第十章相似模型

模型1A、8模型

：N1=N2

結論：△ADEsaABC

模型分析

如圖，在相似三角形的判定中，我們常通過作平行線，從而得出A型或8

型相似，在做題時，我們也常常關注題目中由平行線所產(chǎn)生的相似三角形。

模型實例

例1.如圖，在aABC中，中線AF、BD、CE相交于點0。

…OFOEOD1/

OAOCOB2

ADE//\D上，且

例2.如圖，點E、F分別在菱形ABCD的邊AB、

AE=DF,BF交DE于

點G,延長BF交CD的延長線于H,假設

B孕C

AFHF

—=20求更的值。

DFBG

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1.如圖，D、E分別是aABC的邊AB、BC

上的點，且DE〃AC,AE、CD相交

=

于點0，假設Szu)0E：SACOA1：25,BE

那么SABDE與Sz\CDEE的比是_________。

2.如下圖，D\BCD中，G是BC延長線上的

一點，AG與BD交于點E,與DC

交于點F,此圖中的相似三角形共

有_________對。

3.如圖，在aABC中，中線BD、CE相交于點0,連接A0并延長，交BC

于點F。求證：點F是BC的中點。

A

4.在aABC中，AD是角平分線，求證：—=—,O

ACCD

5.如圖，△ABC為等腰直角三角形，ZACB-900,D是邊/AD

BC的中點，E在AB上，且AE：BE=2：1。求證：CE±ADo

模型2共邊共角型

：Z1=Z2

結論：Z\ACDSAABC

模型分析

,還要熟記模型的\\B

上圖中，不僅要熟悉模型

結論，有時候題目中會給出

三角形邊的乘積或比例關系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中

由△ACDs^ABC,進而可以得到AC?=AZ).AC。

模型實例A

D

例1.如圖，D是AABC邊BC上的一點，AB=4,

AD=2,ZDAC=ZB,如果△ABD的面積為15,

那么4ACD的面積為<,

例2.如圖，在RtZXABC中，ZBAC-9O0,ADLBC于D。

(1)圖中有多少對相似三角形？寫出來；

(2)求證：AC2=AD.AC

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1.如下圖，能判定△ABCs/\DAC的有

①/B=/DAC；②/BAC=/ADC；

2.4AMN是等邊三角形，ZBAC=120°。求證：

(1)AB?=BM.BC；

(2)AC?=CN'CB：

(3)MN2=BM.NCo

3.如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓上的一點，過C作CDJ_AB于D,

AC=2^10,AD：DB=4：L求CD的長。

4.如圖①，RtZ\ABC中，ZACB-900,CD1AB,我

們可以利用△ABCS/XACD

證明AC2=AD.AB,這個結論我們稱之為射

影定理，結論運用：如圖②，

正方形ABCD的邊長為6,點。是對角線AC、

BD的交點，點E在CD上，過點C作CE_LBE,垂足為F,連接OF。

(1)試利用射影定理證明△BOFSABED；

ZACE=ZD?

結論：△ABCsaCDE

模型分析

在一線三等角的模型中，難點在于當三個相等的角的時候，容易忽略隱

含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似應用較多，當看見該模型的時候,

應立刻能看出相應的相似三角形。

模型實例

例1.如圖在等邊aABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且/APD=60°,

2

BP=1,CD=-,那么aABC的邊長為

3

例2.如圖，NA=NB=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在邊AB上取一點P,使得

△PAD民4PBC相似，那么這樣的P點共有個。

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1.如圖，^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點

(不與B、C點重合)，ZADE=45°。

(1)求證：AABD^ADCE；

(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數(shù)關系式；

(3)當4ADE是等腰三角形時，求AE的長。

2.如圖，在aABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點A(不與B、

C重合)，

NADE=NB=a,DE交AC于點E,且cosa=［，//

以下結論。/Z---(、

①△ADEsaACD；②當BD=6時，4ABDBD。

與4DCE全等；

③4DCE為直角三角形時，BD等于8或12.5；④0VCEW6.4.

其中正確的結論是。(把你認為正確結論的序號都填上)

3.如圖，矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點B

落在CD邊上的P點外，折痕與邊BC交于0,連接AP、0P、OAo

(1)求證：△OCPsaPDA；

(2)假設AOCP與APDA的面積比為1：4,求邊AB的長。

模型4倒數(shù)型

條件：AF〃DE〃BC

111

結論:--------1-----------------

AFBCDE

模型分析

仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)該模型中含有兩個A型相似模型，它的結論是由兩個A

型相似的結論相加而得到的，該模型的練習有助于提高綜合題能力水平。

模型實例

例1.如圖，AF〃BC,AC、BF相交于點E,過D作ED〃AF交AB于點D。

2s.ABFsQABCs?ABE

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1.如圖，在aABC中，CDLAB于點D,正方形

EFGH的四個頂點都在AABC

111

的邊上。求證:AF+BF-GF

2.正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE,

連接DE交AC于F,交AB

于G,連接BF。求證：

(1)AF+BF=EF；

ADGB

(2)—+—=—o

AFBFGFA

模型5與圓有關的簡單相似

圖①中，由同弧所對的圓周角相等，易得

△PAC^APDB；E

圖②中，由圓的內接四邊形的一個外角

等于它的內對角，易得△PACSAPDB；

圖③中，通過作輔助線構造，易得△PACSAPCB。BC

模型實例

例1.如圖，點P在。。外，PB交。。于A、B兩點，PC交。。于D、C兩點。

求證：PA?PB=PD.PC。

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1.如圖，P是內的一點，AB是過點P的一條弦，設圓

的半徑為r,OP=d。

求證：PAPD=r2-d\

2.如圖，AB是。。的直徑，C、D是半圓的三等分

點，延長AC、BD交于點E。

(1)求/E的度數(shù)；

(2)點M是BE上一點，且滿足E例-E8=CE2,

連接CM,求證：CM是。。的切線。

模型6相似與旋轉

DE

A

A旋

一定的角度,

接BD、CE,得到如圖②,

結論：△ABDSAACE。

模型分析

該模型難度較大，常出現(xiàn)在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，對學

生的綜合能力要求較高，考察知識點有相似、旋轉、勾股定理、三角函數(shù)等,

是優(yōu)等生必須掌握的一種題型。

模型實例

例1.如圖，在RtZXABC中，NBAC=6