微積分發(fā)展簡史現(xiàn)在是1頁\一共有31頁\編輯于星期一牛頓艾薩克·牛頓（IsaacNewton）是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，其研究領(lǐng)域包括了物理學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、神學(xué)、自然哲學(xué)和煉金術(shù)。

牛頓的主要貢獻有發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律和經(jīng)典力學(xué)，設(shè)計并實際制造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學(xué)家。為了紀念牛頓在經(jīng)典力學(xué)方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。現(xiàn)在是2頁\一共有31頁\編輯于星期一萊布尼茨萊布尼茨（Gottfried

WilhelmLeibniz），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語言學(xué)等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓并稱為微積分的創(chuàng)立者。現(xiàn)在是3頁\一共有31頁\編輯于星期一微積分學(xué)是微分學(xué)(DifferentialCalculs)和積分學(xué)(IntegralCalculs)統(tǒng)稱,英文簡稱Calculs,意為計算。這是因為早期微積分主要用于天文、力學(xué)、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學(xué)稱為分析學(xué)或無窮小分析?，F(xiàn)在是4頁\一共有31頁\編輯于星期一

在微積分產(chǎn)生之前，數(shù)學(xué)發(fā)展處于初等數(shù)學(xué)時期。人類只能研究常量，而對于變量則束手無策。在幾何上只能討論三角形和圓，而對于一般曲線則無能為力。到了17世紀中葉，由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，人們開始關(guān)注變量與一般曲線的研究?，F(xiàn)在是5頁\一共有31頁\編輯于星期一在力學(xué)上，人們關(guān)心如何根據(jù)路程函數(shù)去確定質(zhì)點的瞬時速度，或者根據(jù)瞬時速度去求質(zhì)點走過的路程。在幾何上，人們希望找到求一般曲線的切線的方法，并計算一般曲線所圍圖形的面積?，F(xiàn)在是6頁\一共有31頁\編輯于星期一令人驚訝的是，不同領(lǐng)域的問題卻歸結(jié)為相同模式的數(shù)學(xué)問題：求因變量在某一時刻對自變量的變化率；求因變量在一定時間過程中所積累的變化。前者導(dǎo)致了微分的概念；后者導(dǎo)致了積分的概念。更令人驚訝的是，這二者之間竟然有著密切的聯(lián)系：它們是互逆的兩種運算，這個性質(zhì)是由微積分學(xué)基本定理所體現(xiàn)的。從而微分學(xué)和積分學(xué)形成了一門統(tǒng)一的學(xué)科：微積分學(xué)。現(xiàn)在是7頁\一共有31頁\編輯于星期一微積分的萌芽123微積分的發(fā)展微積分的建立4微積分的嚴格化目錄5牛頓和萊布尼茨之爭現(xiàn)在是8頁\一共有31頁\編輯于星期一1.微積分的萌芽極限思想歐多克索斯的窮竭法（古希臘時期）一個量如果減去大于其一半的量，再從余下的量中減去大于該余量一半的量，這樣一直下去，總可使某一余下的量小于已知的任何量。

莊子的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（戰(zhàn)國時期）現(xiàn)在是9頁\一共有31頁\編輯于星期一

阿基米德對拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體體積的研究。積分思想

開普勒用無窮小微元來確定曲邊形的面積和體積?，F(xiàn)在是10頁\一共有31頁\編輯于星期一

第一類是求瞬時速度的問題。第二類是求曲線切線的問題。十七世紀中葉，由于自然科學(xué)的急速發(fā)展，其他學(xué)科給數(shù)學(xué)提出如下四種亟待解決的問題：第三類是求函數(shù)最大值和最小值的問題。

第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、兩個非質(zhì)點間的

引力問題。2.微積分的發(fā)展現(xiàn)在是11頁\一共有31頁\編輯于星期一

曲線的切線問題（第二類問題）微分思想

費爾馬在這兩個問題上做出了主要貢獻，他先對自變量取增量，再讓增量趨于零，這就是微分學(xué)的本質(zhì)所在。函數(shù)的極大極小值問題（第三類問題）現(xiàn)在是12頁\一共有31頁\編輯于星期一

