向量的概念與運(yùn)算

一、知識網(wǎng)絡(luò)

向量的運(yùn)算

向

向

量

量

的

的

減

數(shù)

法

量

積

續(xù)非

段零

的

向

定

比

垂

分

點(diǎn)直

的

充

要

條

件

二、高考考點(diǎn)

1、對于向量的概念，高考的考點(diǎn)主要是兩向量平行（即共線）

的判定以及兩向量共線的基本定理的運(yùn)用，多以選擇題或填空題的形

式出現(xiàn)。

2、對于向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及其運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容,

對此，高考的考點(diǎn)主要是：

（1）向量的加法、減法的兒何意義與坐標(biāo)表示的應(yīng)用；

（2）向量共線的充要條件的應(yīng)用；（3）向量垂直的充要條件

的應(yīng)用；（4）向量的夾角的計(jì)算與應(yīng)用；

（5）向量的模的計(jì)算，關(guān)于向量的模的等式的變形與轉(zhuǎn)化，關(guān)

于向量的模的不等式的認(rèn)知與轉(zhuǎn)化。

3、線段的定比分點(diǎn)線或平移問題。

4、以向量為載體的三角求值或圖象變換問題，以向量為載體的

函數(shù)或解析兒何問題（多以解答題的形式出現(xiàn)）。

三、知識要點(diǎn)

（一）向量的概念

1、定義（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）向量的模：向量而的大?。撮L度）叫做向量貓的模,

記作I麗I。

特例：長度為o的向量叫做零向量，記作：；長度為1的向量

叫做單位向量.

（3）平行向量（共線向量）：

一般定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也

叫做共線向量.特殊規(guī)定：■與任一向量平行（即共線）.

（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零

向量與零向量相等。認(rèn)知：向量的平移具有“保值性”。

2、向量的坐標(biāo)表示

（1）定義：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同

的兩個單位向量；、J作為基底，任作一個向量*，則由平面向量基

本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x,y使得三端+?,將有序?qū)崝?shù)對（x,y）

叫做向量工的坐標(biāo)，記作；-內(nèi)；并將；力叫做向量w

的坐標(biāo)表示。

（2）認(rèn)知：相等的向量，其坐標(biāo)也相同，反之成立。

（二）向量的運(yùn)算

1、向量的加法2、向量的減法

3、實(shí)數(shù)與向量的積

（1）定義（2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

（3）平面向量的基本定理：

如果漆工是同一面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)

的任一向量？，有且只有一對實(shí)數(shù)：”：2使；="鼻+為之，這兩個

不共線的向量親己叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

（4）向量共線的充要條件：

（i）向量F與非零向量嚷共線=有且只有一個實(shí)數(shù)：使已武

（ii）設(shè)；=（：43|）5=（町yJ威?烏貝I」：:"4*而"叼，一叼】=0

4、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）

（1）定義：（i）向量的夾角：已知兩個非零向量工和！，

作京=1國=匕0ZAOB=earM6Mian叫做向量￡與口的夾角。

（ii）設(shè)兩個非零向量*和？的夾角為三，則把數(shù)量麗b?叫

做;與？的數(shù)量積（內(nèi)積），記作;<，即；$=口』&并且規(guī)

定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

f-r

（2）推論設(shè)M、七都是非零向量，則（i）MM

,■,,??

（H）a±b4=>a-b=O;（iii）a-a^aT=a

⑶坐標(biāo)表示⑴設(shè)非零向量；=6?%）工=&"。，則

a-b=K1Kl+作%,；J_SoK*：+yiya=0

（ii）設(shè)；=&辦陶=質(zhì)產(chǎn),（4）運(yùn)算律（自己總結(jié)，認(rèn)知）

四、經(jīng)典例題

例1.判斷下列命題是否正確：

（1）若;“訊有的方向相同或相反；（2）若的3財力底

（3）若荏〃匝.則?函，則A、B、C、D四點(diǎn)組成的圖形為梯

形；

分析：

（1）不正確?.?；=。或，=網(wǎng).縣有病.但有不能比較方向。

（2）不正確當(dāng)時，雖然對任意Mt都有

af/b,tf/G包與2不一定平行。

（3）不正確'國帶廳“楂無共線"，故這里的已知條

件也包含A、B、C、D四點(diǎn)共線的情形。

點(diǎn)評：判斷或證明向量的共線或垂直問題，務(wù)必要注意有關(guān)向量

為零向量的情形，判斷失誤或解題出現(xiàn)疏露，多是零向量惹的禍。

例2.設(shè)點(diǎn)。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)

(1)若玄+畫+反=6,則。為AABC的()

