第一講分式方程（組）的解法

分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解，轉(zhuǎn)化的

基本方法是去分母、換元，但也要靈活運(yùn)用，注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形.變形時(shí)可能會(huì)擴(kuò)大

（或縮?。┪粗獢?shù)的取值范圍，故必須驗(yàn)根.

例1解方程

1]]

x2+1lx-8x2+2x-8x2-13x-8

解令y=x?+2x-8,那么原方程為

111c

------+—+--------=0.

y+9yyy-15x

去分母得

y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0,

y2-4xy-45x2=0,

(y+5x)(y-9x)=0,

所以y=9x或y=-5x.

2

由y=9x得x?+2x-8=9x,BPx-7x-8=0,所以XF-1,X2=8；由y=-5x,得x?+2x-8=-5x,即x，+7x-8=0,

所以Xs=-8,X.I=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根.

例2解方程

x2+4x72x-72

—+^r-18=0-'

2

v+4文

解設(shè)丫=丁丁,則原方程可化為

72

y+--18=0,

y

y2-18y+72=0,

所以y>=6或ya=12.

X°+21v

當(dāng)y=6時(shí)，-----=6,x2+4x=6x-6,故

x-1x2-2x+6=0.

此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

x"+

當(dāng)y=12時(shí)，—=12,/+4x=12xJ2,故

xJ-8x+12=0,

所以Xi=2或x2=6.

經(jīng)檢驗(yàn)，x,=2,XF6是原方程的實(shí)數(shù)根.

例3解方程

x+63x2+10x+42x+l

+=0

x+1x2+3x+2772-

分析與解我們注意到:各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，故可考慮先用多項(xiàng)式除法化

簡(jiǎn)分式.原方程可變?yōu)?/p>

5x-23

1++2-------0,

77T"x?+3x+2x+2

整理得

53x-2

0,

x+1x+2x+3x+2

去分母、整理得

x+9=0,x=-9.

經(jīng)檢驗(yàn)知，x=-9是原方程的根.

例4解方程

x+1x+6x+2x+5

-----+-----------+------

x+2x+7x+3x+6

分析與解方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1,根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式

之和，這樣原方程即可化簡(jiǎn).原方程化為

.j一―,

x+2x+7x+3x+6

11^11

x+6x+7x+2x+3'

即

11

(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)'

所以

((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3).

解微=微.

9

經(jīng)檢驗(yàn)x=-|是原方程的根.

例5解方程

11111

----------+-----------+??■+-------------------=-^―

x(x-1)x(x+l)(x+9)(x+10)12

分析與解注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù)1,故可考慮把一個(gè)

分式拆成兩個(gè)分式之差的形式，用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡(jiǎn).原方程變形為

整理得

1121

x-1x+1012,

去分母得

x2+9x-22=0,

解得xN,x2=-ll.

經(jīng)檢驗(yàn)知，x,=2,XF-11是原方程的根.

例6解方程

2x3+3x+22x2-5x+3

2x2-3x-2-2x2+5x-3

分析與解分式方程形如比例式(,且本題分子與分母中的一

次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)相反,故

可考慮用合比定理化簡(jiǎn).原方程變形為

(2x2+3x+2)+(2x2-3x-2)_(2x2-5x+3)+(2x2+5x-3)

2x2-3x-22x2+5x-3

2x2-3x-22x2+5x-2

所以

x=0^2x2-3x-2=2x2+5x-3.

解得X=0或x=

o

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0,x=!都是^方程的根.

O

例7解方程

3x2+4x-1x2+4x+1

3x2-4x-1x2-4x+1

分析與解形式與上例相似.本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號(hào)相反，故可考慮用合分比定

理化簡(jiǎn).原方程變形為

(3x2+4x-1)+(3x2-4x-1)_(x2+4x+1)+(x2-4x+1)

(3x2+4x-1)-(3x2-4x-1)(x2+4x+1)-(x2-4x+1)

6x2-22x2+2

即飛「飛」

當(dāng)xWO時(shí)，解得x=±l.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=±l是原方程的根，且x=0也是原方程的根.

