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習(xí)題四

4-1符合什么規(guī)律的運(yùn)動才是諧振動?分別分析以下運(yùn)動是不是諧振動：(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動；

(2)如題4-1圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很短)．

題4-1圖

解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動，必需同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、擺長……等等在運(yùn)動中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動；三，在運(yùn)動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用．或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程能用

d2?2????02dt描述時(shí)，其所作的運(yùn)動就是諧振動．

(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動不是諧振動．第一，球的運(yùn)動軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；其次，球在運(yùn)動中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力．

(2)小球在題4-1圖所示的狀況中所作的小弧度的運(yùn)動，是諧振動．顯然，小球在運(yùn)動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢能最小值位置點(diǎn)O；而小球在運(yùn)動中的回復(fù)力為?mgsin?，如題4-1圖(b)所示．題中所述，?S＜＜R，故???SR→

0，所以回復(fù)力為?mg?.式中負(fù)號，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反．即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動中所受回復(fù)力為線性的．若以小球?yàn)閷ο?，則小球在以O(shè)?為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，由牛頓其次定律，在凹槽切線方向上有

d2?mR2??mg?

dt令?2?g，則有Rd2???2?02dt4-2勁度系數(shù)為k1和k2的兩根彈簧，與質(zhì)量為m的小球按題4-2圖所示的兩種方式連接，試證明它們的振動均為諧振動，并分別求出它們的振動周期．

題4-2圖

解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有F

?F1?F2，設(shè)串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為

K串等效位移為x，則有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有x?x1?x2

FFFx??1?2k串k1k2所以串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為

k串?k1k2k1?k2

即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為k動．其振動周期為

?k1k2/(k1?k2)的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振

T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有F數(shù)為k并，則有

?F1?F2，即x?x1?x2，設(shè)并聯(lián)彈簧的倔強(qiáng)系

k并x?k1x1?k2x2

故k并同上理，其振動周期為

?k1?k2T??2?mk1?k2

4-3如題4-3圖所示，物體的質(zhì)量為m，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為?，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為I，半徑為R．先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動，并求振動周期．

題4-3圖

解：分別以物體m和滑輪為對象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為x時(shí)，有

d2xmgsin??T1?m2①

dtT1R?T2R?I?②

d2x?R?T2?k(x0?x)③2dt式中x0?mgsin?/k，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令??

mR2?I則有

d2x2??x?02dt故知該系統(tǒng)是作簡諧振動，其振動周期為

mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)2?KkR2??3)4-4質(zhì)量為10?10kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x?0.1cos(8??32?振動，求：

(1)振動的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；

(2)最大的回復(fù)力、振動能量、平均動能和平均勢能，在哪些位置上動能與勢能相等?

(SI)的規(guī)律作諧

(3)t2?5s與t1?1s兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：(1)設(shè)諧振動的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?Acos(?t??0)，則知：

2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4?1?1又vm??A?0.8?m?s?2.51m?s

am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?當(dāng)Ek?Ep時(shí)，有E?2Ep，

12112即kx??(kA)

22222∴x??A??m

220?(3)????(t2?t1)?8?(5?1)?324-5一個(gè)沿x軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為

時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：

(1)x0A，周期為T，其振動方程用余弦函數(shù)表示．假使t?0??A；

?(2)過平衡位置向正向運(yùn)動；

A處向負(fù)向運(yùn)動；2A(4)過x??處向正向運(yùn)動．

2(3)過x試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動方程．解：由于??x0?Acos?0?v0???Asin?0

將以上初值條件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相．故有

2?t??)T32?3?2??x?Acos(t??)

2T2?2???3?x?Acos(t?)

3T35?2?5?4?x?Acos(t??)

4T4?34-6一質(zhì)量為10?10kg的物體作諧振動，振幅為24cm，周期為4.0s，當(dāng)t?0時(shí)位移為?24cm．求：

(1)t?0.5s時(shí)，物體所在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；(2)由起始位置運(yùn)動到x?12cm處所需的最短時(shí)間；(3)在x?12cm處物體的總能量．

?2解：由題已知A?24?10m,T?4.0s

?1??x?Acos(

2??0.5?T又，t?0時(shí)，x0??A,??0?0

∴??rad?s?1

故振動方程為

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)將t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3

方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向．(2)由題知，t?0時(shí)，?0?0，

A?t?t時(shí)x0??,且v?0,故?t?

23????2?/?s∴t??323(3)由于諧振動中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總能量均為

121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)222?7.1?10?4J4-7有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為1.0g的物體時(shí)，伸長為4.9cm．用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為8.0g的

?1小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開1.0cm后，給予向上的初速度v0?5.0cm?s，求振

E?動周期和振動表達(dá)式．解：由題知而tm1g1.0?10?3?9.8?1k???0.2N?m?2x14.9?10?0時(shí)，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1(設(shè)向上為正)

又???k0.22???5,即T??1.26s?3m?8?10v2A?x0?(0)2?5.0?10?22?(1.0?10)?()5?22

?2?10?2mv05.0?10?25?tan?0????1,即??0?2x0?1.0?10?545?2∴x?2?10cos(5t??)m

4

4-8圖為兩個(gè)諧振動的x?t曲線，試分別寫出其諧振動方程．

題4-8圖

3?0時(shí)，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s

22???rad?s?1即??T3故xa?0.1cos(?t??)m

2A5?,v0?0,??0?由題4-8圖(b)∵t?0時(shí)，x0?23?t1?0時(shí)，x1?0,v1?0,??1?2??

255又?1???1????

325∴???

655?)m故xb?0.1cos(?t?634-9一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，其下端懸有一質(zhì)量為M的盤子．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體從離盤底h高

解：由題4-8圖(a)，∵t度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動．(1)此時(shí)的振動周期與空盤子作振動時(shí)的周期有何不同?(2)此時(shí)的振動振幅多大?

(3)取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動方程．

解：(1)空盤的振動周期為2?Mk，落下重物后振動周期為2?M?m，即增大