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

(2)若黃質(zhì)=麗祝=硬僅，貝IJ二為AAB(^()

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

畫=派+M空+空共1之Q)

(3)若動點(diǎn)P滿足IABIIAQ，則點(diǎn)P的軌跡一

定通過)

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

⑷若動點(diǎn)P滿足|AB|C8BlAQcofC,則點(diǎn)P

軌跡一定通過△ABC的()

A、外心B、內(nèi)心C垂心

D、重心

分析:

(1)借助向量加法分析已知條件:

以國、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC,并設(shè)0DCBC=E,則由平

行四邊形性質(zhì)知，E為BC和0D中點(diǎn)。

-.-^=OB+OC①且麗+曲=我②

由①、②得赤

.?.A、O、E、D、四點(diǎn)共線③且網(wǎng)=函—痛=麗④

于是由③、④知。為△ABC的重心，應(yīng)選D

(2)由OAOC<fr>^-(OA-OQ=0

?^0BCA=04=>OB±AC

同理可得OAJLBC,OC_LAB于是可知，0為AABC的垂心，應(yīng)

選C

_,*uADAB-

OP-QA=M^+牝)—=立-

(3)由已知得|AB||Aq①令|AB|,則勺是

豆一_一

AB上的單位向量，令而一’，則及是后上的單位向量。.?.由

①得：AP=M^+?)②

令氏V+三，則點(diǎn)Q在角A的平分線上③又由②知的

或與前共線且同向(或屈=6)

動點(diǎn)P在角A的平分線上.,.點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)

心，應(yīng)選B。

AB

(4)注意到|AB|8*B的幾何意義,

+端威前

AB-BC+AC-BC回1JB)+國8.C

-

|AB|cosB|AC|cosCcc?Bco?C=0

AB|AC|coiC^；.AP.BC=Q

又由已知的得:

AP±BC

動點(diǎn)P在BC邊的高線上動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的

垂心，應(yīng)選c。

點(diǎn)評：品味各小題，從中參悟解題思路以及三角形的各心的向量

特征。

例3：

（1）h-bH^I+IM（b*q）成立的充分必要條件為（）

A、a=Ab（i>0）B、；=龍。<6C、；=-疝（46D、

（2）已知A、B、C三點(diǎn)共線，0為該直線外一點(diǎn)，設(shè)

OA=；,OB=b.OC=^且存在實(shí)數(shù)m使,則點(diǎn)A分前所

成的比為（）一

11

A、-3B、2C>3

D、-2

分析：（1）注意到不等式1；-3目；|包山，當(dāng)且僅當(dāng)M、F反

向或：、?中至少有一個為丁時等號成立，

.?.由得虱F反向或；=6由此否定A、B、C,本

題應(yīng)選D

（2）注意到條件的復(fù)雜以及已知式變形方向-

的迷茫，故考慮從“目標(biāo)”分析切入，主動去溝通“已知”，一

設(shè)Bl=JLAC則試一由=乂氏-由（刻意變形，靠攏已知）

.；，=疝-&二3cl+酒一/（目標(biāo)的延伸）①

又由已知得:-ma4-3b（已知的變形或延伸）②

2_,3

.??根據(jù)兩向量相等的條件由①、②得：I二于是可

一1=-1

知，點(diǎn)A分BC所成的比3,應(yīng)選A

點(diǎn)評：

(i)(1)對任意向量;、i都有||；卜后日；-芯國；1+內(nèi)，其

中，當(dāng)且僅當(dāng)同向或；；中至少有一個為：時左邊的等號成立；

當(dāng)且僅當(dāng)；'反向或；8中至少有一個為百時右邊的等號成立；當(dāng)且

僅當(dāng)；g中至少有一個為：時，左右兩等號同時成立。

(ii)對于(2),“已知”與“目標(biāo)”相互靠擾，只是切入點(diǎn)

是從“已知”切入還是從“目標(biāo)”切入，需要仔細(xì)分析。

例4：設(shè)；、J分別是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸、y軸正方向上的

兩個單位向量，在同一條直線上有A、B、C三點(diǎn)，

OA=-a+mj,(?=ni+XOC=5-j,￡OA.±QB,求實(shí)數(shù)m、n的值。

解：由題設(shè)知=(-2.m),OT=(a,D,OC=(5,-0

二AB=(Q+2.1-m).AjC=(7,-1-m)