說(shuō)明使用合分比定理化簡(jiǎn)時(shí)，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗(yàn).

像x+」=a+工這類特殊類型的方程可以化成一元二次方程，因而

xa

至多有兩個(gè)根.顯然a盧1時(shí)，Xl=a與X2=L就是所求的根.例如，方

a

程x+1=31,即X+!=3+1,所以XI=3,x2=.

x3x33

例8解方程

x2+x+12x2+x+219

--------------+-----------------——,

X2+1X2+x+l6

解將原方程變形為

X2+X+1X2+123

------------+----------=--+--

x2+1x2+xl32'

X2+X+1

設(shè)丫=，則原方程變?yōu)?/p>

X+1

123

y+7=3+2-

=

解得力="I，y2I-

-3tS

當(dāng)之^^=1時(shí),X=-2~

"X?+x+l

3X2+1x=l.

經(jīng)檢驗(yàn)x=1及x=翼史均是原方程的根.

例9解關(guān)于X的方程

a+xb+xJ

-——+=2-.

b+xa+x2

解設(shè)y=產(chǎn)，則原方程變?yōu)?/p>

b+x

y+-=2+-.

y2

所以yi=2或y?=[.

由1~~-=2,得Xi=a-2b；由1~,得x2=b-2a.

b+xb+x

將Xi=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x,得a?b或2(b-a)，所以，當(dāng)aWb時(shí)，x尸a-2b及x2=b-2a都

是原方程的根.當(dāng)a=b時(shí)，原方程無(wú)解.

例10如果方程

只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值及對(duì)應(yīng)的原方程的根.

分析與解將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得

2x2-2x+(a+4)=0.①

原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，方程①的根的情況只能是：(1)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

△=4-4?2(a+4)=0.

解得a=[.此時(shí)方程①的兩個(gè)相等的根是與=叼

(2)方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個(gè)根為0或2.

(i)當(dāng)x=0時(shí)，代入①式得a+4=0,即a=-4.這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=l(因?yàn)?x?-2x=0,

x(x-l)=O,XLO或Xz=l.而K=0是增根).它不使分母為零，確是原方程的唯一根.

(ii)當(dāng)x=2時(shí)，代入①式，得

2X4-2X2+(a+4)=0,

2

即a=-8.這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=-l(因?yàn)?x-2x-4=0.(x-2)(x+l)=O,所以xN(增根)，x2=-l).它

不使分母為零，確是原方程的唯一根.

因此，若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所求的a的值分別是

7一一1

-4,-8,其對(duì)應(yīng)的原方程的根依次為5，1,-1.

練習(xí)一

1.填空：

(1)方程x=10段的一個(gè)根是10,則另一個(gè)根是.

x-82-------

父”—h又m—1

(2)如果方程----------有等值異號(hào)的根，那么m=

(3)如果關(guān)于x的方程

1k-5k-1

~X-x+-x2+~x~~X-1

有增根x=l,則k=____.

(4)方程二+口=與的根是

x-1x+13-------

2.解方程

3.解方程

x3+2x3-2

2t-/X?

X2-X+11+x+1

4.解方程

x-2x-332

3-2x-2x-30

5.解方程

-2丫-4)

蜴飛+J=4百

6.解方程

7.m是什么數(shù)值時(shí)，方程

36x+m

—+------=-----------

XX-1x(x-1)

有根?

第二講無(wú)理方程的解法

未知數(shù)含在根號(hào)下的方程叫作無(wú)理方程（或根式方程），這是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一些特殊形

式的方程中的一種.解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根

據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、設(shè)輔助元素法、

利用比例性質(zhì)法等.本講將通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這些方法的運(yùn)用.

例1解方程

J3x—3+75x-19-J2x+8=0.

