并聯(lián)法的思路是把高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變成若干個(gè)一階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和，如將式（2-6）表示成下式形式然后，對各個(gè)一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并標(biāo)上狀態(tài)變量后，得到如圖2-5所示的狀態(tài)變量圖。圖2.5并聯(lián)法系統(tǒng)狀態(tài)變量圖第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五寫成矩陣表達(dá)式由圖2-5可到狀態(tài)空間表達(dá)式為第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五其中利用級(jí)聯(lián)法和并聯(lián)法得到的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣A、B、C是不同的?？梢杂锰卣鞣匠膛袛嗵卣髦凳欠裣嗤?，確定幾個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式是否屬于同一個(gè)外部模型，因?yàn)橥幌到y(tǒng)有相同的特征值。

第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五（3）狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式①對上式兩邊取拉氏變換②在零初始條件下整理上式并在等式兩邊乘以單位矩陣（2.9）

（2.10）第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五③將X(s)代入式（2.10）得到

可得（2.11）

在系數(shù)矩陣已知的情況下，根據(jù)式（2.11）就可以求出狀態(tài)空間表達(dá)式所對應(yīng)的外部模型的傳遞函數(shù)。

在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了大量的控制系統(tǒng)模型相互轉(zhuǎn)換的函數(shù)，如表2-1所示。第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五表2-1數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)及其功能函數(shù)名函數(shù)功能ss2tf將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2ss將系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型換為狀態(tài)空間模型zp2tf零極點(diǎn)增益模型換為傳遞函數(shù)模型第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五[z,p,k]=tf2zp(num,den)[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。

num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1]

注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。MATLAB表示數(shù)學(xué)模型舉例連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[z,p,K]矢量組表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]函數(shù)tf2zp()可以用來求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。零極點(diǎn)增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn)零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。第29頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五用法舉例：1）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：》A=[01;-1-2];B=[0;1];》C=