廣東省普寧市2022屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題測(cè)試九：——《排列、組合、二項(xiàng)式、概率與統(tǒng)計(jì)》（一）典型例題講解:例1、四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________命題意圖本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應(yīng)用上述概念處理數(shù)學(xué)問題的能力知識(shí)依托排列、組合、乘法原理的概念錯(cuò)解分析根據(jù)題目要求每所學(xué)校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學(xué)校一人，而后將剩的一人送到一所學(xué)校，故有3A種忽略此種辦法是將同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生按進(jìn)入學(xué)校的前后順序，分為兩種方案，而實(shí)際題目中對(duì)進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名學(xué)生是無順序要求的技巧與方法解法一，采用處理分堆問題的方法解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的解法一分兩步先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生安排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A33種依乘法原理，共有N=C=36(種)解法二分兩步從每個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生，每人進(jìn)一所學(xué)校，共有A種；而后，再將剩余的一名學(xué)生送到三所學(xué)校中的一所學(xué)校，有3種值得注意的是同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生是不考慮進(jìn)入的前后順序的因此，共有N=A·3=36(種)答案36例2、在∠AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有()命題意圖考查組合的概念及加法原理知識(shí)依托法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點(diǎn)共線的組合錯(cuò)解分析A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如CC中，包括O、Bi、Bj;CC中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分別表示OA、OB邊上不同于O的點(diǎn)；B漏掉△AiOBj；D有重復(fù)的三角形如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj技巧與方法分類討論思想及間接法解法一第一類辦法從OA邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類辦法從OA邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類辦法從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)由加法原理共有N=CC+CC+CC個(gè)三角形解法二從m+n+1中任取三點(diǎn)共有C個(gè)，其中三點(diǎn)均在射線OA(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB(包括O點(diǎn))，有C個(gè)所以，個(gè)數(shù)為N=C－C－C個(gè)答案C例3、展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).命題意圖本題考查二項(xiàng)式展開式及展開式中各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系知識(shí)依托二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)和系數(shù)的關(guān)系錯(cuò)解分析二項(xiàng)式展開式公式用錯(cuò)技巧與方法靈活利用二項(xiàng)式展開式的一般式，并利用不等式組求系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)解：，依題意有，∴n=8.則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則有.則系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)為.點(diǎn)評(píng)：求展開式中某一項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)問題是高考題型之一，復(fù)習(xí)時(shí)要給予重視.例4、袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．(Ⅰ)從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望E．(Ⅱ)若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值．命題意圖本題考查利用概率知識(shí)和期望的計(jì)算方法知識(shí)依托概率的計(jì)算及期望的概念的有關(guān)知識(shí)錯(cuò)解分析在本題中，隨機(jī)變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤技巧與方法可借助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算概率解(Ⅰ)（i）(ii)隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，；由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，得；（或）隨機(jī)變量的分布列是0123P的數(shù)學(xué)期望是(Ⅱ)設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)球由，得（二）鞏固練習(xí)一，選擇題1、將9個(gè)人（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為()A．70B．140C．280D．8402、6個(gè)人并排站成一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，則不同的排法總數(shù)為（）ABCD3、某人射擊8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，則不同的結(jié)果有（）A20種B240種C480種D720種4、某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)，組成一注，則這人把這種特征的號(hào)買全，至少要花（）A3360元B6720元C4320元D8640元5、在(x?1)(x+1)8的展開式中x5的系數(shù)是()A?14B14C?28D286、若則＝（）ABCD7、設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件Ａ和Ｂ都不發(fā)生的概率為，Ａ發(fā)生Ｂ不發(fā)生的概率與Ｂ發(fā)生Ａ不發(fā)生的概率相同，則事件Ａ發(fā)生的概率Ｐ（Ａ）是（）A． B．C． D．8、有一名同學(xué)在書寫英文單詞“error”時(shí)，只是記不清字母的順序，那么他寫錯(cuò)這個(gè)單詞的概率為 （） A． B． C．D．（）9、要完成下列2項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)高一年級(jí)的12名體育特長(zhǎng)生中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況.應(yīng)采用的抽樣方法是 （） A．①用隨機(jī)抽樣法②用系統(tǒng)抽樣法 B．①用分層抽樣法②用隨機(jī)抽樣法 C．①用系統(tǒng)抽樣法②用分層抽樣法 D．①、②都用分層抽樣法二、填空題：13、從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條(用數(shù)值表示)14、圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n＞1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_________15、左口袋里裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，右口袋里裝有1個(gè)紅球.若從左口袋里取出1個(gè)球裝進(jìn)右口袋里，摻混好后，再從右口袋里取出1個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率為＿＿16、如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給它們著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色.若有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有＿＿＿（用數(shù)字作答）視力17、1盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，每次取1個(gè)產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)ζ的期望Eζ=_________視力為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在到之間的學(xué)生數(shù)為b，則a,b的值分別為_________三.解答題19、有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起(4)全體排成一行，男、女各不相鄰(5)全體排成一行，男生不能排在一起(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變(7)排成前后二排，前排3人，后排4人(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人20、20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù)21、已知的展開式中x的系數(shù)為19，求的展開式中的系數(shù)的最小值．22、某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （1）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率; （2）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.23、某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過。（I）求第一天通過檢查的概率；（II）求前兩天全部通過檢查的概率；（III）若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望。24、已知數(shù)列｛an｝滿足an＝n2n-1(n>0,n∈Z),是否存在等差數(shù)列｛bn｝,使an＝對(duì)一切自然數(shù)n成立，證明你的結(jié)論.解答一.選擇題題號(hào)123456789101112答案ACADBADCBDDC二.填空題13.30;14.2n(n－1)15.;16.7217.0.318.0,27,78三.解答題19、解(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇，有A種，其余6人全排列，有A種由乘法原理得AA=2160種(2)位置分析法先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個(gè)位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種則符合條件的排法共有AA－AA=3720種(3)捆綁法將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列再與其他元素進(jìn)行全排列共有AA=720種(4)插空法先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有AA=144種(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種(6)定序排列第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)人的全排列，因此A=N×A，∴N==840種(7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可共有A×A×A=720種20、解首先按每個(gè)盒子的編號(hào)放入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球，然后將剩余的14個(gè)小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個(gè)空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個(gè)小盒插入15個(gè)空檔的排列數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系是以插入兩個(gè)空檔的小盒之間的“O”個(gè)數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù)最左側(cè)的空檔可以同時(shí)插入兩個(gè)小盒而其余空檔只可插入一個(gè)小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有種；若沒有小盒插入最左側(cè)空檔，有C種由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法21、解：．由題意，．項(xiàng)的系數(shù)為．，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)，當(dāng)或10時(shí)，上式有最小值，也就是當(dāng)，或，時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)取得最小值，最小值為81．22、解：（1）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，，，