解移項(xiàng)得

J3x—3-J2x+8=-J5x-19,

兩邊平方后整理得

V(3x-3)(2x+8)=12,

再兩邊平方后整理得

x2+3x-28=0,

所以x,=4,X2=-7.

經(jīng)檢驗(yàn)知，Xz=-7為增根，所以原方程的根為x=4.

說(shuō)明用乘方法(即將方程兩邊各自乘同次方來(lái)消去方程中的根號(hào))來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生

增根，應(yīng)注意驗(yàn)根.

例2解方程

4x2+2xV3x2+x+x-9=0.

分析與解需要注意的是：2x、瓦不可看成是

2?x?73x2+x,這就啟發(fā)找們是否可用“兩項(xiàng)和的平方“，即完全平方公式將方程的左端配

方.將原方程變形為

22

(3x2+x)+2XA/3X+x+x=9,

即(J3x*+x+x)*=9,

所以

，3父+x+x=3或V3x2+x+x=-3.

由、6?+x+x=3得

,3代+x=3-x,

兩邊平方得

3x2+x=9-6x+x2,

解得X]="|,x2=1.

由J3x?+x+x=-3得

J3x?+x=-(x+3),

兩邊平方得

3x2+x=x2+6x+9,

曰5±_5±757,,/

解傳x=——?而當(dāng)vl>x=——-——時(shí)，-(x+3)<0,

44

.>5±T97>.

故X=~B+曰g根-

經(jīng)檢驗(yàn),原方程的根為為=4,x

例3解方程

&+Jx+2+2Jx?+2x=4-2x.

解考慮到我?^2=療而，于是將方程化為

(x+2Vx+2x+x+2)+(Vx+Jx+2)-6=0.

即

(應(yīng)+Jx+2,+(m+Jx+2)-6=0,

所以

(^/x+Jx+2-2)(、反+Jx+2+3)=0.

因?yàn)槲?Jx+2+3》0〉0,所以

后+Jx+2-2=0.

移項(xiàng)得

&-2=~Vx+2,

平方后解得X=[.

經(jīng)檢驗(yàn),x=；是原方程的根.

例4解方程

點(diǎn)+Jy7+jz-2=g(x+y+z).

解三個(gè)未知量、一個(gè)方程，要有確定的解，則方程的結(jié)構(gòu)必然是極其特殊的.將原方程變形

為

x+y+z-2或-2Jy-1-2jz-2=0,

(x-2-TX+1)+(y-1-2Jy-1+1)+(z-2-2jz-2+1)=0.

配方得

222

(點(diǎn)-I)+(A/y-1-l)+(Jz-2-I)=0.

利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得

-Vx=1,Jy-1=1,Jz-2=1.

所以x=l,y=2,z=3.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l,y=2,z=3是原方程的根.

例5解方程

解令則原方程化為

x+y=2、也，①

所以

2

x

x2+y2=x2+^-=^-=x2y2.②

X-1X-1

將①兩邊平方、并利用②得

xy+2xy-8=0,

(xy+4)(xy-2)=0.

因?yàn)閤y='jc]>0,所以

Vx2-1

xy=2.③

由①，③便可得x=y=、回.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=、也是原方程的根.

例6解方程

73X2-2x+9+73X2-2x-4=13.①

解觀察到題中兩個(gè)根號(hào)的平方差是13,即

(73X2-2x+9)2-(73X2-2x-4)2=13.②

②!①便得

J3x2-2x+9—V3x^—2x—4=1.③

由①，③得

J3x」-2x+9=7,3X2-2X-40=0,

所以x=y-,X=4?

經(jīng)檢驗(yàn)，Xi=-￡,x?=4都是原方程的根.

例7解方程

72X2-1+Jx2-3x-2=72X2+2x+3+Vx2-x+2.

分析與解注意到

(2x2-l)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).

設(shè)

J2x2—1=u,-Jx2-3x-2=v,

72x2+2x+3=w,&2-x+2=t,

則

u2-v2=w2-t2,①

u+v=w+t.②

因?yàn)閡+v=w+t=O無(wú)解，所以①9②得

u-v=w-t.③

②+③得11="，，即

72X2-1=J2d+2x+3.

