數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計(jì)方案第七學(xué)時(shí)～第八學(xué)時(shí):第一方案課題：向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算率教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能①理解平面向量數(shù)量積物理意義及其幾何意義。②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。③掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律和幾何意義。2、過程與方法通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力3、情感態(tài)度價(jià)值觀利用向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)難點(diǎn)對平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律的理解和應(yīng)用教學(xué)關(guān)鍵利用物理背景啟發(fā)學(xué)生探究向量數(shù)量積的定義，運(yùn)用幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生理解定義實(shí)質(zhì)，揭示定義的幾何意義教學(xué)方法將數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有機(jī)結(jié)合起來，使用講授式教學(xué)與活動式教學(xué)相結(jié)合，接受式學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)相結(jié)合，不斷引導(dǎo)學(xué)生的概括活動實(shí)現(xiàn)的。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖時(shí)間反思引言教師介紹數(shù)學(xué)發(fā)展歷程。注意情感教育，教師引言：對問題的深入研究來源于人類對知識的永不滿足，正如過去學(xué)過的實(shí)數(shù)，人們不僅認(rèn)識實(shí)數(shù)的分類，還研究實(shí)數(shù)的運(yùn)算，并且進(jìn)一步想弄清楚運(yùn)算有無規(guī)律可循，當(dāng)然，幸運(yùn)的是，我們有了“交換率、結(jié)合率、分配率”等等，當(dāng)向量進(jìn)入我們的視野時(shí)，我們與生俱來的好奇心又起作用，“向量是數(shù)嗎？”“能算嗎？”調(diào)動學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)活動的興趣和積極性1復(fù)習(xí)提問承前啟后回顧已學(xué)習(xí)的向量運(yùn)算由前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，向量的運(yùn)算要比實(shí)數(shù)的運(yùn)算復(fù)雜的多，不僅有大小還要考慮方向，已經(jīng)定義了向量的什么運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？以加法為例說明我們是按照怎樣的順序研究這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用還可能定義什么運(yùn)算？期望學(xué)生回答：向量相乘復(fù)習(xí)向量有關(guān)運(yùn)算2引入新課以物理背景引入實(shí)際上，在物理課上，我們已經(jīng)多多少少知道了一些：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，（1）力F所做的功W=。（2）請同學(xué)們分析這個公式的特點(diǎn)：W（功）是量，F(xiàn)（力）是量，S（位移）是量，α是。我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的；問題1：你能用文字語言來表述功的計(jì)算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？期望學(xué)生思考后回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。教師要讓學(xué)生明白：本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運(yùn)算，但與向量的線性運(yùn)算相比，數(shù)量積運(yùn)算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)。學(xué)生事實(shí)上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，自然引進(jìn)數(shù)量積的定義回答后歸納夾角特征：兩個向量同起點(diǎn)，若不同起點(diǎn)平移至同起點(diǎn)?；卮饐栴}1后定義夾角：P107設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，概念。4定義給出數(shù)量積的定義定義:已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·=︱︱·︱︱cos在此可以強(qiáng)調(diào)“請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：顯然功是力與位移的數(shù)量積”學(xué)生應(yīng)用公式完成例1已知：|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=1200，求ab注意：①=0·=0②“·”并非實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號，既不能寫成“”也不能省略在強(qiáng)調(diào)記法和“規(guī)定”后，為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識這一概念，提出問題問題2：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小因素有哪些？完成下表：角的范圍0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符號不僅使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，“補(bǔ)充”通過前后呼應(yīng)達(dá)到強(qiáng)化理解、加深認(rèn)識的目的。通過此環(huán)節(jié)為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律做好鋪墊。對角的范圍做好分類討論的準(zhǔn)備5數(shù)量積的性質(zhì)探究數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1ea=ae=|a|cos〈a，e〉2abab=0且ab=0a3aa=|a|即4cos〈a，b〉=5|ab|≤|a||b|學(xué)生分組探究，兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)，教師指導(dǎo)探究活動，體現(xiàn)特殊化的思想，數(shù)形結(jié)合思想，基本運(yùn)算能力培養(yǎng)問題3：簡要敘述性質(zhì)的特征和功能1單位向量的特征？2為什么ab=0可以用于判斷a、b垂直？3aa=|a|2，即的主要功能是什么？4如何求夾角？練習(xí)：P109/練習(xí)A：1（3）2（1）培養(yǎng)學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生動手動腦解決問題5數(shù)量積的幾何意義向量在軸上的正射影定義：已知向量和軸l，作=，過點(diǎn)O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量叫做向量在軸l上的正射影（簡稱射影），該射影在軸l上的坐標(biāo)稱作向量在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量由此我們知道了向量的數(shù)量積的代數(shù)定義，總感到意猶未盡，有沒有幾何特征呢？由上述定義我們已經(jīng)得知：兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，其幾何含義見P108/圖2-50=在軸l上的正射影的坐標(biāo)記作：al，向量的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)余弦定義可知：al=cosθ5應(yīng)用體會公式，應(yīng)用練習(xí)P108/例1：了解：向量在軸l上的正射影（向量）的坐標(biāo)在軸l上的數(shù)量2向量數(shù)量積的運(yùn)算律向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律ab=ba分配律（a+b）c=ac+bcλ（ab）=（λa）b=a（λb）從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，從向量數(shù)量積的定義和幾何意義出發(fā)，回答下列問題，課下分組探究運(yùn)算律，問題3：向量問題解決思路問題4：單位向量的功能創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考3應(yīng)用舉例例3、求證：①（+）2=2+.+2②（+）?（-）=2_2例4、求證：菱形的兩條對角線互相垂直（用向量解決幾何問題）教師引導(dǎo)：考慮運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，板書例3、求證：①（+）2=2+.+2學(xué)生證明②（提示：結(jié)論可直接應(yīng)用）例4（線形運(yùn)算已涉及）要求學(xué)生畫出圖形，已知條件轉(zhuǎn)化為符號語言，并在圖像上找到對應(yīng)哪條有向線段？步驟：用向量表示幾何關(guān)系進(jìn)行向量運(yùn)算還原為幾何結(jié)論教師通過板書證明：針對學(xué)生比較陌生的內(nèi)容，說明每部依據(jù)7隨堂練習(xí)測驗(yàn)1、P109/練習(xí)A：1（1）2、P109/練習(xí)B：1（2）3、P111/練習(xí)A：1題號內(nèi)容難度成績自評總評1236歸納小結(jié)要點(diǎn)：1、體會數(shù)學(xué)知識多來源于實(shí)際需要2、區(qū)分幾種運(yùn)算，數(shù)量積結(jié)果是實(shí)數(shù)，聯(lián)系向量與實(shí)數(shù)3、運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)運(yùn)算，不能套用，課后思考：結(jié)合律適用嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧小結(jié)向量數(shù)量積的概念、幾何意義及其運(yùn)算律，總結(jié)用向量解題可以分為三步：用向量表示幾何關(guān)系進(jìn)行向量運(yùn)算還原為幾何結(jié)論幫助學(xué)生總結(jié)知識方法，便于學(xué)生系統(tǒng)掌握3布置作業(yè)P109/練習(xí)A：1（4）2P109/練習(xí)B：1，2P111/練習(xí)A：2，3P111/練習(xí)B：1，2學(xué)生課后獨(dú)立完成分組探究（自選）：課后思考1、證明兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)？課后思考2、分組探究運(yùn)算律并進(jìn)行證明？課后思考3、結(jié)合律適用嗎？進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)知識、方法1教學(xué)