淺析二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系就是“形”與“數(shù)”的有機(jī)結(jié)合．一方面可根據(jù)函數(shù)圖象的特征來分析方程中的數(shù)量關(guān)系，另一方面也可由方程中的某些數(shù)量關(guān)系得出函數(shù)圖象的特征．二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)當(dāng)y＝0時(shí)，恰好是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；而y＝0的根是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；因此利用一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，可以研究二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的情況．如方程有不同的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；二次函數(shù)的圖象及二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程之間有著密切的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用它們之間的聯(lián)系可以解決許多綜合問題．對(duì)二次函數(shù)問題的處理，既要準(zhǔn)確理解它的定義以及相關(guān)推導(dǎo)結(jié)果，又應(yīng)在靈活處理方面下功夫，它要求基本功扎實(shí)和一定的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可以看作是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c當(dāng)函數(shù)值為0的特殊情形，因而它們有著密切的關(guān)系，主要表現(xiàn)如下：一、方程ax2＋bx＋c＝0的解可用拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)去反映；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，0）和（x2，0），則x1、x2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)解．分析：∵x＝x1和x＝x2時(shí)，都有y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，由根的定義知：x1、x2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根二、方程ax2＋bx＋c＝0根的判別式△可判斷拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；反過來對(duì)于拋物線y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)△＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＝0時(shí)，拋物線與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；當(dāng)△＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．分析：令y＝0，則ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)△＞0時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2，這時(shí)有序數(shù)對(duì)（x1，0）和（x2，0）滿足函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，在平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x1，0）和（x2，0）都在拋物線上，這說明拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；同樣可知，當(dāng)△＝0時(shí)，拋物線與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)（，0）；當(dāng)△＜0時(shí)，拋物線與x軸無交點(diǎn)．三、方程ax2＋bx＋c＝0的根與系數(shù)關(guān)系(即韋達(dá)定理)可用作求拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸兩交點(diǎn)間的距離．若拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，則線段AB＝分析：x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，則＋＝，·＝∴AB＝＝＝＝＝＝當(dāng)拋物線記為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)時(shí)，且ak＜0，它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），則AB＝＝四、方程ax2＋bx＋c＝0的配方式可確定拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)．反過來，拋物線：y＝ax2＋bx＋c＝頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸方程：由此也可解決最值有關(guān)問題：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)在時(shí)，有最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)在時(shí)，有最大值．yxOx1x2y＝ax2＋bx＋c(0，c)五、方程ax2＋bx＋c＝0若有一個(gè)根為0，則c＝0，反過來，若拋物線y＝y(tǒng)xOx1x2y＝ax2＋bx＋c(0，c)例1、已知拋物線y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線必與x軸相交于兩點(diǎn)；證明：由于不論m為何值，都有：△＝［－2(m＋1）］2－4×1×2(m－1)＝4m2＋12>0故拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)求當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．解：當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線為y＝x2－4x＝(x－2)2－4∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)令x2－4x＝0得：x1＝0x2＝4∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(4，0)(3)求當(dāng)m＝－1時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)解：當(dāng)m＝－1時(shí)，拋物線為y＝x2－4∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－4)令x2－4＝0得：x1＝2x2＝－2∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，(2，0)(4)拋物線與x軸原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，求m的值；解：設(shè)交點(diǎn)為A（x1，0）、B（x2，0）由交點(diǎn)間距離公式可得：解得：m＝－1∴當(dāng)m＝－1時(shí)，拋物線與x軸原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)且距離為4(5)設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)分布在（4，0）的左右兩邊，試確定m的取值范圍；解：根據(jù)題意得：（x1－4）（x2－4）＜0即x1?