V融與硬共線

二7(1-m)=(Q+2)(-1-m)4^7(m-0=(n+SXm+D①

乂5X_L,O-2n+m.=0?>in=為②

②代入①得：

7(2n-l)=(n+2)(2n+l)=(n-3)(2n-3)=0

On=—或n=3

2

3

當(dāng)"2時代入②得：m=3當(dāng)n=3時代入②得：m=6

3

m=6,n=3或m=3,2

點(diǎn)評：不失時機(jī)地利用向量的坐標(biāo)表示，是解題的基本技巧。

例5.設(shè)京麗為反■?■通園或試求滿足：

麗冰諭向犍標(biāo)(這里0為原點(diǎn))

分析：注意到話的坐標(biāo)即點(diǎn)D的坐標(biāo)，可從設(shè)麗=■，)坐標(biāo),

由(x,y)切入，去建立關(guān)于x,y的方程組。

解：設(shè)3=區(qū)力，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y)則由已知條件

OD+6A=OC得：

CC=^+3j+D

二BC=OC-OT=(i+4j-D

由(r+3)+2(y+D=0=x-2y+l=0①

由§5成得：x+4=3(yT)=x-3y+7=0②

z=ll__

t“6二所詢=(IL6)

點(diǎn)評：本題是對向量坐標(biāo)的概念，向量的垂直與向量的平行的充

要條件的綜合應(yīng)用，借此練習(xí)，可進(jìn)一步認(rèn)識與把握關(guān)于向量的概念

與公式。

例6.設(shè)向量；或之滿足;十U6

(1)若*=3南=5點(diǎn)=7,求g與=的夾角；_

(2)若盲=3扇=1國=4.求J的值。

——?

8*6—.b_■?b

解：(i)設(shè):與F的夾角為三，則=南=石①

■■■■

va4-b+-c=0

;+，=超迫患

二野播"齒"孑二由迎夠.，吟②

CQ80=A

于是由②代入①得：2注意到手G[0,霜],可得結(jié)

e=-

果3

(2)解法(著眼于對；B等各個擊破)一方面由已知得：

又?：；+，=；-h+A=M(4)由③、④得f+M=K+W

⑤

注意到1；+耳＜刖@,當(dāng)且僅當(dāng)！，F(xiàn)同向或；，H中至少

有一個為：時等號成立

,由⑤得l與F同向另一方面，又由；+%：知，*與E反

向

鼠與三的夾角為0°,彳與？的夾角為180。，與M的夾角

為180°

原式=|；問皿叫|，向《?180%|；|；愴8130?

=3X1-1X4-3X4=-13

解法二(著眼于尋求目標(biāo)與已知的整體聯(lián)系)：

■.?(a+b+^Haf+lbf+lcf+^a-b+bc+cS)

由已知條件得0=9+1+16+2^-b+b.c+ca)

二a-b+b-c+c-a=-13

解法三(從尋求目標(biāo)局部的值切入)：

1百式■:1E+，5*d?+ca+E；+；5]

Xa-b4-b-c=b-(a4-i^=b-(-b)=-|bf=-1

同理，；+；；=荷=-16

?.；+；.，=討=-9二原4=-*u6-方=13

點(diǎn)評：解法二與解法三，均著眼于整體代入，解題過程簡明，比

解法一有明顯優(yōu)勢。但是，解法一中對已知數(shù)值的利用，卻對今后的

條件求值有著不可替代的潛在作用，條件求值中對已知數(shù)據(jù)的應(yīng)用主

要有以下三個方面：

(1)利用數(shù)值本身(代入)；

(2)分別利用數(shù)值的絕對值和符號；

(3)利用有關(guān)數(shù)值的關(guān)系溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系(比如，由3+1=4,

32+42=52溝通聯(lián)系等)。

例7.已知，=尷+后=(%瓦2)凌&強(qiáng)的夾角為120°,且

=，試求叫n及嚷與手的夾角。

解法一：(利用內(nèi)積的定義)，設(shè)工與二的夾角為三，

由3=("碉W=4再由-VngjfiHcodzcrMqfcffiifihZ

二由2=(ma+al^.c—ma?c+iiB?c二W0口=4①

二又由，?c=(ma+i>e?，=m(a?b)+D|SiP精|m(a-b)=12②

再由：a-c=(m.a-l-iil0-a4^a-c=m|ar+n(a-b)<=>&n-l-n(a-b)=0

由①，②得m="③

■—??coiG=耳■=土—

將③代入②得：a-b=12#W2④

于是由①，③，④得所求血=土#,n=-4,須的夾角為30?；?/p>

150°

點(diǎn)評1：本題已知條件繁多，頭緒紛亂，更需要在解題時梳理思

緒。注意到所求m、n含在，=m；+nS中，故在求出H、M的值之后,

以曰=m；+n，的變形為主線展開求索：

變形1c=ma-Fab^c-c=m（a-^4-n（b-c）=-

變形2,c=mi+nbo，?c=+口聲=--

變形3.c=ma+nb<=>a-c=m^jp+n（a-b）-

于是，整個解題過程既顯得有條不紊，又感覺酣暢淋漓。

解法二（利用向量的坐標(biāo)）：設(shè)；=&加=&融，:與手的

夾角為:，

由已知得向=2二由=+'=0①

由日；=428+2%=4②

22

又x『+y：=8③x2+y2=4④

勺=點(diǎn)|xj=

*<_

由①，③解得尻*或1為=-后.

