1第四章根軌跡法§4–1根軌跡的概念§4–2繪制根軌跡的規(guī)則§4–3廣義根軌跡§4–4系統(tǒng)性能分析§4–5應(yīng)用MATLAB分析根軌跡和設(shè)計(jì)實(shí)例2

根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)十分方便，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡的方法。3

§4–1根軌跡的概念

一﹑根軌跡圖

根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時(shí)在S平面上的變化軌跡。例4-1已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面上的分布情況。

4

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是設(shè)的變化范圍是〔0,∞﹚，當(dāng)=0時(shí),;當(dāng)0<<1時(shí)，與為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；當(dāng)=1時(shí)，為等實(shí)根；5

當(dāng)1<<∞時(shí)，為一對(duì)共軛復(fù)根，其實(shí)部都等于-1，虛部隨值的增加而增加；當(dāng)→∞時(shí)，、的實(shí)部都等于-1，是常數(shù)，虛部趨向無窮遠(yuǎn)處。

該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)從零變到無窮時(shí)在S平面上變化的軌跡如圖4-1所示。6圖4-1例4-1的根軌跡7

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的在上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，這對(duì)于二階系統(tǒng)并非難事，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求解特征方程的根就比較困難了。

如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響，就需要大量反復(fù)的計(jì)算。

1948年伊萬斯（W·R·EVANS）解決了這個(gè)問題，提出了根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會(huì)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。8

二、開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系

通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制，并由此引導(dǎo)出根軌跡方程。設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-2所示，起閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-1)

圖4-2控制系統(tǒng)9

通常，前向通路傳遞函數(shù)G(s)和反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可分別表示

（4-2）

（4-3）

式中為前向通路增益，為前向通路根軌跡增益；為反饋通路增益，為反饋通路根軌跡增益。10系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-4)

為系統(tǒng)的開環(huán)增益，為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；

m=f+l為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)，為開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)。

將式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得

（4-5）11

比較式（4-4）和式（4-5），可得以下結(jié)論：

⑴閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。⑵閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。⑶閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。12

根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。一旦閉環(huán)極點(diǎn)被確定，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因?yàn)殚]環(huán)零點(diǎn)可由式（4-5）直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直接求解。13

三、根軌跡增益與開環(huán)系統(tǒng)增益K的關(guān)系

由第三章，系統(tǒng)的開環(huán)增益（或開環(huán)放大倍數(shù)）為

（4-6）式中是開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，由它來確定該系統(tǒng)是零型系統(tǒng)（）,Ⅰ型系統(tǒng)（）或Ⅱ型系統(tǒng)（）等。將（4-4）代入（4-6）可得14

開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益與開環(huán)系統(tǒng)的增益K之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。由式（4-4）可知，根軌跡增益（或根軌跡放大系數(shù)）是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子﹑分母的最高階次項(xiàng)的系數(shù)為1的比例因子。在例4-1中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其開環(huán)增益為

對(duì)于該系統(tǒng)，根軌跡增益與開環(huán)增益K之間的是，它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)2。

15

四、根軌跡與系統(tǒng)性能以圖4-1為例進(jìn)行說明

穩(wěn)定性如果系統(tǒng)特征方程的根都位于S平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半S平面，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益Kc。

穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍

動(dòng)態(tài)性能當(dāng)0<<1時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的非周期過程。當(dāng)時(shí)，特征方程的兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為響應(yīng)速度最快的非周期過程。當(dāng)>1時(shí)，特征方程為一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時(shí)間不會(huì)有顯著變化。16§4–2繪制根軌跡的規(guī)則

一、繪制根軌跡的依據(jù)

在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務(wù)在于，如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。由例4-1可看出，根軌跡是系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。因此，系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡的依據(jù)。系統(tǒng)的特征方程為

