第三節(jié)連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

（1）非負(fù)性

f(x)0，(-<x<)；

（2）歸一性EX設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求常數(shù)a。答:2.密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（3）若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則EX

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:求f(x)。第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一故

X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限。對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：f(x)=第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一若不計(jì)高階無窮小，有：它表示隨機(jī)變量X

取值于(x,x+△x]的概率近似等于f(x)△x。f(x)△x在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與P{X=xk}在離散型r.v理論中所起的作用相類似。第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)a,若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度f(x)

(-<x<)，則P{X=a}＝0。于是可見，由P(A)=0,不能推出，由P(B)=1,不能推出

B=S。第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一令△x→0，由于X是連續(xù)型r.v，所以它的分布函數(shù)連續(xù)，從而P{X=a}=0。推導(dǎo)第7頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一密度函數(shù)的幾何意義為第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.13

已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)確定常數(shù)k。2)求X的分布函數(shù)F(x)。3)求P{X(0.5,1.5)}。第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解:1)2)所以,

k=1第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3)P{X(0.5,1.5)}=

或=F(1.5)-F(0.5)=。第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一若r.v.X的概率密度為：則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作：

X

～U(a,b)1.均勻分布（Uniformdistribution）三種常見連續(xù)型隨機(jī)變量第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。若X

～U(a,b)，則對(duì)于滿足a≤c<d≤b的c,d,總有第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.14長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率。1545解：設(shè)A：乘客候車時(shí)間超過10分鐘

X：乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)。第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.指數(shù)分布（Exponentialdistribution）則稱X服從參數(shù)為θ(>0)的指數(shù)分布。若X～其分布函數(shù)為三種常見連續(xù)型隨機(jī)變量第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.15

電子元件的壽命X（年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布。（1）求該電子元件壽命超過2年的概率。（2）已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用至少兩年的概率為多少？解：第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命。第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯（Gauss）加以推廣，所以通常稱為高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre）最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。3.正態(tài)分布（Normaldistribution）三種常見連續(xù)型隨機(jī)變量高斯第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（I）.正態(tài)分布的定義若r.v.X的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。其中m和s都是常數(shù),

m任意,

s>0,則稱X服從參數(shù)為

m和s的正態(tài)分布。第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（II）.正態(tài)分布N(μ,σ2)的圖形特點(diǎn)圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱：

f(+x)=f(-x)。在

x=

時(shí),

f(x)取得最大值。在

x=±

時(shí),曲線

y=f(x)

在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)。曲線

y=f(x)以x軸為漸近線。曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀。第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一f(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定，對(duì)于不同的，對(duì)應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同?！螤顓?shù)固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同。

由于

f(m)所以越小，f(x)變得越尖，

而X落在附近的概率越大。第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。第24頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^的年降雨量和身高外，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用場(chǎng)合若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響,而每一個(gè)別因素的影響都是微小的,且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布。可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：各種測(cè)量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績；第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（III）.設(shè)X~

，X的分布函數(shù)是第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（IV）.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

j(x)

和

F(x)表示：第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)定理1，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。,則

~N(0,1)

設(shè)定理1第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表。（V）.正態(tài)分布表表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值。當(dāng)-x<0時(shí)第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.若

X～N(0,1),2.若~N(0,1)

那么第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%。當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P{|X|≤1}=2F(1)-1=0.6826

P{|X|≤2}=2F(2)-1=0.9544P{|X|≤3}=2F(3)-1=0.9974（VI）.3s原則第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在[m-3s,m+3s]區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3s原則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）。第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|Y-m|≤3s}≈1,忽略{|Y-m|>3s}的值。如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值m±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.16

已知X~N(d,0.52)，問d至少為多少時(shí),解：由題意，d需滿足因?yàn)樗缘?6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.17

一種電子元件的使用壽命Ｘ(小時(shí))服從正態(tài)分布Ｎ(100,152)，某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率。解：設(shè)A為使用的最初90小時(shí)內(nèi)元件損壞；Y為A發(fā)生的元件數(shù)。故則Y～b(3,p),其中第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.18

（1）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位：cm)X～N(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高超過175cm的概率。

解:

（1）根據(jù)假設(shè)X～N(170,7.692)，則故事件{X>175}的概率為P{X>175}==0.2578第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解:

（2）設(shè)車門高度為hcm，按設(shè)計(jì)要求P{X≥h}≤0.01或

P{X<h}≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h。（2）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的，問車門高度應(yīng)如何確定?第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一因?yàn)閄～N(170,7.692),故

P{X<h}=0.99查表得F(2.33)=0.9901>0.99所以

=2.33,即

h=170+17.92≈188設(shè)計(jì)車門高度為188厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01P{X<h}≥0.99求滿足的最小的h。第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（VII）.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上

