指數(shù)型函數(shù)y=kax的模型應(yīng)用蘭溪一中舒林軍1、內(nèi)容和內(nèi)容解析我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本函數(shù)模型，知道了它們可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的變化規(guī)律。在自然條件下，細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、生物體內(nèi)碳14的衰變等規(guī)律，都可以用指數(shù)函數(shù)模型來描述。在本章中指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用是最重要的函數(shù)模型應(yīng)用，要求學(xué)生必須要重點(diǎn)掌握。因此很有必要把這類函數(shù)模型的應(yīng)用單獨(dú)來進(jìn)行探究。本節(jié)課共解決三個(gè)例題，例1是關(guān)于細(xì)胞分裂問題；例2是關(guān)于馬王堆千年女尸之迷問題；例3是人口增長(zhǎng)問題。它們都圍繞指數(shù)型函數(shù)應(yīng)用而設(shè)計(jì)的。本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是指數(shù)型函數(shù)y=kax的應(yīng)用，首先掌握這類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性。當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，象細(xì)胞分裂問題是典型的指數(shù)爆炸型增長(zhǎng)；當(dāng)?shù)讛?shù)小于1大于0時(shí)，函數(shù)是遞減的，本節(jié)應(yīng)用題是關(guān)于碳14的衰變問題來說明；人口增長(zhǎng)問題是底數(shù)盡管大于1，但很接近1，所以一開始增長(zhǎng)的速度慢，但時(shí)間一長(zhǎng)，就飛速增長(zhǎng)。難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)題意的理解比較困難，計(jì)算比較復(fù)雜。2、目標(biāo)和目標(biāo)解析2.1通過具體例子使學(xué)生了解指數(shù)型函數(shù)y=kax在社會(huì)生活中的有著廣泛應(yīng)用。2.2結(jié)合實(shí)例理解和體會(huì)指數(shù)型函數(shù)y=kax不同增長(zhǎng)或遞減的函數(shù)模型的意義。2.3掌握指數(shù)型函數(shù)y=kax的模型建立，用觀察法或待定系數(shù)法求出k和a，以及能（有些需要用計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器）畫出函數(shù)的圖象。2.4靈活運(yùn)用得到的函數(shù)模型去解決實(shí)際問題，從而發(fā)展了學(xué)生提出、分析、解決問題的能力，充分體會(huì)到數(shù)學(xué)與自然社會(huì)的關(guān)系的重要性。3、教學(xué)問題診斷分析3.1、學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的掌握有所遺忘，因此在教學(xué)中需要進(jìn)行簡(jiǎn)要地復(fù)習(xí)。3.2、對(duì)指數(shù)型函數(shù)y=kax的圖象變化規(guī)律要作說明，讓學(xué)生自己探索、討論。目的讓學(xué)生掌握指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)。3.3、學(xué)生對(duì)應(yīng)用題常常會(huì)產(chǎn)生恐懼感，如果正理解題意，提高他們的興趣，他們做應(yīng)用題可以克服這種恐懼感。因此在教學(xué)中，對(duì)應(yīng)用題的背景要作說明，教師要收集一些材料作進(jìn)一步地補(bǔ)充，來提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，激發(fā)他們的求知域。3.4、學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題，建立數(shù)學(xué)模型是一大難點(diǎn)，教師可以通過從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從直觀到抽象，從已知到未知等化歸手段進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。4、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析學(xué)生在課堂內(nèi)應(yīng)該是極大發(fā)揮主觀能動(dòng)性去閱讀、思考、發(fā)現(xiàn)、歸納分析出問題的精華。因此教師在課堂上是一位優(yōu)秀的導(dǎo)演，把學(xué)生的求知欲望激發(fā)起來。教師要充分了解學(xué)生的心理，而應(yīng)用題的教學(xué)恰是培養(yǎng)學(xué)生提出、分析、解決問題的能力的最好手段，要讓學(xué)生身臨其境，努力使學(xué)生多動(dòng)腦、動(dòng)筆。不能讓他們象聽故事一樣，聽完就忘記了。5、教學(xué)支持條件分析由于需要精確地作出函數(shù)的圖象，及復(fù)雜的計(jì)算，本節(jié)課需要學(xué)生有計(jì)算器，最好有圖形計(jì)算器，教室里有多媒體，教師應(yīng)該掌握幾何畫板。6、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)鞏固，導(dǎo)入新課。問題一：討論下列函數(shù)的定義域、值域，單調(diào)性，并畫出它們的圖象。①y=2x

