PAGEPAGE2數(shù)學(xué)教學(xué)案例（人教版八年級數(shù)學(xué)上冊14.2.1）案例名稱：《平方差公式》所屬課程：數(shù)學(xué)所屬專業(yè)：初中數(shù)學(xué)授課課時：一課時《平方差公式》教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容與分析1．內(nèi)容平方差公式——兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。2.內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。平方差公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在已經(jīng)掌握了單項式乘法、多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例。對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法，同時也為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有承上啟下的作用。3．教學(xué)重點與難點本節(jié)課的重點：理解平方差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特點，并能運用公式進(jìn)行運算。本節(jié)課的難點：①理解公式中字母的含義，即公式：中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式。正確找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a，b.②平方差公式的變式應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)與解析1.目標(biāo)（1）知識目標(biāo)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進(jìn)行計算。（2）能力目標(biāo)：在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象研究問題的方法；在驗證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力；在運用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)象”。（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理問題3：活動探究：將長為(a+b)，寬為(a-b)的長方形，剪下寬為b的長方形條①，放在圖中②處拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的圖形的面積關(guān)系嗎？（屏幕顯示）=師生活動：小組合作，教師巡視指導(dǎo)，代表發(fā)言。【設(shè)計意圖】通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,讓學(xué)生認(rèn)識平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題，再次驗證了平方差公式的正確性。（四）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)新知問題4：前面探究所得的式子，稱為平方差公式，你能用文字語言表述它嗎？（屏幕顯示）師生活動：學(xué)生回答，相互補充。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生用自己的語言表述，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)問題5：在平方差公式中，認(rèn)真觀察其結(jié)構(gòu)特征，你能用自己的語言表述嗎？（屏幕顯示）師生活動：同桌討論后回答，相互補充并總結(jié)如下：左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即。師追問：以上三個算式中，哪些數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a，b。師生活動：獨自思考，代表發(fā)言。【設(shè)計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性,并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運用，內(nèi)化新知問題6：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：（屏幕顯示）（1）（2）（3）（4）師生活動：分組討論，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件。鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a，b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。例題1：運用平方差公式計算：（屏幕顯示）（1）；（2）師生活動：師生共同分析解答，教師板書（1），學(xué)生板書（2）。在解答（1）的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生哪一個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a、b，然后按照公式寫出平方差，再計算出結(jié)果；在解答（2）的過程中，同樣注意上述問題，并提議用不同方法解答，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。分析：在（1）中，可以把3x看成a，2看成b，即= (a+b)(a-b)=a2-b2解：(1)(2)【設(shè)計意圖】讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)哪個數(shù)或式表示公式中的a,哪個數(shù)或式表示公式中的b，并運用公式進(jìn)行計算。練習(xí)1:下列計算對不對？若不對，應(yīng)怎樣改正。（屏幕顯示）（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.師生活動：同桌討論交流后，代表回答，老師引導(dǎo)學(xué)生訂正答案?！驹O(shè)計意圖】對學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運用平方差公式進(jìn)行計算必須具備的條件。問題7：從以上例題和練習(xí)中，你認(rèn)為運用公式解決問題應(yīng)注意什么？（屏幕顯示）師生活動：學(xué)生回答問題，并相互補充?？偨Y(jié)以下經(jīng)驗：1、在運用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特點；2、一定要找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a,哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的b；3、總結(jié)規(guī)律：a的符號相同，b的符號相反；4、公式中的字母a，可以是具體的數(shù)、單項式、多項式等；5、勿忘記寫公式右邊的“平方”?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a、b的意義，在運用公式計算時一定要抓住關(guān)鍵——找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于“第一個數(shù)”a，哪個數(shù)或式相當(dāng)于“第二個數(shù)”b，通過此過程，突破本節(jié)課的難點。（七）拓展深化，發(fā)展思維例題2：計算：（屏幕顯示）（1）（2）98×102師生活動：師生共同分析，得出：（1）中的前兩個多項式的積可以直接利用平方差公式，后兩個多項式的積不具備平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能用此公式；必須用多項式的乘法計算，并把計算的結(jié)果放在括號里。（2）是兩個數(shù)乘積的簡捷計算，這兩個因數(shù)恰好可以分解成兩個數(shù)（100與2）的和與這兩個數(shù)的差，且這兩個數(shù)的平方容易計算。問題（2）對一部分學(xué)生來說，有一定難度，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，并及時總結(jié)規(guī)律——第一個數(shù)是兩個因數(shù)的平均數(shù)?！驹O(shè)計意圖】第（1）題是新舊知識的綜合運用，此題要讓學(xué)生深刻理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明白只有符合公式結(jié)構(gòu)特征的乘法才能運用公式簡化運算；第（2）題是平方差公式在數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個數(shù)乘積的簡捷計算問題，使學(xué)生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，即鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性。練習(xí)2:看誰算得快。（屏幕顯示）（1）（2）（3）501×（-499）（4）師生活動：四名學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視指導(dǎo)，完成后大家一起評判四名學(xué)生的解答?！驹O(shè)計意圖】通過同類型題的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地理解平方差公式，較熟練地運用平方差公式進(jìn)行有關(guān)計算。同時進(jìn)行查漏補缺。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我問題8:在下列括號中填上合適的多項式：（屏幕顯示）（1）()=（2）()()=師生活動：獨立思考，代表發(fā)言，大家評判。【設(shè)計意圖】此題旨在從反方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為以后學(xué)習(xí)因式分解做了鋪墊。第2個填空題，屬開放設(shè)計型．目的是加強學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。（九）暢所欲言，課時小結(jié)大家一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請同學(xué)們回答下列問題：（屏幕顯示）（1）這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是什么？（3）應(yīng)用平方差公式時要注意什么？師生活動：學(xué)生回答，相互補充。【設(shè)計意圖】從通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心——平方差公式，進(jìn)一步認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征，為運用公式積累經(jīng)驗。（十）布置作業(yè)（屏幕顯示）1.教課書習(xí)題14.2第1題（寫在作業(yè)本上）。2.預(yù)習(xí)完全平方公式。【設(shè)計意圖】作業(yè)1目的是鞏固所學(xué)知識，作業(yè)2主要培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。六、目標(biāo)檢測設(shè)計1．下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（）A.B.C.D.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的理解。2.填空題：(1)().(2).(3)().(4)設(shè)，，則.(5)已知，那么a=.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式靈活運用的能力。3.計算：（1）（2）（3）（4）【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式的理解及運用。4.計算：（1）1998×2002（1）-2013×2015【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對平方差公式的應(yīng)用——兩個數(shù)乘積的簡捷計算的掌握。5.解答題：已知：兩個正方形的周長之和等于32cm，它們的面積之差為48cm2，求這兩個正方形的邊長。【設(shè)計意圖】綜合利用新舊知識解答實際生活中的問題，考查學(xué)生對知識綜合運用的能力，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。七、教學(xué)反思：本節(jié)課在輕松愉快的環(huán)境中完成，取得了良好的教學(xué)效果。1.引導(dǎo)學(xué)生親自經(jīng)歷“觀察——比較——抽象——概括——推理”這一知