PAGE四川省資陽市高中數(shù)學(xué)高一升高二復(fù)習(xí)講義第13講簡單的三角恒等變換新人教A版一、復(fù)習(xí)舊知1、知識點1、升降冪公式2、同角正余弦化積公式2、作業(yè)評講二、新課講解重點：掌握利用三角恒等變換處理三角式化簡，求值與證明等問題。難點：確定三角變換的方向及三角公式的合理運用.考點：掌握利用三角恒等變換處理三角式化簡，求值與證明等問題。確定三角變換的方向及三角公式的合理運用.通過審題分析已知條件和待求結(jié)論之間角的差異，建立聯(lián)系，使問題獲解。易混點：通過審題分析已知條件和待求結(jié)論之間角的差異，建立聯(lián)系，使問題獲解。分類教學(xué)知識梳理1．升降冪公式:;2．同角正余弦化積公式，其中；=重難點突破（1）三角變換的基本思路是“變角、變名、變式”問題1:（07江蘇）若，，則．點撥：已知條件中的角是，待求式中的角是，故只需將條件展開，再由同角關(guān)系式來處理。由求出(2)處理三角式的化簡、求值和證明問題的基本原則是“見平方就降次，見切割就化弦，充分利用同角關(guān)系式，關(guān)注符號定象限，象限定符號的特征”。問題2：已知，．求和的值．點撥：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。先將切化弦，再尋找角之間的關(guān)系。由得則因為所以三、典型例題考點1:三角求值題的處理題型1.給角求值問題（山東省聊城一中2008—2009學(xué)年度上學(xué)期高三年級期末綜合測試）不查表求值=．【解題思路】要注意到,然后用公式展開.【解析】原式=．【名師指引】給角求值問題一般考慮通過變角湊出特殊解且設(shè)法將非特殊角抵消或約去,注意公式的順用、逆用和變形用.【新題導(dǎo)練】1.(tan5°－cot5°)·解：原式=2．(08海南省)=（）A.B.C.2D.【解析】，選C。答案：C題型2給式求值(惠州市2009屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)已知．（1）求的值；（2）求的值．【解題思路】第(1)問注意到,第(2)問對三角式化為的表達(dá)式.解析：（1）由,，．（2）原式＝．【名師指引】給式求值一般從分析角的關(guān)系入手.例3.(福建省師大附中2008年高三上期期末考試)設(shè)向量，若，，求的值?！窘忸}思路】先進(jìn)行向量計算,再找角的關(guān)系.解析:【名師指引】三角與向量是近幾年高考的熱門題型,這類題往往是先進(jìn)行向量運算,再進(jìn)行三角變換【新題導(dǎo)練】1.已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)設(shè)∈(0，)，f()＝，求cos2的值.解析：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f()=sin+cos=1（Ⅱ）∵f()=sinα+cosα=,∴1+sin2α=,sin2α=,∴cos2α=∵α∈（0，π）∴2α∈（π，π）∴cos2α<0.故cos2α=2.已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．求tanα的值；解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．題型3.給式求角例4．(廣東省揭陽市2008年第一次模擬考試)已知：向量，，函數(shù)，若且，求的值；【解題思路】先由向量運算得出三角函數(shù)間的關(guān)系，再進(jìn)一步處理。解析：∵＝-由得即∵∴或∴或-【名師指引】給式求角問題可考慮先求出一種三角函數(shù)值，再精確估計角的范圍再定角。例5．(2007·四川)已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.【解題思路】由同角關(guān)系求出再求；又結(jié)合角的范圍定角。（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由，得又∵，∴由得：,所以【名師指引】本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算能力?！拘骂}導(dǎo)練】3．已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C（）.若，且，求角的大小；解析：（Ⅰ）由已知得：則因為4．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，求角A；解析：，即，∴，∴．∵，∴．考點2:三角式的化簡與證明題型1:利用正、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換進(jìn)行化簡求值.例1.化簡【解題思路】對三角函數(shù)式化簡結(jié)果的一般要求：函數(shù)種類最少；項數(shù)最少；函數(shù)次數(shù)最低；能求值的求出值；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使分母不含根式.原式===【名師指引】在三角式的化簡方向一般為降次,消項.例2:證明tan－tan＝【解題思路】細(xì)心觀察已知等式中的角，發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：＋＝2x，－＝x－＝x∴sinx＝sincos－cossin①又cosx＋cos2x＝2coscos②①÷②即得：＝－＝tan－tan.【名師指引】三角恒等式的證明在高考中出現(xiàn)較少,方法與化簡類似.【新題導(dǎo)練】5．=（）A、B、C、1D、B［解析］6．求證:.=證明:左邊======右邊利用萬能公式得出=，=可簡化過程.四、鞏固練習(xí)1已知，，則（）ABCD解析：D，2.(汕頭金山中學(xué)2008～2009學(xué)年度上學(xué)期高三期末考試)已知，且，則等于（）....解析：由且知故=選B3．（廣東深圳外國語學(xué)校2008—2009學(xué)年高三第二次月考）已知，則的值為（）A．B．C．D．解析：=選A4．設(shè)，，，則大小關(guān)系（）ABCDC.D.或解析：D，，5．求值：解析:.5.設(shè)向量，，且．（1）求；（2）求．解：（1）∴∴（2）．6.(廣東省四校聯(lián)合體08年第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)，其中向量，若函數(shù)解：（1）五、過關(guān)檢測1.（中山市高三級2008—2009學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試）已知向量,