解得x=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-2是原方程的根.

例8解方程

—2+x=1-Jx+1.

解設(shè)MTG=y,貝IJx=y3-2.因此，原方程變?yōu)?/p>

y=l-^y3-1.

整理得y3-l=(l-y)2,

即(y-1)(V+2)=0.

解得y=l,即x=-l.

經(jīng)檢驗(yàn)知，x=-l是原方程的根.

這道題也可設(shè)Jx+1=y,則x=y2-1.原方程化為

府+1=1-y.

整理得y;,-2y2+3y=0.

解得y=0,從而x=-L

例9解方程

Jx+2a-Jx2ax

A/X-2a+Jx+2a2a

分析與解對(duì)于形式為比例式盤的方程，若方程的一邊或兩

BD邊的分式的分子與分母只有

一些項(xiàng)的符號(hào)不同，則可用合分比定理化簡(jiǎn)方程.

根據(jù)合分比定理得

Jx+2ax+2a

----=--------

--2ax-2a

兩邊平方得

x+2ax2+4ax+4a2

x-2ax2~4ax+4a2'

再用合分比定理得

xx2+4a2

2a4ax

化簡(jiǎn)得xFa?.解得x=±2a.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=±2a是原方程的根.

練習(xí)二

1.填空：

⑴方程(x?+J%)?+&-5=0的根是.

⑵方程-X+2-2技12x+1=3的所有根的和為

(3)方程、/4x+5+Jx+4-J9x+10的根是.

(4)若方程后6有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則p的取值范圍是

(5)若a》l,則方程Ja-、殍彳=x的所有實(shí)根之和等于.

2.解方程

7x2+5x-6+73x2-8x+5=3x-3.

3.解方程

2(x+vx-1)=(x-1++I)2.

4.解方程

Jx，+6x+2-7x2+x+2=x.

5.解方程

7x2-1+Jx，+4x+3=J3x，+4x+1?

6.解關(guān)于x的方程

x+Jl2a_xVa+1

x-J12-xV&-1

第三講簡(jiǎn)易高次方程的解法

在整式方程中，如果未知數(shù)的最高次數(shù)超過(guò)2,那么這種方程稱為高次方程.一元三次方程和

一元四次方程有一般解法，但比較復(fù)雜，且超過(guò)了初中的知識(shí)范圍，五次或五次以上的代數(shù)方程沒(méi)

有一般的公式解法，這由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾于1824年作出了證明，這些內(nèi)容我們不討論.本

講主要討論用因式分解、換元等方法將某些高次方程化為低次方程來(lái)解答.

例1解方程

x3-2x2-4x+8=0.

解原方程可變形為

x2(x-2)-4(x-2)=0,

(x-2)(x2-4)=0,

(x-2)2(x+2)=0.

所以

X,=X2=2,X3=-2.

說(shuō)明當(dāng)ad=bc#O時(shí)，形如ax3+bx2+cx+d=0的方程可這樣

解決：令;=三=臥0,!I!lJa=bk,c=dk,于是方程—+bx?+ex+d

bd=0可化為

bkx3+bx2+dkx+d=0,

即(kx+1)(bx2+d)=0.

方程ax'+bx3+cx+d=O也可以用類似方法處理.

例2解方程

(x-2)(x+l)(x+4)(x+7)=19.

解把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得

(x2+5x-14)(x2+5x+4)=19.

設(shè)

(x2+5x-14)+(x2+5x+4)2,「自

y=-----------------------=x+5x-5,⑦

則

(y-9)(y+9)=19,

即y2-81=19.

解得丫1，2=±1。?將丫1，丫2的值代人世式得

-5±785-5士妻

Xi,a=-2，*3,4=-2~

說(shuō)明在解此題時(shí)，仔細(xì)觀察方程中系數(shù)之間的特殊關(guān)系，則可用換元法解之.

