第四章維度4.1半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)4.2二維體系中的相變4.3準(zhǔn)一維體系的Peierls

不穩(wěn)定性和電荷密度波高等固體物理44.1半導(dǎo)體低維電子系統(tǒng)1.維度三維自由電子氣體，沿z方向?qū)w系的尺寸限制：

zWn=1kn=2電子只占據(jù)n=1的子帶，二維體系n>1也占據(jù)，準(zhǔn)二維體系高等固體物理42.Si反型層及GaAs-AlGaAs異質(zhì)結(jié)高等固體物理4高等固體物理4金屬SiO2耗盡層反型層導(dǎo)帶價帶價帶導(dǎo)帶z高等固體物理4Splitgatesandone-dimensionalelectrongasesThis"split-gatetechnique"waspioneeredbytheSemiconductorPhysicsGroupattheCavendishLaboratoryoftheUniversityofCambridge,inEngland,in1986,byTrevorThorntonandProfessorMichaelPepper.高等固體物理43.量子化霍爾效應(yīng)（QuantumHallEffects(QHE))(1)霍爾效應(yīng)基礎(chǔ)E.Hall,Am.J.Math.2,287(1879)

=>HalleffectI+-V’VcurrentsourceresistivityHallvoltageBxyzd高等固體物理4根據(jù)德魯特電導(dǎo)理論,金屬中的電子在被雜質(zhì)散射前的一段時間t內(nèi)在電場下加速,散射后速度為零.t稱為弛豫時間.電子的平均遷移速度為:電流密度為:若存在外加靜磁場,則電導(dǎo)率和電阻率都變?yōu)閺埩看颂幦猿闪⒂写艌鰰r,加入羅侖茲力,電子遷移速度為高等固體物理4穩(wěn)態(tài)時,,假定磁場沿z方向,在xy平面內(nèi)易得如果,則當(dāng)為0時也為0.

高等固體物理4另一方面由此,當(dāng)時,,為霍爾電導(dǎo)在量子力學(xué)下（E沿x方向）選擇矢量勢波函數(shù)為經(jīng)典回旋半徑高等固體物理4解為：Landau能級

Intwo-dimensionalsystems,theLandauenergylevelsarecompletelyseperatewhileinthree-dimensionalsystemsthespectrumiscontinuousduetothefreemovementofelectronsinthedirectionofthemagneticfield.

高等固體物理4計算平均速度與經(jīng)典結(jié)果相同.在Landau能級上,縱向電流為0.(2)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)1975年S.Kawaji等首次測量了反型層的霍爾電導(dǎo),1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert發(fā)現(xiàn)霍爾平臺,但直到1980年,才注意到霍爾平臺的量子化單位,高等固體物理4K.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper,Phys.Rev.Lett.45,495(1980)

forasufficientlypureinterface(Si-MOSFET)=>integerquantumHalleffect

TheNobelPrizeinPhysics1985forthediscoveryofthequantizedHalleffect.

K.vonKlitzing（1943~）高等固體物理4高等固體物理4實驗設(shè)置示意圖

實驗觀測到的霍爾電阻1,霍爾電阻有臺階,2,臺階高度為,i為整數(shù),對應(yīng)于占滿第i個Landau能級,精度大約為5ppm.3,臺階處縱向電阻為零.高等固體物理4高等固體物理4高等固體物理4Whentheselevelsarewellresolved,ifavoltageisappliedbetweentheendsofasample,thevoltagedropbetweenvoltageprobesalongtheedgeofasamplecangotozeroinparticularrangesofB,andtheHallresistancebecomesextremelyaccuratelyquantised高等固體物理4由于雜質(zhì)的作用,Landau能級的態(tài)密度將展寬(如下圖).兩種狀態(tài):擴展態(tài)和局域態(tài)只有擴展態(tài)可以傳導(dǎo)霍爾電流(0度下),因此若擴展態(tài)的占據(jù)數(shù)不變,則霍爾電流不變.當(dāng)Fermi能級位于能隙中時,出現(xiàn)霍爾平臺.Laughlin(1981)和Halperin(1982)基于規(guī)范變換證明：高等固體物理4應(yīng)用：(a)電阻標(biāo)準(zhǔn)高等固體物理4應(yīng)用：(b)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的測量高等固體物理4(3)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)1982年,崔琦,H.L.Stomer等發(fā)現(xiàn)具有分?jǐn)?shù)量子數(shù)的霍爾平臺,一年后,R.B.Laughlin寫下了一個波函數(shù),對分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)給出了很好的解釋.D.C.Tsui,H.L.Stormer,andA.G.Gossard,Phys.Rev.Lett.48,1559(1982)