費爾馬也在積分學(xué)方面做了許多工作，如求面積、體積、重心等問題（第四類問題），但可惜的是，他沒有發(fā)現(xiàn)微分學(xué)和積分學(xué)這兩類問題之間的基本聯(lián)系。

巴羅（牛頓的老師）在《光學(xué)和幾何學(xué)講義》一書中，已經(jīng)把求曲線的切線與求曲線下區(qū)域的面積問題聯(lián)系了起來，也就是說他把微分學(xué)和積分學(xué)的兩個基本問題聯(lián)系起來，但可惜的是他沒有從一般概念意義下進一步深入研究他們?，F(xiàn)在是13頁\一共有31頁\編輯于星期一除了費爾馬和巴羅，十七世紀的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家也為解決上述問題作了大量的研究工作，這些先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標志微積分作為一門獨立科學(xué)的誕生?，F(xiàn)在是14頁\一共有31頁\編輯于星期一3.微積分的建立

終于十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲，在不同的國家，幾乎在同時總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，各自獨立的創(chuàng)建了劃時代的微積分?，F(xiàn)在是15頁\一共有31頁\編輯于星期一牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系，從而將這兩類運算統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。

牛頓在1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)．1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，但他沒有拿去發(fā)表?，F(xiàn)在是16頁\一共有31頁\編輯于星期一

萊布尼茨在1684年發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》，在這文章中他給出了微分記號dx和一些微分運算法則，并討論了微分學(xué)的一些應(yīng)用。

萊布尼茨深刻認識到∫同d的互逆關(guān)系，他斷言：作為求和過程的積分是微分的逆．這一思想的產(chǎn)生是萊布尼茨創(chuàng)立微積分的標志．1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，在這篇論文他給出了積分符號∫，初步論述了積分與微分的互逆關(guān)系?，F(xiàn)在是17頁\一共有31頁\編輯于星期一牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，并建立起一套有效的微分和積分算法；他們把微積分作為一種適用于一般函數(shù)的普遍方法；把微積分從幾何形式中解脫出來，采用了代數(shù)方法和記號，從而擴展了它的應(yīng)用范圍；把面積、體積及以前作為和來處理的問題歸結(jié)到反微分(積分)．這樣，十七世紀其他學(xué)科提出的四個主要問題——速度、切線、極值、求和，便全部歸結(jié)為微分和積分?，F(xiàn)在是18頁\一共有31頁\編輯于星期一微積分誕生以后，數(shù)學(xué)迎來了一次空前的繁榮時期。18世紀被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀。數(shù)學(xué)家們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個領(lǐng)域，獲得了豐碩的成果；在數(shù)學(xué)本身，他們把微積分作為工具，又發(fā)展出微分方程、微分幾何、無窮級數(shù)等理論分支，大大擴展了數(shù)學(xué)研究的范圍。現(xiàn)在是19頁\一共有31頁\編輯于星期一4.微積分的嚴格化微積分建立以后，出現(xiàn)了兩個極不協(xié)調(diào)的情景：一方面是微積分廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，取得了輝煌的成就；另一方面是人們對于微積分基本概念的合理性提出了強烈的質(zhì)疑。19世紀以前，無窮小量概念始終缺少一個嚴格的數(shù)學(xué)定義，因此導(dǎo)致了相當嚴重的混亂。

特別地，1734年英國哲學(xué)家、紅衣主教貝克萊對微積分基礎(chǔ)的可靠性提出的強烈質(zhì)疑，引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機。微積分的嚴格化勢在必行?，F(xiàn)在是20頁\一共有31頁\編輯于星期一

法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾用極限方法取代無窮小量方法；法國數(shù)學(xué)家柯西在達朗貝爾通俗的極限基礎(chǔ)上，從變量和函數(shù)角度出發(fā)給出極限的動態(tài)定義，從而把微積分的基礎(chǔ)嚴格地奠定在極限概念之上。德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯則用靜態(tài)的ε-δ語言來刻畫柯西動態(tài)的極限概念，使極限的定義達到了最清晰最嚴密的程度，直到如今人們?nèi)匀辉谑褂盟亩x。極限理論的建立現(xiàn)在是21頁\一共有31頁\編輯于星期一

