自動控制理論拉普拉斯變換第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二

微分方程式是描述線性系統(tǒng)運動的一種基本形式的數(shù)學(xué)模型。通過對它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。然而，用微分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實際應(yīng)用中一般會遇到一些困難。

拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是分析研究線性動態(tài)系統(tǒng)的有力數(shù)學(xué)工具。通過拉氏變換將時域的微分方程變換為復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程，這不僅運算方便，也使系統(tǒng)的分析大為簡化。第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二在控制工程中,使用拉氏變換的主要目的:用它來研究系統(tǒng)動態(tài)特性.因為描述系統(tǒng)動態(tài)特性的傳遞函數(shù)和頻率特性都是建立在拉氏變換的基礎(chǔ)之上的。第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二一、拉氏變換定義對時間函數(shù)f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯變換L[f(t)]（簡稱拉氏變換）或F(s)定義為(2.20)原函數(shù)象函數(shù)一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充要條件是：(1)在t<0時，(2)在t≥0的任一有限區(qū)間內(nèi)，f(t)是分段連續(xù)的；(3)第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二二、一些常用的拉氏變換加于控制系統(tǒng)的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常隨著時間任意變化.為了便于對系統(tǒng)進行理論分析,工程實踐中允許采用以下幾種簡單的時間函數(shù)作為系統(tǒng)的典型輸入,即單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、等加速函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正玄函數(shù)、以及單位脈沖函數(shù)等。第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二1、單位階躍函數(shù)t<0

t≥0

圖2-5單位階躍函數(shù)

10t其拉氏變換第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2、單位斜坡函數(shù)t<0t≥0

圖2-6單位斜坡函數(shù)其拉氏變換第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二3、等加速函數(shù)t<0t≥0其拉氏變換

第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二4、指數(shù)函數(shù)

t<0t≥0其拉氏變換

第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二t<0t≥0其拉氏變換

5、正弦函數(shù)

第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二注:歐拉公式第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二t<0t≥0其拉氏變換

余弦函數(shù)

第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二6、單位脈沖函數(shù)1性質(zhì)其拉氏變換

且圖2-7單位脈沖函數(shù)第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二

設(shè)

則

三、拉氏變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)－－齊次性和疊加性第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2、微分性質(zhì)第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二3、積分性質(zhì)第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二4、終值定理且F(s)在s平面的右半平面及除原點以外的虛軸上解析，則函數(shù)的終值為第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二5、初值定理第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二時域位移定理復(fù)數(shù)域位移定理6、位移定理第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二7、卷積定理則若卷積符號表明兩個時間函數(shù)卷積的拉氏變換等于兩個時間的拉氏變換的乘積。這個關(guān)系式在拉氏反變換中可以簡化計算第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二四、拉氏反變換從象函數(shù)中找出原函數(shù)，這就是拉氏反變換。第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二求拉氏反變換的方法有：(1)查表法(2)部分分式法(3)有理分式法第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二一般象函數(shù)可以表示成如下的有理分式分母進行因式分解

第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二1、當(dāng)A(s)=0無重極點(n個不等根)時，F(xiàn)(s)可表示為第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二因此,原函數(shù)為

第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例5

已知

,試求原函數(shù).解：寫成部分分式形式第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二

課堂練習(xí)：求F（s）的拉氏反變換第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2、當(dāng)A(s)=0有重根時，F(xiàn)(s)可表示為第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二因此，原函數(shù)為

第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例6已知，試求原函數(shù)f(t)。解：第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第36頁，共37頁，2023年，2月20日