卜1=0卜=色

由②，④解得1%=-2或1力=1

；=（或而或；=（混響，=（0.戊）或，=（小》

將上述M?坐標(biāo)分四次代入％=s；+e=（一心鳳2）

便解得n=-4,,三=30°或150°

點(diǎn)評2：本解法致力于求M與七的坐標(biāo)，雖然解題過程仍然曲折,

但思路明朗，更多兒分勝算。

例8.設(shè)；

源的夾角為3,鳥?I劣64

分析：此題為以向量為載體的三角求值問題，因此，從化簡支，

上的坐標(biāo)切入，向三角函數(shù)中常見的關(guān)系式轉(zhuǎn)化。

〃a=(2cos3—fsincQ=2OM—(coi—fsin

解：,2產(chǎn)中2V2-2,

*.*ae(0,^pe(?>2^①

二l；H2陽+2。嗎②|訃|2嶗H釁

4￡③

注意到這里;；,；=1，|由8f鳥，且乳0140H

a-coa

C9S0|=-^r=---------=-=cm-

,2若之④

由②、③得到

于是由①、④得由①、⑤得

a-p_x

解得丁=與⑥

.a-B.,1?、1

UQ-=finr-1=—

因此由⑥得4"6)2

點(diǎn)評：在這里，利用實(shí)數(shù)與向量的乘法的法則，將，表為

2cos^（CM今疝猊，

炳ftgn/W）,從而為簡化R及H的表達(dá)式以及簡化

8c%，一的表達(dá)式奠定良好的基礎(chǔ)。

五、高考填題

（-）選擇題、

1、P是AABC所在平面上一點(diǎn)，且試?而=畝?記=記?京，則P

是AABC的（）

A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂

心

分析：

由甌屈=麗麗題匹麗=0

二函京=0.二CAiraJNCAXPB

同理，AB±PC,BC±PA點(diǎn)P為AABC的垂心，應(yīng)選D

2、已知向量臣,干，且君=；+以.忌=-4+6?.方=7；-以，貝|J一

定共線的三點(diǎn)是（）

A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、D

D.A、C、D

分析：利用兩向量共線的充要條件來判定，從尋找所給向量

的聯(lián)系切入

由題意得BC+^=2；+4b=2AB..BD=2AB

A、B、D三點(diǎn)共線，應(yīng)選A

3、已知點(diǎn)A(疝，1),B(0,0),C(石，0),設(shè)NBAC的

平分線AE與BC相交于E,那么有前=建，其中？等于()

2

A、2B、彳C、-3D、

1

-3

分析：從認(rèn)知目標(biāo)切入，由題設(shè)易知前與3反向，故，＜0

①

又由三角形內(nèi)角平分線定理得

眄=幽=2.Pq_|BEMEq_1||BE|_?

叫|Aq*|CE|pqpq即W=3②

于是由①、②得三-3,應(yīng)選C

4、若即

Ri,2：=；+GH2K,則向量M與F的夾角為

()

A、30°B、60°C、120°D、150°

■■

FfCO?0=-5-^-

分析：令向量五與七的夾角為三，則IHM①

又由；K.

得a-c=O?a-(a+b)=OT?p二$=0二；$=-1②

C48e=--

于是將已知與②代入①得2所得6=120?，應(yīng)選

c

5、在△ABC中，”=弼，AB=(k.D,肥=03，則k的值是

()O

A、5B、-5C、二D、一三

分析：循著一般思路，欲求k的值，先尋找關(guān)于k的方程，可

以通過解方程獲取k的值，為此我們利用題設(shè)條件尋找等量關(guān)系切

入：

由題設(shè)知公1■正二初的=%AC-(AC-?=0,由此得⑵

3)?(2-k,2)=0=2(2-k)+6=0

解得k=5,故應(yīng)選Ao

6、設(shè)向量等于()。

A、(1,1)B、(-4,-4)C、-4D、

(-2,-2)

分析：循著向量的坐標(biāo)表示與有關(guān)公式得：

ab=(-l)x2+2x(-l)=4,?+b=(l.l)