例3解方程

(6x+7)<3x+4)(x+l)=6.

解我們注意到

2(3x+4)=6x+8=(6x+7)+l,

6(x+l)=6x+6=(6x+7)-l,

所以利用換元法.設(shè)y=6x+7,原方程的結(jié)構(gòu)就十分明顯了.令

y=6x+7,①

由(6x+7)2(3x+4)(x+l)=6得

(6x+7)2(6x+8)(6x+6)=6X12,

即

y2(y+l)(y-l)=72,

y'-y2-72=0,

(y2+8)(y2-9)=0.

_2=_5

因?yàn)榇?8>0,所以只有產(chǎn)9=0,y=±3.代入①式，解得原方程的根為為一一耳‘叼一一5

例4解方程

12x'-56x3+89x2-56x+12=0.

解觀察方程的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)有以下特點(diǎn)：X,的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同，X,的系數(shù)與x的系數(shù)

于xrO,方程兩邊同乘以&■得

相同，像這樣的方程我們稱為倒數(shù)方程.由x?仃

12

12x2-56x+89--+=0,

xx

12(x2+p1-)-56(x+-1)+89=0,

12(x+-1)2-56(x+-1)+65=0.

XX

令x+1=y,則12y2-56y+65=0,所以

x

513

5151

由丫1=5，得x+_=5，所％1=2,x2

由丫2=?，得x+^=當(dāng)，所％3=|^x4=|'-

6x632

、12

因此，原方程的根為X]=2,x2=-,x3=-,x

例5解方程

解方程的左邊是平方和的形式，添項(xiàng)后可配成完全平方的形式.

2x(2xV2x

2-2?x*——7+——-+2?x.——-

x+2\x+2)x+2

2

所以

(X2VX2

—7+4---5=0,

(x+2)x+2

［三+相三一卜。,

卜+21x+2j

當(dāng)—=+5=0時(shí)，得1+5x+10=0,這個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

當(dāng)?-1=0時(shí),得/-、?2=0,所以勺=?1,町=2.

x+2

經(jīng)檢驗(yàn)，X,=-1,Xz=2是原方程的根.

例6解方程

(x+3)'+(x+l)'=82.

分析與解由于左邊括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)二項(xiàng)式只相差一個(gè)常數(shù)，所以設(shè)

(x+3)+(x+l)…

y=-----2-----=X+2,

于是原方程變?yōu)?/p>

(y+l)'+(y-l)4=82,

整理得

y'+6y2-40=0.

解這個(gè)方程，得丫=±2,即

x+2=±2.

解得原方程的根為XFO,X2=-4.

說(shuō)明本題通過(guò)換元，設(shè)y=x+2后，消去了未知數(shù)的奇次項(xiàng)，使方程變?yōu)橐子谇蠼獾碾p二次方

程.一般地，形如

(x+a)'+(x+b)'=c

的方程，可以用換元(設(shè)y=x+等)的方法化為雙二次方程.

例7解方程

x1-10x,-2(a-11)x2+2(5a+6)x+2a+aJ=0,其中a是常數(shù)，且a2-6.

解這是關(guān)于x的四次方程，且系數(shù)中含有字母a,直接對(duì)x求解比較困難(當(dāng)然想辦法因式分

解是可行的，但不易看出)，我們把方程寫成關(guān)于a的二次方程形式，即

a2-2(x2-5x-l)a+(x'-10x3+22x2+12x)=0,

△=4(x2-5x-l)2-4(x4-10x;t+22x2+12x)

=4(x2-2x+l).

所以

2(x2-5x-l)±2(x-l)

a2，

所以

a=x2-4x-2或a=x2-6x.

從而再解兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，得

X]2=2士Ja+6,x34=3土Ja+9.

練習(xí)三

1.填空：

(1)方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24的根為.

(2)方程x3-3x+2=0的根為.

(3)方程x'+2x3-18x2-10x+25=0的根為.