由于嚴格的極限理論的建立，無窮小量可用極限的語言清楚地加以描述，至此才解決了有關(guān)的邏輯困難。而且由于ε?δ語言的建立，微積分的發(fā)展如虎添翼?，F(xiàn)在是22頁\一共有31頁\編輯于星期一實數(shù)理論魏爾斯特拉斯的無限十進小數(shù)表示法

戴德金分割

康托爾的柯西列方法

第一次數(shù)學(xué)危機之無理數(shù)的解決方案實數(shù)的完備性

確界存在定理---單調(diào)有界定理----區(qū)間套定理------有限覆蓋定理----聚點定理-----柯西收斂準則

現(xiàn)在是23頁\一共有31頁\編輯于星期一從以上介紹，可以知道微積分發(fā)展的歷史軌跡是積分學(xué)—微分學(xué)—微積分學(xué)—極限理論—實數(shù)理論但從數(shù)學(xué)分析課程來看，它的理論體系應(yīng)該是：實數(shù)理論—極限理論—微分學(xué)—積分學(xué)—微積分學(xué)現(xiàn)在是24頁\一共有31頁\編輯于星期一5.牛頓與萊布尼茨之爭

萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文的時間是1684年，比牛頓早三年(牛頓的《自然哲學(xué)之數(shù)學(xué)原理》出版于1687年)，但牛頓早在六十年代就發(fā)明了微積分，而萊布尼茨曾于1673年訪問過倫敦，并和牛頓及一些知道牛頓工作的人通過信．于是就發(fā)生了萊布尼茨是否獨立取得微積分成果的問題．現(xiàn)在是25頁\一共有31頁\編輯于星期一

1684年萊布尼茲發(fā)表了他的微積分的論文。3年后，牛頓在1687年出版的《原理》書的初版中對萊布尼茲的貢獻表示認同，但是卻說：“和我的幾乎沒什么不同，只不過表達的用字和符號不一樣?！爆F(xiàn)在是26頁\一共有31頁\編輯于星期一

牛頓的流數(shù)理論到萊布尼茲發(fā)表論文二十年后，即1704年作為他的著作《光學(xué)》的附錄中正式發(fā)表，附錄的序言中，牛頓提到他1676年給萊布尼茲的信，并補充說︰“若干年前我曾出借過一份包含這些定理(微積分)的原稿，之後就見到一些從那篇當中抄出來的東西，所以我現(xiàn)在公開發(fā)表這份原稿?！边@話的意思就暗指他的手稿曾經(jīng)被萊布尼茲看到過，而萊布尼茲的論文就是從他的手稿中抄來的?，F(xiàn)在是27頁\一共有31頁\編輯于星期一

1711年3月4日，倫敦皇家學(xué)會的秘書斯洛（HansSloane）收到萊布尼茲寄來的一封信，信中抱怨其成員開爾（JohnKeill）指責(zé)萊布尼茲把牛頓的微積分改變了少量的符號，偽裝為自己的原創(chuàng)發(fā)表，并且聲明這不是事實，要求學(xué)會給以公正的裁決。現(xiàn)在是28頁\一共有31頁\編輯于星期一

據(jù)說這一狀告正好告到了牛頓手上。后來，由于牛頓的導(dǎo)演和親自出馬、匿名運作，形成勢不兩立的兩派。以英國為一派包括英國著名數(shù)學(xué)家泰勒和麥克勞林都認為萊布尼茲是抄襲者。另一派是歐洲大陸的數(shù)學(xué)家，包括著名數(shù)學(xué)家約翰·伯努利等為一派認為牛頓是抄襲者。爭論雙方停止學(xué)了術(shù)交流，不僅影響了數(shù)學(xué)的正常發(fā)展，也波及整個自然科學(xué)領(lǐng)域，以致發(fā)展到英德兩國之間的政治摩擦。現(xiàn)在是29頁\一共有31頁\編輯于星期一這場由牛頓導(dǎo)演捍衛(wèi)牛頓的戰(zhàn)斗，使英國人吃了大虧，一百年多年間在數(shù)學(xué)上大大落后于歐洲。而萊布尼茲生命中的最后７年則在這場大爭論中痛苦地度過的。