本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)物理方法其次次作業(yè)答案第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題

1．研究均勻桿的縱振動(dòng)。已知x?0端是自由的，則該端的邊界條件為_(kāi)_2．研究細(xì)桿的熱傳導(dǎo)，若細(xì)桿的x?0端保持絕熱，則該端的邊界條件為。

。3．彈性桿原長(zhǎng)為l，一端固定，另一端被拉離平衡位置b而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在x軸上，則其邊界條件為ux?0?0,ux?l。?04．一根長(zhǎng)為l的均勻弦，兩端x?0和x?l固定，弦中張力為T(mén)0。在x?h點(diǎn)，以橫向力F0拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其振動(dòng)，該定解問(wèn)題的邊界條件為_(kāi)__f(0)=0,f(l)=0;_____。5、以下方程是波動(dòng)方程的是D。

22Autt?auxx?f；But?auxx?f；22u?auu?aux。txxttC；D

6、泛定方程utt?a2uxx?0要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為B。

A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。7．“一根長(zhǎng)為l兩端固定的弦，用手把它的中

uu點(diǎn)朝橫向撥開(kāi)距離h，（如圖〈1〉所示）然后放0手任其振動(dòng)。〞該物理問(wèn)題的初始條件為(D)。A．ut?ohl/2圖〈1〉xl?2hx,x?[0,]?l2??2hl?(l?x),x?[,l]2?l??uB．???utt?0?h?0t?0C．ut?0?h

?l?2hx,x?[0,]??l2?u??lD．?t?0?2h(l?x),x?[,l]?2?l?u?tt?0?08．“線密度為?，長(zhǎng)為l的均勻弦，兩端固定，開(kāi)始時(shí)靜止，后由于在點(diǎn)x0(0?x0?l)受諧變力F0sin?t的作用而振動(dòng)。〞則該定解問(wèn)題為(B)。

?(x?x0)?2u?au?Fsin?t,(0?x?l)?ttxx0A．???u?x?0?0,ux?l?0,ut?0?0

1

?(x?x0)?2u?au?Fsin?t,(0?x?l)xx0?tt??B．?ux?0?0,ux?l?0

?u?0,utt?0?0?t?0??(x?x0)?2u?au?Fsin?t,(0?x?l)xx0?tt?C．?

?u?t?0?0,utt?0?0?utt?a2uxx?0,(0?x?l)?Fsin?t?(x?x0)?D．?ux?0?0,ux?l?0

????ut?0?0,utt?0?09．線密度為?長(zhǎng)為l的均勻弦，兩端固定，用細(xì)棒敲擊弦的x0處，敲擊力的沖量為I，然后弦作橫振動(dòng)。該定解問(wèn)題為：（B）。

I?2?utt?auxx???A．??ux?0?0,ux?l?0

??u?0,utt?0?0??t?0I?(x?x0)?2u?au?xx?tt??B．??ux?0?0,ux?l?0??u?0,utt?0?0t?0??

?2?utt?auxx?0,(0?x?l)??C．?ux?0?0,ux?l?0?I?u?0,u?tt?0?t?0???2?utt?auxx?0,(0?x?l)?D．??ux?0?0,ux?l?0?I?(x?x0)?u?0,u?tt?0?t?0??10．下面不是定解問(wèn)題適定性條件的(D)。

A．有解C．解是穩(wěn)定的

11、名詞解釋：定解問(wèn)題；邊界條件

答：定解問(wèn)題由數(shù)學(xué)物理方程和定解條件組成，定解條件包括初值條件、邊界條件和連接條件。研究具體的物理系統(tǒng)，還必需考慮研究對(duì)象所處的特定“環(huán)境〞，而周邊花牛的影響常表達(dá)為邊界上的物理狀況，即邊界條件，常見(jiàn)的線性邊界條件，數(shù)學(xué)上分為三類：第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；其次類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值；第三類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量以及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。用（1）第一類邊界條件：直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值，

2

B．解是唯一的D．解是連續(xù)的

表示邊界即

，代表邊界

（2）其次類邊界條件：規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)在邊界眩的數(shù)值，

（3）第三類邊界條件：規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值，

第八章分開(kāi)變數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）法

?ut?a2uxx?0,(0?x?l)?1．用分開(kāi)變數(shù)法求定解問(wèn)題?uxx?0?0,uxx?l?0的解，其中?(x)為x的已知函數(shù)。

?u??(x)?t?0解：令?(x)?bx

設(shè)

?utt?a2uxx?0,(0?x?l)??2．用分開(kāi)變數(shù)法求定解問(wèn)題?uxx?0?0,uxx?l?0的解，其中b為常數(shù)。

???ut?0?bx,utt?0?0

3

解：以分開(kāi)變數(shù)形式的試探解u(x,t)?X(x)T(t)代入泛定方程和邊界條件，得

T?0?XT???aX??2X??T???2???，XaT2?X(0)?0X????X?0；T????aT?0；?X(l)?0??X????X?0?

?X(0)?0,X(l)?0n2?2n?本征值：?n?；本征函數(shù)：(n?1,2,3,?)X(x)?csinxn22lln2?2n2?2a22Tn(t)?0將?n?代入T????aT?0，得Tn??(t)?l2l2n?an?at?Bsintlln?an?an?本征解為：un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(Ancost?Bnsint)sinx(n?1,2,3,?)

lll其通解為T(mén)n(t)?Acos一般解為：u(x,t)??(Ancosn?1?n?an?an?t?Bnsint)sinxlll

l?ut?t?0?0,?Bn?0

n?2bl2bn?x?bx?An?xsinxdx?Ansin?(?1n)?1?ll0ln?n?1

?u(x,t)??2bln?an?(?1)n?1costsinx

lln?1n???ut?a2uxx?sin?t,(0?x?l)?3．求定解問(wèn)題?uxx?0?0,uxx?l?0的解

?u?0?t?0解：令u(x,t)??Tn(t)cosn?0?n?xl

n2?2a2n??(T?T)cosx?sin?t?nn2lln?0?

?T0??sin?t?T0??1?cos?t?A0

4

Tn??n?aTn?0?Tn?Cnel2222?n2?2a2l2t

?0ut?0?0，?Tn(0)?A0?1?,Cn?0

?u(x,t)?1?(1?cos?t)

?ut?a2uxx?0,(0?x?l)?4．求定解問(wèn)題?ux?0?u0,ux?l?u0的解，其中u0為常數(shù)。

?u?t?0?0解：設(shè)u?w(x,t)?v(x,t)

?0?0,x?l?u0

?B(t)?0,A(t)?u0

v?A(t)x?B(t)?v?u0x

?wt?a2wxx?0???wx?0?0,wxx?l?0???wt?0??u0x,1(n?)?x2