期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型第1頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型1.期望效用函數(shù)理論2.投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)度量3.單期定價(jià)模型本章內(nèi)容概覽第2頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關(guān)系第3頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.1偏好關(guān)系第4頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序例如：設(shè)選擇集第5頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序問題驗(yàn)證上述的二元關(guān)系是否是一偏好關(guān)系？第6頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序第7頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序第8頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義第9頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）第10頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1必要性第11頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性因此第12頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運(yùn)算法則第13頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性第14頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以下兩種情況第15頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性故第16頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)2（中值性）第17頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序不具有性質(zhì)2根據(jù)字典序定義，我們有第18頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序不具有性質(zhì)2（續(xù)）這說明字典序不具有性質(zhì)2。第19頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)3（有界性）第20頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.1第21頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時定理顯然成立。因?yàn)锽存在偏好關(guān)系，只有3種情況：第22頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五序數(shù)效用函數(shù)定理證明第23頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五必要性第24頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五第25頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五由性質(zhì)1（序保持性），第26頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性由保序性，第27頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性此時由U的定義，由性質(zhì)1第28頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五必要性若不然，由結(jié)論1，第29頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性第30頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五說明設(shè)U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如下性質(zhì)：第31頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3第32頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3第33頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）第34頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）第35頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2期望效用函數(shù)第36頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五引言在1.1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)系的三條性質(zhì)（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風(fēng)險(xiǎn)）的情形。假設(shè)投資者在形如下面的“彩票”中選擇，收益（盈利或獎金數(shù)額）用表示，對應(yīng)的概率為第37頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運(yùn)算彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量表示為第38頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運(yùn)算結(jié)論第39頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)定義復(fù)合性抽彩為：可以證明第40頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)則第41頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系第42頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)1（保序性）第43頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)2(中值性)性質(zhì)3(有界性)第44頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）第45頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明第46頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構(gòu)造性定義即證畢。第47頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個彩票相加的情形由效用函數(shù)的定義可見，上面定義的效用函數(shù)不唯一。第48頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1第49頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.2，效用函數(shù)U滿足定理1.2的性質(zhì)(3)，于是第50頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考慮正仿射變換情況下，這一類效用函數(shù)是唯一的，稱它為基數(shù)效用函數(shù)。第51頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)這時把選擇集看成所有輸出的概率分布律組成的集合第52頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)為方便，定義第53頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第54頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第55頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第56頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)定理1.3第57頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率問題：假設(shè)資產(chǎn)市場上的所有投資者都具有馮.諾依曼—莫根斯坦效用函數(shù)，但效用函數(shù)的具體形式可以不一樣，是否存在一個基于效用的度量，它能夠用來對所有具有不同效用的個體進(jìn)行共同的比較呢？伯瑞特（Pratt）回答了這個問題。第58頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率定義假設(shè)投資者具有vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)，給定vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)V(x),第59頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：第60頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量，稱為Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡測度或者絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。第61頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量

第62頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例第63頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例第64頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例第65頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例第66頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例第67頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念第68頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念第69頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)第70頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.1第71頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.1第72頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系由風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的定義等號的左邊寫為第73頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系式（1.3.7）兩邊取期望，得第74頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)第75頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系第76頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)第77頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡第78頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。因此是一條雙曲線，因此稱這類函數(shù)為絕對雙曲風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。第79頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）其風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)為（1）當(dāng)r=1時，則是線性函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)。是二次效用函數(shù)。一般寫成第80頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。它具有常相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡和遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。第81頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)，它是等彈性邊際效用函數(shù)第82頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4均值方差效用函數(shù)

第83頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益第84頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五絕對收益概念注：絕對收益是一個描述收益大小的概念，它不能更合理地比較不同資產(chǎn)收益的大小。第85頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五百分比收益概念第86頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個時期從期末到期初的收益，與時間的跨度有關(guān)。第87頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五年平均收益概念第88頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)復(fù)合收益概念第89頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義第90頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)第91頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)第92頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)第93頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5隨機(jī)占優(yōu)

第94頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.1隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（SD準(zhǔn)則）第一類投資者一階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則第二類投資者二階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則第95頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.2一階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)第96頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，第97頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明必要性于是第98頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明充分性因?yàn)榈?9頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.3二階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)第100頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5證明必要性第101頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5證明-必要性續(xù)1第102頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五于是第103頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5充分性證明所以第104頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率圖1.3風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率的密度函數(shù)第105頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型

第106頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五內(nèi)容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型套利機(jī)會單期確定性定價(jià)模型兩種資產(chǎn)多種資產(chǎn)第107頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.套利機(jī)會第108頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型第109頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型第110頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型第111頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型第112頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型定理1.6第113頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明因?yàn)槭袌霾淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以第114頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為第115頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明續(xù)其中證畢第116頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型單期資產(chǎn)定價(jià)問題：是已知時刻1資產(chǎn)的價(jià)格，確定時刻0資產(chǎn)的價(jià)格。第117頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型2.單期確定性定價(jià)模型證明第118頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.7套利定價(jià)定理證明第119頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.7套利定價(jià)定理證明續(xù)第120頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型1.兩資產(chǎn)情形第121頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型兩種基本證券構(gòu)造資產(chǎn)組合：則無論是上漲還是下跌，資產(chǎn)組合的價(jià)值都和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格一樣。第122頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型基本證券的定價(jià)公式第123頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）那么第124頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）第125頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價(jià)公式舉例第126頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價(jià)公式舉例（續(xù)）第127頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型2.n種資產(chǎn)情形第128頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型第129頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型

套利資產(chǎn)組合資產(chǎn)組合稱為套利資產(chǎn)組合，第130頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型無風(fēng)險(xiǎn)投資組合（或稱套期保值資產(chǎn)組合）第131頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型套利機(jī)會第132頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五離散狀態(tài)下的套利機(jī)會第133頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型狀態(tài)價(jià)格向量第134頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型