風(fēng)險(xiǎn)決策模型引自《彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》——2002年全國(guó)賽題B題問(wèn)題一問(wèn)題一：綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性。1問(wèn)題分析評(píng)價(jià)一個(gè)方案的優(yōu)劣，或是合理性如何，主要取決于彩票公司和廣大彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各自的銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。因此，問(wèn)題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大彩民積極踴躍購(gòu)買彩票？具體地講，問(wèn)題涉及到一個(gè)方案的設(shè)置使彩民獲獎(jiǎng)的可能性有多大、獎(jiǎng)金額有多少、中獎(jiǎng)面這樣、各獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置是否合理等因素，這些都對(duì)彩民的購(gòu)買彩票的吸引力產(chǎn)生一定的影響，所以要解決的是如何描述一個(gè)方案對(duì)彩民的吸引力。另外，一個(gè)方案對(duì)彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地取的經(jīng)濟(jì)狀況，以及收入和消費(fèi)水平有關(guān)。為此，我們要考查一個(gè)方案的合理性問(wèn)題，需要綜合考慮以上因素的影響，這是建立模型的關(guān)鍵所在。2問(wèn)題假設(shè)1）彩票搖獎(jiǎng)是公平公正的，各號(hào)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的，彩民購(gòu)買彩票是隨機(jī)的獨(dú)立事件；2）根據(jù)我國(guó)的先行制度，假設(shè)我國(guó)居民的平均工作年限為T(mén)=35年。3符號(hào)說(shuō)明（略）4建模準(zhǔn)備1）彩民獲各獎(jiǎng)的概率2）確定彩民的心理曲線人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念。在此，彩民對(duì)一個(gè)方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)及獎(jiǎng)金額的看法（即對(duì)彩民的吸引力）的變化就是一個(gè)典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)知識(shí)，根據(jù)人們通常對(duì)一件事的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線為p（x）=1—e一佚］I（x>0）（4.1）式中，x表示獎(jiǎng)金人表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù)。3）計(jì)算實(shí)力因子實(shí)力因子是反應(yīng)一個(gè)地區(qū)的彩民的平均收入和消費(fèi)水平的指標(biāo)，確定一個(gè)地區(qū)彩票方案應(yīng)該考慮所在地區(qū)的實(shí)力因子，在我國(guó)不同地區(qū)的收入和消費(fèi)水平是不同的，因此，不同地區(qū)實(shí)力因子應(yīng)有一定的差異，目前各地區(qū)現(xiàn)行的方案不盡相

同，要統(tǒng)一來(lái)評(píng)估這些方案的合理性，就應(yīng)該對(duì)同一個(gè)實(shí)力因子進(jìn)行研究。為此，我們以中等地區(qū)收入水平為例進(jìn)行研究。根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬(wàn)元，按我國(guó)的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬(wàn)元，于是，當(dāng)％=52.5萬(wàn)元時(shí)，取hG°）=1-d=0.5（即吸引力的中位數(shù)），則有人=6.30589x105。同理，可以算出年收入為1、2、2.5、3、4、5、10萬(wàn)元的實(shí)力因子如下表：（略）5模型的建立及求解要綜合評(píng)價(jià)這些方案的合理性，應(yīng)該建立一個(gè)能夠充分反應(yīng)各種因素的合理性指標(biāo)函數(shù)。因?yàn)椴拭褓?gòu)買彩票可認(rèn)為是一種冒險(xiǎn)行為，為此，我們根據(jù)決策分析中風(fēng)險(xiǎn)決策的理論，考慮到彩民顯得心理因素的影響，可以取p（x）=1-』打,（九〉0）為風(fēng)險(xiǎn)決策中的益損函數(shù)，于是作出如下的指標(biāo)函數(shù)：F=￡pR（x）（5.1）i=1即表示在考慮彩民的餓心理因素的條件下，一個(gè)方案的中獎(jiǎng)率、中獎(jiǎng)面和獎(jiǎng)金設(shè)置等因素對(duì)彩民的吸引力。另一方面，由題意知，單注所有可能的低項(xiàng)獎(jiǎng)金總額為L(zhǎng)=￡px〔，根據(jù)高項(xiàng)獎(jiǎng)的計(jì)算公式得單注可能的第j項(xiàng)（高項(xiàng)獎(jiǎng)）獎(jiǎng)金額為i=1=(1-L)rjr1-f'i=4=(1-L)rjr1-f'i=4iiJj(一\1-Zp.xii（5.2）（5.3）故平均值為X.=一」——J,j=1,2,3j于是，由（5.2）（5.3）F=￡p日(x)iii=1(V\1-乙p.xiix=―J,j=1,2,3jpj四(x)=1-』xJ,(i=1,27)i人=6.30589x105利用MATLAB可算出29種方案的合理性指標(biāo)值F及高項(xiàng)獎(jiǎng)的期望值，且可以得到排序。程序：結(jié)果：6模型的評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)決策是指根據(jù)多種不同狀態(tài)可能發(fā)生的概率作出的決策。決策通常是在多種方案中進(jìn)行選擇，每種方案又有多種不以人的意志為轉(zhuǎn)移的自然狀態(tài)。風(fēng)險(xiǎn)決策的前提是各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率是可估的，因此，可計(jì)算出各方案在不同狀態(tài)下的益損值。風(fēng)險(xiǎn)決策是根據(jù)決策目標(biāo)，如收益最大或是損失最小等，在各方案中進(jìn)行選擇。而彩票的中獎(jiǎng)情況則正好適用該情況，要選擇對(duì)自己最有益的方案，可以使用該模型。首先計(jì)算彩民中各獎(jiǎng)的概率，再利用心理學(xué)知識(shí)得到彩民的心理變化曲線函數(shù)，并將此作為益損函數(shù)，得到收益的指標(biāo)函數(shù)（式5.1）。模型適用，且很好地解決了該問(wèn)題。7模型推廣該模型還可以應(yīng)用到投資、廣告等領(lǐng)域。參考文獻(xiàn)：［1］朱智賢，林崇