foranextremelypureinterface(GaAs/AlGaAsheterojunction)whereelectronscouldmoveballistically=>fractionalquantumHalleffectR.B.Laughlin,Phys.Rev.Lett.50,No.18(1983)TheNobelPrizeinPhysics1998RobertB.Laughlin(1950)DANIELC.TSUI(1939)HorstL.Stormer(1949)fortheirdiscoveryofanewformofquantumfluidwithfractionallychargedexcitations.高等固體物理4分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng):崔琦,Stomer等發(fā)現(xiàn),當(dāng)Landau能級的占據(jù)數(shù)有霍爾平臺高等固體物理4高等固體物理4分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不可能在單粒子圖象下解釋,引入相互作用在超強磁場下,電子位于第一Landau能級.其單粒子波函數(shù)為這一狀態(tài)對應(yīng)于電子在一由下式給出的面積內(nèi)運動Laughlin建議了如下形式的波函數(shù)這一狀態(tài)的占據(jù)數(shù)為高等固體物理4Laughlin計算了m=3,m=5時這一波函數(shù)的能量,發(fā)現(xiàn)比對應(yīng)密度下CDW的能量要低.這一狀態(tài)稱為分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài),或Laughlin態(tài),當(dāng)密度改變從而偏離占據(jù)數(shù)1/3,1/5時,對應(yīng)于準(zhǔn)粒子激發(fā),激發(fā)譜具有能隙,準(zhǔn)粒子的電荷為分?jǐn)?shù)(1/3,1/5).因此Laughlin態(tài)是一個不可壓縮的量子液體狀態(tài).

FQHE態(tài).綠球代表被暫時凍結(jié)的電子,藍(lán)色為代表性電子的電荷密度,黑色箭頭代表磁通線.高等固體物理4同IQHE一樣,Fermi能級處于能隙位置時,出現(xiàn)FQHE平臺.不同之處在于IHQE的能隙來源于單粒子態(tài)在強磁場中的量子化,而FQHE的能隙來源于多體關(guān)聯(lián)效應(yīng).

Haldane和Halperin,利用級聯(lián)模型,指出Laughlin態(tài)的準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴激發(fā)將凝聚為高階分?jǐn)?shù)態(tài),如從1/3態(tài)出發(fā),加入準(zhǔn)粒子導(dǎo)致2/5態(tài),加入空穴導(dǎo)致2/7態(tài).準(zhǔn)粒子由這些態(tài)激發(fā)出來并凝聚為下一級的態(tài)

.P為偶數(shù),對應(yīng)于粒子型元激發(fā)對應(yīng)于空穴型元激發(fā)高等固體物理4級聯(lián)模型的特點:

1.無法解釋那一個子態(tài)是較強的態(tài).2.幾次級聯(lián)后,準(zhǔn)粒子的數(shù)目將超過電子的數(shù)目.3.系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)占據(jù)數(shù)之間沒有定義.4.準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷.復(fù)合費米子模型(CF)

一個復(fù)合費米子由一個電子和偶數(shù)個磁通線構(gòu)成.復(fù)合費米子包含了所有的多體相互作用.FQHE是CF在一個有效磁場下的IQHE.

CF具有整數(shù)電荷.

CF模型可以給出所有觀察到的分?jǐn)?shù)態(tài),包括這些態(tài)的相對強度及當(dāng)減小溫度,提高樣品質(zhì)量時出現(xiàn)的次序.CF指出:v=1/2態(tài),對應(yīng)的有效磁場為0,是具有金屬特征的特殊狀態(tài).高等固體物理4高等固體物理4高等固體物理4高等固體物理4高等固體物理4高等固體物理4新進展觀察到分?jǐn)?shù)電荷漲落.FQHE的GinsburgLandau理論.費米,玻色和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計.邊緣態(tài)和共形場論.…利用一維結(jié)觀察分?jǐn)?shù)電荷C.L.KaneandM.P.A.Fisher,ShotintheArmforFractionalCharge,Nature389,119(1997).高等固體物理4TheQuantumHalleffect(QHE)isoneexampleofaquantumphenomenonthatoccursonatrulymacroscopicscale.ThesignatureofQHEisthequantizationplateausintheHallresistance(Rxy)andvanishingmagnetoresistance(Rxx)inamagneticfield.TheQHE,exclusivetotwo-dimensionalmetals,hasledtotheestablishmentofanewmetrologicalstandard,theresistancequantum,,thatcontainsonlyfundamentalconstant.Aswithmanyotherquantumphenomena,theobservationoftheQHEusuallyrequireslowtemperatures(previouslyreportedhighesttemperaturewas30K).Ingraphene,asingleatomiclayerofgraphite,however,wehaveobservedawell-definedQHEatroomtemperatureowingtotheunusualelectronicbandstructureandtherelativisticnatureofthechargecarriersofgraphene.Room-TemperatureQuantumHallEffectinGraphenePI:PhilipKim,DepartmentofPhysics,ColumbiaUniverstySupportedbyNSF(No.DMR-03-52738andNo.CHE-0117752),NYSTARDOE(No.DE-AIO2-04ER46133andNo.DE-FG02-05ER46215),andKeckFoundationNHMFLT=300KB=45TNovoselov,K.S.;Jiang,Z.;Zhang,Y.;Morozov,S.V.;Stormer,H.L.;Zeitler,U.;Maan,J.C.;Boebinger,G.S.;Kim,P.andGeim,A.K.,