②y=-1.2×3t

③

④y=5.5196e0.0221t,(0≤t≤10)問題問題設(shè)計(jì)意圖師生互動(dòng)（1）回答指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，上面四個(gè)函數(shù)都是指數(shù)函數(shù)嗎？溫故而知新在解決問題1前，教師先提問關(guān)于指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧。學(xué)生不但復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，而且對(duì)上面的問題的回答有了準(zhǔn)備（2）請(qǐng)寫出指數(shù)型函數(shù)的一般形式？上面四個(gè)函數(shù)哪幾個(gè)指數(shù)型函數(shù)？點(diǎn)出主題在學(xué)生回答后，教師給出指數(shù)型函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kax+b。讓學(xué)生對(duì)指數(shù)型函數(shù)有一定的了解。（3）請(qǐng)同學(xué)們回答四個(gè)函數(shù)的定義域、值域，單調(diào)性，并在稿紙上畫出它們的大致圖象，深入探究，同時(shí)為下面的新課作了作圖象的準(zhǔn)備。教師用幾何畫板畫在銀幕上。學(xué)生對(duì)自己畫的圖象進(jìn)行對(duì)比，從而增加了學(xué)生對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖象的直觀認(rèn)識(shí)。教師提出在自然條件下，細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、生物體內(nèi)碳14的衰變等規(guī)律，都可以用指數(shù)函數(shù)模型來描述，下面我們這堂課主要探究指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用引出課題（二）問題講解問題二、細(xì)胞分裂：例1某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，一直分裂下去．(１)用列表表示，1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)；（2）寫出得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式，試用計(jì)算器算算細(xì)胞分裂15次、20次得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)細(xì)胞分裂的規(guī)律，從分裂1、2、3、4、5、6、7、8后寫出得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)，然后尋找規(guī)律。再運(yùn)用規(guī)律，解決其他問題。師生互動(dòng)1：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1，并形象地畫出如下的樹叉圖。并請(qǐng)同學(xué)列下如下表分裂次數(shù)12345678細(xì)胞個(gè)數(shù)248163264128256師生互動(dòng)2：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，細(xì)胞的個(gè)數(shù)用2的n次表示。學(xué)生可以得到如下：2=21,4=22,8=23，…，256=28然后請(qǐng)同學(xué)們歸納出：細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式是y＝2n，n＋．師生互動(dòng)3：引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器可以算得215＝32768，220＝1048576．故細(xì)胞分裂15次、20次得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)分別是32768個(gè)和1048576個(gè)

師生互動(dòng)4：引導(dǎo)學(xué)生在平面坐標(biāo)系內(nèi)畫出圖象，可以發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象上。問題三：長(zhǎng)沙馬王堆千年女尸之迷問題。材料閱讀：1、據(jù)新華社1972年7月30日?qǐng)?bào)道，一座距今2100多年的西漢早期墓葬在湖南長(zhǎng)沙市郊的馬王堆出土。在這座古墓葬里，尸體、官槨及大批的隨葬物，都保存得比較完整，是我國(guó)考古發(fā)掘工作中一項(xiàng)極為罕見的重要發(fā)現(xiàn)。這對(duì)研究西漢初期的歷史、文化、手工業(yè)生產(chǎn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及醫(yī)藥、防腐等方面都有極重要的價(jià)值。尸體出土?xí)r，全身裹著20層絲綢衣服，半身浸泡在略呈紅色的溶液里。出土后，經(jīng)醫(yī)生的解剖檢驗(yàn)，證明女尸不但外形完整，而且內(nèi)臟器官也是完整的。尸體的皮下結(jié)締組織還有彈性。股部動(dòng)脈的顏色，幾乎跟剛死去的尸體一樣。給她注射防腐劑時(shí)，皮、肉、血管等軟組織，隨著藥水所到而鼓起，然后通過微血管擴(kuò)散。估計(jì)女尸死亡年齡在50歲左右。食道和胃里還保存著幾顆甜瓜子。從各方面的病理查明，死者生前患有多種疾病，膽絞痛引起冠心病發(fā)作，似乎是導(dǎo)致猝死的原因。馬王堆中的女尸為什么經(jīng)歷2000多年而不腐爛呢?原來這與墓葬的嚴(yán)密結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。女尸由三層槨和三層棺裝殮，這已經(jīng)夠嚴(yán)密的了。槨的四周以及上部又填塞了一尺厚的木炭，用來吸水防滲。木炭外面還包著一層透水性極小的二三尺厚的白膏泥，形成密封狀態(tài)。這樣就造成了一個(gè)恒溫、恒濕、缺氧、無菌的環(huán)境，對(duì)于女尸的不腐不爛起了決定性的作用。