(4)方程(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)三(3xJ4x+2)：的根為_(kāi)_____.

a

(5)方程(8X+7)2(4X+3)(x+l)=5的根為.

2.解方程

(4x+l)(3x+l)(2x+l)(x+l)=3x'.

3.解方程

x5+2x4-5x3+5x2-2x-l=0.

4.解方程

5.解方程

(x+2)'+(x-4)*=272.

6.解關(guān)于x的方程

x3+(a-2)x2-(4a+l)x-a2+a+2=0.

第四講有關(guān)方程組的問(wèn)題

在教科書上，我們已經(jīng)知道了二元一次方程組、三元一次方程組以及簡(jiǎn)單的二元二次方程組的

解法.利用這些知識(shí)，可以研究一次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的圖像以及與此有關(guān)的問(wèn)題.本講再介

紹一些解方程組的方法與技巧.

1.二元二次方程組

解二元二次方程組的基本途徑是“消元”和“降次”.

由一個(gè)二次和一個(gè)一次方程組成的二元二次方程組的一般解法是代入法，由兩個(gè)二次方程組成

的二次方程組在中學(xué)階段只研究它的幾種特殊解法.

如果兩個(gè)方程的二次項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，可用加減消元法消去二次項(xiàng).

例1解方程組

2x2+4xy-2x-y+2=0,①

3x2+6xy-x+3y=0.②

解②X2-①X3得

4x+9y-6=0.

4x4-9y-6=0,

解方程組得

3x2+6xy-x+3y=0

X]=-2,

=-3

14

=y2=2.

方程組中含有某一未知數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)的比相等,可用加減消元法消去這個(gè)未知數(shù).

例2解方程組

2x2-4xy+y2+2x-y+2=0,①

x2-2xy-y2+x-2y+4=0.②

解②X(-2)+①得

3y2+3y-6=0,

所以y產(chǎn)1,y2=-2.

解方程組

：y=l,

x2-2xy-y2+x-2y+4=0

與

卜=2,

x2-2xy-y2+x-2y+4=0,

得原方程組的解

戶2=4

卜=-2；(y2=-2.

方程組中至少有一個(gè)方程可以分解為一次方程的方程組，可用因式分解法解.

例3解方程組

x2+y2=5,①

2x2-3xy-2y2=0.②

解由②得

(2x+y)(x-2y)=0,

所以2x+y=0或x-2y=0.

因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組

x2+y2=5,

‘2x+y=0

與

<x2+y2=5,

Ix-2y=0.

解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為

X1=l,x2=-1,x3=2,x4=-2,

Yi=-2;[y2=2S(y3=1s[y+=1-

如果兩個(gè)方程都沒(méi)有一次項(xiàng)，可用加減消元法消去常數(shù)項(xiàng)，再用因式分解法求解.

例4解方程組

3x2-y2=8,①

x2+xy+y2=4.②

解由①-②x2得

x2-2xy-3y2=0,

即(x+y)(x-3y)=0,

所以x+y=O或x-3y=0.

分別解下列兩個(gè)方程組

3x2-y2=8,3x2-y2=8,

x+y=0s|x-3y=0,

得原方程組的解為

Xj=2,=-2,

《

)1=2[y2=2；

X3號(hào)屈，x4=-｝厄，

%=K屈;卜=一卷屈.

2.二元對(duì)稱方程組

方程中的未知數(shù)X,y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對(duì)稱方程.例如

x2-5xy+y2-3x-3y=7,

11

—+—9,Jx+3+Jy+3=5

xy

等都是二元對(duì)稱方程.

由二元對(duì)稱方程組成的方程組叫作二元對(duì)稱方程組.例如

x2+y2+x+y=18,

x2+xy+y2=19；

x2+3xy+y2-4x-4y+3=0,

xy+2x+2y-5=0

等都是二元對(duì)稱方程組.

我們把

x+y=a,

xy=b

叫作基本對(duì)稱方程組.基本對(duì)稱方程組通常用代入法或韋達(dá)定理求解.