Science,315(5817),1379(2007).Figure:Magnetoresistance(Rxx)andHallresistance(Rxy)ofgrapheneasafunctionofthebackgatevoltage(Vg)inamagneticfieldofB=45Tatroomtemperature.高等固體物理44.2二維體系中的相變連續(xù)相變的描述：序參量非零零維度對相變、臨界行為有重要影響一維體系，T>0時，體系總是無序，不存在長程序，無相變二維體系？相變?nèi)Q于序參量的自由度數(shù)N=1,有相變，如二維Ising模型N=3,無相變，如二維Heisenberg模型N=2:序參量為零，但可有準(zhǔn)長程序，

Kosterlitz-Thouless(K-T)相變相變概念的拓寬高等固體物理4序參量自由度n=2的二維系統(tǒng)：

自旋X-Y模型，二維超流體、二維超導(dǎo)體及二維晶體等低溫下，自旋的關(guān)聯(lián)隨距離作代數(shù)式的衰減。對有限尺寸的樣品，二維X-Y模型的低溫相就呈現(xiàn)出表觀的長程序（準(zhǔn)長程序），到高溫，則為沒有長程序的無序相所取代，期間有無相變？1970年：Brezinskii提出渦旋對松解所對應(yīng)的連續(xù)相變思想

(Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970))1973年：Kosterlitz和Thouless討論二維超流相變，獨立提出類似想法并發(fā)展為較完整理論（J.Phys.C,6,1181(1973))基本思想：拓?fù)淙毕?如渦旋（Vortex))介入的相變高等固體物理4拓?fù)浼ぐl(fā)：二維點陣格點：格點i上的自旋與X軸夾角為通過任意一些格點，劃一閉合回路L，沿此回路逆時針方向繞行一周，相鄰兩格點的方向角之差：拓?fù)浼ぐl(fā)和非拓?fù)浼ぐl(fā)可分開來討論高等固體物理4自旋渦旋正渦旋負(fù)渦旋高等固體物理4拓?fù)湫栽ぐl(fā)之間的相互作用二維靜電場二維點電荷：高等固體物理4K-T相變正渦旋負(fù)渦旋渦旋對低溫下，正負(fù)渦旋構(gòu)成束縛對，對長程的自旋排列影響不大，系統(tǒng)具有拓?fù)溟L程序。高于某臨界溫度，系統(tǒng)中產(chǎn)生大量的單個渦旋，導(dǎo)致拓?fù)溟L程序被破壞。高等固體物理4高等固體物理4考慮低溫下存在具有有限能量的束縛渦旋對（可由熱激發(fā)，不破壞長程的自旋序)渦旋對類似于屏蔽正負(fù)電荷相互作用的電介質(zhì)的作用K-T理論是對屏蔽效應(yīng)的重正化群的處理。自由能的第n級微商在相變點出現(xiàn)突變就稱為第n級相變K-T相變是無窮級高等固體物理4TwodimensionalheliumSinceheliumisattractedtoalmostanything*,itwillforma2Dfilm.Mostlong-rangeorderisforbiddenin2D(Mermin-Wagnertheorem),e.g.BECnotallowedforT>0becausethesystemissusceptibletolong-rangephasedecoherence.However,itdoesbecomeasuperfluid.ThetransitioniscalledtheKosterlitz-Thoulesstransition.Superfluid-normalfluidtransitioniscausedbyvortex-anti-vortexunbinding.KTpredictsalgebraicdecayofsingleparticledensitymatrix*exceptforCs高等固體物理42dheliumenergeticsIncontrastto3Dtheenergyisasmoothfunctionoftemperature.BumpinCvabovethetransition.Nofeatureatthetransition(onlyanessentialsingularity)高等固體物理44.