分位點(diǎn)z設(shè)X~N(0，1)，0<<1，稱滿足的點(diǎn)z為X的上分位點(diǎn)。

常用的幾個(gè)數(shù)據(jù)z0.10.20.30.4z1-=-z第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一一、問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。求截面面積A=

pd2/4的分布。二隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例如，已知圓軸截面直徑d

的分布，第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一又如：已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓

V的分布，求功率

W=V2/R(R為電阻）的分布等。一般地、設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知,Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)),如何由X

的分布求出

Y

的分布？這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的。第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.19

已知XPk-101求:Y=X2的分布律。YPk01

解：Y的所有可能取值為0，1。由P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=1/3P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=1}+P{X=-1}=1/3+1/3=2/3得Y的分布律為第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。一般，若X是離散型

r.v，X的分布律為X～則

Y=g(X)～第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：設(shè)X、Y的分布函數(shù)為FX(x)、FY(y)，則例2.20設(shè)

X~求

Y=2X+8的概率密度。FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),可得Y=2X+8的密度函數(shù)第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一故知當(dāng)即8<y<16時(shí)，由及當(dāng)y取其它值時(shí),第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.21設(shè)

X具有概率密度fX

(x),求Y=X2的概率密度。求導(dǎo)可得當(dāng)

y>0時(shí),

注意到

Y=X2≥0，故當(dāng)

y≤0時(shí)，解:

設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為FY

(y)和FX

(x),

第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一若則

Y=X2

的概率密度為：稱Y服從自由度為1的c2分布。第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

從上述兩例中可以看到，在求P{Y≤y}的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{g(X)≤y}中解出X，從而得到與{g(X)≤y}等價(jià)的X的不等式。例如，用{X≤}代替{2X+8≤y}用代替{X2≤

y}這樣做是為了利用已知的

X的分布，從而求出相應(yīng)的概率。這種方法叫分布函數(shù)法，是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法。第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一定理設(shè)r.vX具有概率密度fX(x),-<x<,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo),且對(duì)于任意x,恒有g(shù)′(x)>0或恒有g(shù)′(x)<0,則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型r.v,它的概率密度為其中，

x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)，第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.若f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零，則只需假設(shè)在[a,b]區(qū)間上恒有g(shù)′(x)>0或g′(x)<0，此時(shí)，1.只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；注:第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.22

已知XN(,2),求

解：的概率密度。且故即YN(0,1)。第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例2.23

設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度。解：在區(qū)間(0,1)上,y=g(x)=-2lnx>0,且有反函數(shù)由前述定理得注意取絕對(duì)值第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一已知X在(0,1)上服從均勻分布，代入fY(y)的表達(dá)式中得即Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X)的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用X

的分布來求P{g(X)≤y}。這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布。第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1、不論是離散型的或非離散型的隨機(jī)變量X,都可以借助分布函數(shù)F(x)=P{X≤y},-<x<來描述。

若已知X的分布函數(shù),就能知道X落在任一區(qū)間(a,b]上的概率：P{a<X≤b}=F(b)-F(a),這樣分布函數(shù)可以完整地描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2、對(duì)于離散型隨機(jī)變量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎樣的概率取這些值。因而對(duì)離散型隨機(jī)變量用分布律P{X=xk}=pk,k=1,2,…來描述它的取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性更為直觀和簡潔。分布律和分布函數(shù)有以下關(guān)系：F(x)=P{X≤x}=第61頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,給定X的概率密度f(x),就能確定F(x)。反之，由于f(x)位于積分號(hào)之內(nèi),故改變f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值,并不改變F(x)的值.因此改變f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值無關(guān)緊要。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量,在實(shí)用和理論上使用概率密度f(x)來描述較為方便。概率密度和分布函數(shù)有以下關(guān)系：F(x)=P{X≤x}=第62頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一4、連續(xù)型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)是連續(xù)的，它取任一指定常數(shù)a的概率為0。

這兩點(diǎn)是離散型變量不具備的。第63頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一5、已知X的概率密度fX(x)，

求Y=g(x)的概率密度fX(x)在[a,b]以外取值為0，且當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，

y=g(x)

∈(a,b)。(2)

y=g(x)在[a,b]上無單調(diào)性。那么當(dāng)y≤a時(shí),FY(y)=0；當(dāng)y≥b時(shí),FY(y)=1；當(dāng)a<y<b時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}(1)

y=g(x)在[a,b]上恒有g(shù)′(x)>0(或<0)，則由公式可得第64頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(1)

y=g(x)在(-,)上恒有g(shù)′(x)>0(或<0)，則由公式(2)y=g(x)在(-,)上無單調(diào)性。那么當(dāng)y≤a時(shí),FY(y)=0；當(dāng)y≥b時(shí),FY(y)=1；當(dāng)a<y<b時(shí),FY(y