...原式=-4(1,1)=(-4,-4)，應(yīng)選B

7、已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D為線段BC的中

點(diǎn)，則向量而與云的夾角為()

n4

—arccM—B.arcMS-

A、25

分析1：(特征分析法)：畫出AABC及其中線AD,又將向量

OA平移到短，則可見萩與而成鈍角，而選項(xiàng)中A、B為銳角，D

為負(fù)角，故只能選C。

分析2：(直接法)：由題設(shè)D(5,2)

一一二皿〈而灰

二DA=(24XAC=(l為|AQDA|力百5

所求兩向量夾角應(yīng)為11tt"?)，應(yīng)選C

8、已知向量說句，滿足對任意t￡R」；,之匕白，則()

——■■■■■■■■

A、a±cB?a±(a-iQC?eX(a-e)D>(a-l-e)±(a-<)

分析：從已知不等式的等價變形切入，去認(rèn)識所含向量M,3

的關(guān)系

由已知得G■鬲整理得^-2(aeX+C2ae-D^O

①

注意到①對任意&都成立。

二4=4(a-?)1-4(2a-e-D<0

即(a?e—y<0二a?匕-1=OSfla-e=1(g)

根據(jù)②式檢驗(yàn)選項(xiàng)，故選c

點(diǎn)評：關(guān)于向量的模的不等式，變形轉(zhuǎn)化的基本手段是不等式兩

邊平方，這是本題切入、轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

(二)填空題

1、已知向量；=a可.=(K自由依囑*=___

分析：注意到兩向量平行的充要條件，；加=均七-*6=0由

已知條件得2X6-3x=0,由此解得x=4

2、已知向量方=(M凱麗=&4氏=(TJ6，且A、B、C三點(diǎn)

共線，貝Uk=o

分析：由A、B、C三點(diǎn)共線切入，向著向量的共線轉(zhuǎn)化

,:A、B、C三點(diǎn)共線

,向量嵌、BC共線_

乂證=而-麗BC=OC-dB=(-k-4,5)

,由就、麗共線的充要條件得7(-k-4)=5(k-4),

k=_2

解為3

3、已知Fl=2,H=4,i與？的夾角為了，以*,?為鄰邊

作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度

為O

分析：

根據(jù)向量加法與向量減法的兒何意義又知，F(xiàn)+可、F-4分別表

示上述平行四邊形中兩條對角線的長度。

注意到嚷與千的夾角為銳角，故此平行四邊形的兩條對角線中

較短一條的長度為口一4①

又F國=4+16-2X2X4COS3-=12

...FT=2&②

于是由①、②知所求為地.

4、已知向量=(-2,2),甘=(5,k),若F+N不超過5,則k的

取值范圍為.

分析：由已知得；+*=處+為若F+日W5,則9+(k+2)

?W25.?.由此解得-6WkW2,故應(yīng)填[-6,2]

5、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足網(wǎng)=?,同=4,網(wǎng)=5,一

則?肥+史京+^.福的值等于。

分析：從認(rèn)知△ABC切入，由32+42=52知。=力，

ABBC=0

.,.原式=就氐+試冠=CA(AB+B^=CA-AC=~i°*r=-25

6、AABC的外接圓圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m(Q4

+03+歷)，則實(shí)數(shù)皿二o

分析：由題設(shè)知，0為△ABC的外心，即0是△ABC的三邊

中垂線的交點(diǎn)，因此，以豆與歷為鄰邊作平行四邊形0ADC,則0ADC

為菱形，且5+OC=麗

.?.而10?=而J_@+OC)

.?.3+CC+?的終點(diǎn)必在AC邊的高線上①同理，c￡

+■+氏的終點(diǎn)在AB邊的高線上②

由①、②得CA+CB+反的終點(diǎn)為AABC的垂心H....

OH=OA4-OT4-OC.*.m=l

點(diǎn)評：從0為△ABC的外心切入，認(rèn)知向量過+)+3,此乃

求解本題的關(guān)鍵。

三、解答題

1、已知向量*=(cos、sinF)和Y=(&-sin三,cos^),

L-Hg**

呢5處,且卜M二T，求cos(2+8)的值。

分析：這是以向量為載體的三角求值問題，故首先要利用向量的

有關(guān)概念與公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化一化生為熟，進(jìn)入三角函數(shù)求值的“似曾相

識燕歸來”的境界。

解：由已知得時+；=(8?6-疝||。+四.8?。+，-6

二|m+■>卜-^cofO—?aS4-^)a4-(cos94-an6)?

山+混―。-熱舟=2Jt+coXO+》

由題設(shè)向+加增2嚀哮

①

cos(e