歐拉積分及其簡單應(yīng)用引言：我們知道無窮級(jí)數(shù)是構(gòu)造新函數(shù)的一種重要工具，利用它我們可以構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)，還可以構(gòu)造出能填滿正方形的連續(xù)曲線（參見常庚哲、史濟(jì)懷著《數(shù)學(xué)分析教程》第三冊(cè)第17章§17.8）含參量積分是構(gòu)造新函數(shù)的另一重要工具，歐拉積分就是在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數(shù)。它雖身為含參量積分的一種特例，被教科書編用于加深對(duì)含參量積分所表示的函數(shù)的分析方法的理解。但本身也是許多積分的抽象概括，能為相關(guān)積分的計(jì)算帶來方便。伽馬（Gammas1x（1）0貝塔Beta）函數(shù)：B(p，q)=1p1q1dx，p>0,q>0-------------（）（x(1x)20下面我們分別討論這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)：BEuler1、定義域：111xp1(1x)q1dx=2xp1(1B(p，q)=x)q1dx+1xp1(1x)q1dx=I1+I2002對(duì)1I1=2xp1(1x)q1dx0111當(dāng)x→0時(shí).I1=2xp12dx其收斂須p>00dx=0x1p1對(duì)I2=1xp1(1x)q1dx2.當(dāng)x→1時(shí)，1x)q1dx,令.1-x=tI2=1(12=1q1dx=112t2t1qdx其收斂須.q>0.00B(p，q)定義域?yàn)閜>0,q>0.2、連續(xù)性因?yàn)閷?duì) p。>0，q。>0有xp1(1 x)q1≤xp01(1 x)q01p≥p。,q≥q。而—11(1x)q01dx收斂，故由魏爾斯特拉斯M判別法知B(p，q)在p。≤p<+∞,q。xp00q<+∞，上一致收斂，因而推得B(p，q)在p>0,q>0內(nèi)連續(xù)。3、對(duì)稱性B(p，q)=B(p，q)作變換x=1-y,得B(p，q)=11(1x)q1y)p1yq1dy=B(q，p)xp1dx=(1004、遞推公式B(p，q)=q1B(p，q-1)(p>0,q>1)(1)pq1B(p，q)=ppq1B(p-1，q)(p>1,q>0)..(2)1B(p，q)=(p1)(q1)B(p-1，q-1)(p>1,q>1)(3)(pq1)(pq2)B(p，q)=B(p+1，q)+B(p，q+1)(p>-1,q>-1).(4)下面只證明(1)；(2)可由對(duì)稱性及公式(1)推出；(3)、(4)可由公式(1).、(2.推得；當(dāng)P>0,q>1時(shí)，有B(p，q)=1xp1(1x)q1dx=11x)q1dxpp(100=xp(1x)q1|10+q11xp(1x)q2dxpp0=q11p1xp1(1x)](1x)q2dxp[x0=q11p1(1x)q2q11p1(1x)q1dxpxdx-x0p0=q1B(p，q-1)-q1B(p，q)pp移項(xiàng)并整理得(1)5、B(p，q)的其他形式a,令x=cos2t則B(p，q)=202sin2q1tcos2p1tdt特別的當(dāng)p=q=1,B(p，q)=B(1，1)=222歡迎下載 2—b.令x=1t當(dāng)x:0→1有t:+∞→01tq1tp11tp1pqdt+tp1B(p，q)=(1t)pqdt=(1t)pqdt=t)(1t)pqdt000(11考察(1tq1dt,令t=1,0t)pqy則有tp1dt1(1t)pq0tq11tq1pqdt.=-(1t)pqdt=0(1t)1∴B(p，q)=1tp1tq10(1t)pqdtΓEuler1、定義域xs1exdx=1xs1exdx=I1+Γ(s)=xs1exdx+1I200其中I1=1xdx,當(dāng)s≥1時(shí)是正常積分；xs1e0當(dāng)0<s<1時(shí)是收斂的無界函數(shù)反常積分（可用柯西判別法推得）I2=xs1exdx,當(dāng)s>0時(shí)是收斂的無窮限反常積分（也可用柯西判別法推得）；1所以，Γ函數(shù)在s>0時(shí)收斂，即定義域?yàn)閟>0.2、連續(xù)性在任何閉區(qū)間[a，b](a>0)上，對(duì)I1，當(dāng)0<x≤1時(shí)有xs1ex≤xa1ex1在[a，b]上一致收斂;由于xa1exdx收斂，從而I10對(duì)于I2，當(dāng)≤∞時(shí)，有xs1ex≤xb1x,由于xs1exdx收斂，1從而I2在[a，b]上也一致收斂，于是Γ(s)在s>0上連續(xù)3、可微性0s(xs1ex)dx=xs1exlnxdx=(xs1lnx)exdx（利用狄利克雷判別法）它00在任何閉區(qū)間[a，b](a>0)上一致收斂.