2、科學(xué)研究表明：宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并能與氧結(jié)合成二氧化碳形后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，后為動(dòng)物納入。只要植物或動(dòng)物生存著，它們就會(huì)持續(xù)不斷地吸收碳14，在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平。而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止呼吸碳14，其組織內(nèi)的碳14便以5730年的半衰期開始衰變并逐漸消失。對(duì)于任何含碳物質(zhì)，只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，就可推斷其年代。因此碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以堪稱自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”。例2：科學(xué)研究表明：現(xiàn)代的人與遠(yuǎn)古的人活著的時(shí)候體內(nèi)碳14的含量是一樣的。閱讀上面的材料，湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始量的76.7%。請(qǐng)你計(jì)算一下馬王堆漢墓的大致年代？設(shè)計(jì)意圖：1、讓學(xué)生了解馬王堆漢墓女尸的大致情況，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2、激發(fā)學(xué)生的求知欲，以及培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。師生互動(dòng)1：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀材料1、2，并說明什么是半衰期。并提出問題：推算生物死亡t年后，每克組織中的碳14含量為多少？師生互動(dòng)2：設(shè)問：設(shè)生物死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織中的碳14含量為1，1年后的殘留量為x，生物死亡t年后，每克組織中的碳14含量為多少？讓學(xué)生進(jìn)行探索如下：列表如下：死亡年數(shù)t1234…t…碳14含量P