例5解方程組

Jx+y=5,①

|xy=4.②

解方程組中的x,y分別是新方程

m2-5m+4=0

的兩個(gè)解.解關(guān)于m的一元二次方程得皿=1,m：=4,所以原方程組的解是

fx,=1,=4,

這個(gè)方程組亦可用代入法求解(略).

由于一般的二元對(duì)稱式總可以用基本對(duì)稱式x+y和xy表示，因此在解二元對(duì)稱方程組時(shí)，一

定可以用x+y和xy作為新的未知數(shù)，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組.

例6解方程組

x+xy+y=2+3金,

x2+y2=6.

解原方程組可變形為

(x+y)+xy=2+3或，①

(x+y)2-2xy=6.②

①X2+②得

(x+y)2+2(x+y)=10+6-72.

々u=x+y,則

ua+2u-10-672=0,

所以Uj=2+72,u2=-4-y/2,

即

x+y=2+應(yīng)或x+y=-4-

當(dāng)x+y=2+、揚(yáng)時(shí)，代入①得xy=2及.解方程組

x+y=2+應(yīng)，

xy=2VS

可得X]=2,yj=72;x2=^,/2,y2=2.

當(dāng)x+y=d-7^時(shí)，代入①得xy=6+4、物.

而方程組

x+y=-4-V2,

{xy=6+4-72

無(wú)實(shí)數(shù)解.

綜上所述，方程組的解為

Xi=2,x2=、也，

Yi=V2；1/2=2.

例7解方程組

產(chǎn)+產(chǎn).①

7yVx2

x+y=10.②

分析本題是一個(gè)對(duì)稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組的形式.

解由①得

x+y5

-.—=-

炳2③

將②代人③，得巧=4,所以

xy=16.④

由②，④可得基本對(duì)稱方程組

x+y=10,

xy=16.

于是可得方程組的解為

卜1=2,卜2=8

Vi=8;\y2=2.

例8解方程組

x2+2xy-10x=0,①

y2+2xy-lOy=0.②

分析本題屬于二元輪換對(duì)稱方程組類型，通?？梢园褍蓚€(gè)方程相減，因?yàn)檫@樣總能得到一個(gè)

方程x-y=O,從而使方程降次化簡(jiǎn).

解①-②，再因式分解得

(x-y)(x+y-10)=0,

所以x-y-0或x+x-10=0.

解下列兩個(gè)方程組

x-y=0,1x+y-10=0,

x2+2xy-10x=0；|x2+2xy-10x=0,

得原方程組的四組解為

10

x2=百,

Xj=0,x?=0,x4=10,

Yi=0?ioy=10!

3y4

例9解方程組

解法1用換元法.設(shè)

4x+5=A,4y+5=B,

則有

A-5B-5A-B

x=.，y=-,x-y=—?

(1---------j-

-^AV9=6,

<r-1i--------

y/X+-->/5B-9=6,

L乙

即

'石鼠百+2/=12,③

’2、仄+屈二^=12.④

③-④并平方得

5A-9+4B+4JB-A-9)

=4A+5B-9+JA(5B-9),

整理得

A-B=4G/5AB-9A+J5AB-9B),

所以

AB_4(5AB-9B-5AB+9A)

一一島B-9A+—AB-9B'

因止匕A-B=O或

J5AB-9A+V5AB-9B=36.

分別解下列兩個(gè)方程組

'5A-9+2超=12,

.-B=0

與

'J5A-9+2而=12,

'J9AB-9A+J5AB-9B=36,

_(A=9,

L.B=9.

經(jīng)檢驗(yàn)，A=B=9適合方程③，④，由此得原方程組的解是

x=l,

y=l.

解法2①-②得

J5x+4-J4x+5=J5y+4-J4y+5,

即

x-1_y-1

J5x+4+J4x+5J5y+4+J4y+5

所以x-1與y-1同號(hào)或同為零.由方程①得

(J5x+4-3)+(*y+5-3)=0,