∴Γ(s)在[a，b]上可導(dǎo).歡迎下載 3—由a，b的任意性，Γ(s)在s>0上可導(dǎo)，且Γ’(s)=xs1exlnxdxs>0.0依照上面的方法，還可推得Γ(s)在s>0上存在任意階導(dǎo)數(shù)：(n)(s)=xs1ex(lnx)ndx.s>0.04、遞推公式Γ(s+1)=sΓ(s)證：分部積分法AAAxdxxsexdx=xsex|0A+sxs1exdx=AseA+sxs1e000設(shè)A→+∞，就得到Γ(s)的遞推公式：Γ(s+1)=sΓ(s)設(shè)n<s≤n+1，即0<s-n≤1，應(yīng)用遞推公式n次可得到Γ(s+1)=sΓ(s)=s(s-1)Γ(s-1)= .=s(s-1)(s-2) (s-n)Γ(s-n)因Γ（1）= exdx=10若s為正整數(shù)n+1，則Γ(n+2)=(n+1)n..2Γ(1)=(n+1)！從上可以看出：2）.Γ函數(shù)是階乘的推廣（x）！2）．如果已知Γ（s）在0<s≤1上的值，那么在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計(jì)算出來，即可做出一個(gè)Γ函數(shù)值表三、Γ函數(shù)與Β函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)m，n為正整數(shù)時(shí)，反復(fù)應(yīng)用Β函數(shù)的遞推公式可得：Β(m,n)=n1Β(m,n-1)=n1n2......1Β(m,1)mn1mn1mn2m1又由于Β(m,1)=11，xm1dx0m所以Β(m,n)=n1n22......111(m1)!=(n1)!(m1)!mn1mnmm(m1)!(mn1)!(n) (m)即Β(m，n)=(n m)一般地，對(duì)于任何正實(shí)數(shù) p、q也有相同的關(guān)系：(p)(q)Β(p,q)=(p q)證：對(duì)于Γ函數(shù)，令x=u2，則dx2udu，于是(p)xp1exdx2u2p1eu2du，從而00歡迎下載 4—42p1x22q1y2R2p1x2R2q1y2(p)(q)0xedx0yedy=lim40xedx0yedyR令DR[0,R][0,R]，由二重積分化為累次積分計(jì)算公式有2p12q1(x2y2)=R2p1x2R2q1y2所以xyed0xedx0yedy,DR(p)(q)lim4x2p1y2q1e(x2y2)dRDR=4x2p12q1(x2y2)..(4)yedD這里D為平面上第一象限部分。下面討論（4）式右邊的反常二重積分。記Dr{(,y)|x2y2r2,x0,y0}x于是有(p)(q)4x2p1y2q1e(x2y2)d=lim4x2p1y2q1e(x2y2)d，，DrDr對(duì)上式右邊積分應(yīng)用極坐標(biāo)變換，則可得(p)(q)lim42drr2(pq)2(cos)2p1(sin)2q1er200rdrr2(cos)2p1(sin)2q1d2rr2(pq)1er2=lim200drr=22(cos)2p1(sin)2q1d?Γ(p+q)0再由Β函數(shù)其他形式（a）就得到(p)(q)Β(p,q)Γ(p+q)四、在計(jì)算積分之中的應(yīng)用1、積分值計(jì)算：例1、1xx2dx011解：原式=1x)2dxx2(1033(3,3)[(3)]2[1(1)]21112!428022(3)歡迎下載 5—參考文獻(xiàn)：【1】、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》[M]，(上，下冊(cè))北京：高等教育出版社2007【2】、李鐵木編著《分析提綱與命題證明》[M]，（第二冊(cè)）北京：宇航出版社，1986【3】、費(fèi)定輝，周學(xué)圣等，吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（五） [M]，濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社， 1999【4】 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]. 北京: 高等教育出版社 ,1993.【5】Γ.Μ. 菲赫金哥爾茨. 微積分學(xué)教程[M]. 北京:高等教育出版 社,1986.SolvingdefiniteintegralcalculationbyusingEulerintegralWang Qing–GuoAbstract:Inthispaper,aimingatsolvingsomeverydifficultdefiniteintegralcalculationproblems,theseproblemsaretransformedintoEulerintegralthroughcertaintransformationatfirst,thentheseprob