…

…師生互動(dòng)3：在學(xué)生得出P=xt后，問當(dāng)t=5730年時(shí)，P為多少？能否求出x的值？學(xué)生列出式子：，即得：。師生互動(dòng)4：下面請(qǐng)同學(xué)們自己利用所學(xué)的知識(shí)計(jì)算出馬王堆漢墓的大致年代?學(xué)生都很積極地進(jìn)行計(jì)算如下:年.問題四：人口增長(zhǎng)問題材料閱讀：3、兩個(gè)世紀(jì)以前，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（ThomasMalthus）指出，中國(guó)歷史上的人口增長(zhǎng)是一種沒有節(jié)制的自然增長(zhǎng)，它將導(dǎo)致糧食的短缺、生存條件的惡化和人民的貧困。馬爾薩斯認(rèn)為：由于一對(duì)夫妻在生育沒有控制時(shí)不止生兩個(gè)子女，人口將以幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)；而土地面積的擴(kuò)大和農(nóng)作物產(chǎn)量的提高都是緩慢和有限的，糧食只能以算術(shù)級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。因此，一個(gè)社會(huì)要避免糧食和人口關(guān)系的危機(jī)，只有抑制人口的增長(zhǎng)。在馬爾薩斯看來，17至18世紀(jì)西歐人通過晚婚和獨(dú)身對(duì)婚姻進(jìn)行了限制，減緩了人口的生育，形成了從人口體系內(nèi)部來對(duì)人口增長(zhǎng)的自愿的、有道德的“預(yù)防性抑制”（Preventivecheck）；而中國(guó)不僅存在著沒有限制的婚姻，而且還存在著沒有節(jié)制的生育，因此，對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)的抑制主要是來自于人口體系外部非自愿的、罪惡性的“現(xiàn)實(shí)性抑制”，例如戰(zhàn)爭(zhēng)、饑荒和傳染病。4、人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口人數(shù)，r表示人口年平均增長(zhǎng)率。5、下表是我國(guó)1950——1959年的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)（億）5.51965.63005.74825.87966.02666.14566.28286.45636.59946.7207例3、閱讀上面材料3、4、5、請(qǐng)求下面幾個(gè)問題？（1）計(jì)算：在材料5中，以1950年為基數(shù)，從1951年到1959年求出這9年的各年人口增長(zhǎng)率的平均值r？（精確到0.0001）（2）建立我國(guó)這一時(shí)期的馬爾薩斯人口增長(zhǎng)函數(shù)模型.(其中的r就是(1)中所求得的)（3）用幾何畫板畫出(2)中所求的函數(shù)圖象,,并檢驗(yàn)所得的函數(shù)模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.(4)如果按照上表中的增長(zhǎng)趨勢(shì),大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解人口增長(zhǎng)的馬爾薩斯函數(shù)模型，學(xué)會(huì)探索函數(shù)的模型以及檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，同時(shí)讓學(xué)生知道我國(guó)控制人口的重要性。師生互動(dòng)1:教師引導(dǎo)學(xué)生先求從1951年到1959年各年的人口增長(zhǎng)率分別是多少?再求出這9年的年均增長(zhǎng)率是多少?設(shè)1951年到1959年各年的人口增長(zhǎng)率分別是,由,同理可得各值(略寫),然后計(jì)算得這9年的年均增長(zhǎng)率.師生互動(dòng)2:學(xué)生不難得到我國(guó)這一時(shí)期的馬爾薩斯人口增長(zhǎng)函數(shù)模型為y=5.5196e0.0221t,(0≤t≤10).師生互動(dòng)3:下面由教師的引導(dǎo)下,回顧前面的問題一中第4個(gè)函數(shù)圖象，是利用幾何畫板畫出函數(shù)y=5.5196e0.0221t,(0≤t≤10)的圖象,如下圖所示.然后再描出點(diǎn)(1,5.6300)，（2，5.6300）…，（9，6.7207），由下圖可以看出所得的模型與我國(guó)在這時(shí)期的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合。師生互動(dòng)4：教師引導(dǎo)學(xué)生在所求得的函數(shù)模型中令y=13，則得到13=5.5196e0.0221t,由對(duì)數(shù)可以計(jì)算出即t=39年，在1989年我國(guó)人口將達(dá)到13億。實(shí)際上我國(guó)人口到2000年才達(dá)到13億。再讓學(xué)生分析一下我國(guó)實(shí)行計(jì)劃生育的重要性。（三）總結(jié)歸納：回顧解題過程，總結(jié)函數(shù)應(yīng)用的基本步驟。設(shè)計(jì)意圖：通過師生對(duì)解題過程發(fā)反思，使學(xué)生掌握函數(shù)應(yīng)用的基本過程，獲得解決這類問題的一般解決方法。師生互動(dòng)：教師和學(xué)生一起歸納這類函數(shù)應(yīng)用問題解決的程序如下：解答函數(shù)模型應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”即：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義。7、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖:為了鞏固本節(jié)指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用,能更好地發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)的特征,以及如何來計(jì)算求值，設(shè)計(jì)如下作業(yè)，讓學(xué)生的探究能力得到進(jìn)一步的提高。課后作業(yè)：1、某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20％，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5％以下，則至少需要過濾的次數(shù)為

（）（參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）A．5B．1C．14D．152、四個(gè)變量y1,y2,y3,y4隨變量x的變化的數(shù)據(jù)如下圖x051015202530y151305051130200531304505y2594.5671785.3337336.37×1051.2×1072.38×108y35305580105130155y452.3111.4291.1401.0461.0151.005關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是

,并寫出該函數(shù)的模擬函數(shù)為

.3、醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表.已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天）

（lg2=0.3010）8、設(shè)計(jì)反思自我評(píng)價(jià)：（1）本節(jié)課最大的亮點(diǎn)是利用閱讀材