17

當(dāng)系統(tǒng)有m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征方程可寫成

式中，為已知的開環(huán)零點(diǎn)，為已知的開環(huán)極點(diǎn)，為可從零變到無窮大的開環(huán)根軌跡增益。我們把上式稱為根軌跡方程，由根軌跡方程，可以畫出當(dāng)由零變到無窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。在繪制根軌跡時(shí)，變參數(shù)不限定是根軌跡增益，可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等）這時(shí)只要把系統(tǒng)的特征方程化為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益的位置都可以繪制根軌跡。18根軌跡方程實(shí)際上是一個(gè)向量方程，用模和相角的形式表示就是

由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為幅值條件：相角條件：

19

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

滿足幅值條件的表達(dá)式為

或滿足相角條件的表達(dá)式為

20

綜上分析，可以得到如下結(jié)論：⑴繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小無關(guān)。即在S平面上，所有滿足相角條件的點(diǎn)的集合的構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的主要依據(jù)。⑵繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小有關(guān)。即值的變化會(huì)改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的位置。⑶在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的S值，就是對(duì)應(yīng)給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。21二、繪制根軌跡的基本規(guī)則

通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則如下。

22

規(guī)則一

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)幅值條件可寫成

當(dāng)，必須有此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同(重合)，我們把開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。當(dāng)時(shí)，必須有，此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)相同(重合)，我們把開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。23下面分三種情況討淪。

1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。

2．當(dāng)m<n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。如例4-1。

3．當(dāng)m>n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì)出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。24結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)（或)；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處(無限極點(diǎn))。25

規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。由例4-1看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實(shí)變量）與復(fù)變量S有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量S在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，如果它的特征方程有復(fù)數(shù)根的話，一定是對(duì)稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸的。

結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。26例4-3設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中、、、、為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)，它們在S平面上的分布如圖4-4所示，試分析實(shí)軸上的根軌跡與開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系。

實(shí)軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即

規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡

若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。27圖4-4實(shí)軸上的根軌跡P1P2P3P5P4z1z2S0z4z30θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3

為確定實(shí)軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。圖4-4中，開環(huán)極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為開環(huán)零點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為

在確定實(shí)軸上的某點(diǎn)是否在根軌跡上時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。

實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)P3和開環(huán)零點(diǎn)z2構(gòu)成的向量的夾角均為零度，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)P1

、P2和開環(huán)零點(diǎn)z1構(gòu)成的向量的夾角均為。若s0為根軌跡上的點(diǎn)，必滿足相角條件，有

由以上分析知，只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。

28

規(guī)則四

漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為

29

在例4-1中，開環(huán)傳遞函數(shù)為

開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為

它們與實(shí)軸正方向的交角分別為

和，兩條漸近線正好與≥1時(shí)的根軌跡重合。30

例4-2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解對(duì)于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為

它們與實(shí)軸正方向的交角分別是漸近線如圖4-3所示。31圖4-3根軌跡的漸近線32

規(guī)則五

根軌跡的分離點(diǎn)

分析例4-1，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益由零到無窮大變化時(shí)，兩條根軌跡先是在實(shí)軸上相向運(yùn)動(dòng)(0≤＜1),然后它們相遇在點(diǎn)，當(dāng)＞1后，它們便離開實(shí)軸進(jìn)入S平面，且離開實(shí)軸時(shí)，根軌跡與實(shí)軸正交。我們稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)。實(shí)際上,點(diǎn)是例4-1系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根，它對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。一般，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上兩條根軌跡分支的分離點(diǎn)。如例4-1中的點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn)），則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn)），則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。如圖4-5上的分離點(diǎn)和。但在有些情況下，根軌跡的分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上，如圖4-6中的分離點(diǎn)A和B。顯然，復(fù)平面上的分離點(diǎn)表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對(duì)相等的共軛復(fù)根存在。

33圖4-5實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)

圖4-6復(fù)平面上的分離點(diǎn)

34

由上面分析可知，確定根軌跡的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是求出系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或等共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。系統(tǒng)的特征方程可寫成

（4-22）對(duì)式（4-22）求導(dǎo)可得

（4-23）

式（4-23）稱為分離點(diǎn)方程。對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，解式（4-23）可得到n-1個(gè)根分離點(diǎn)方程的另一種形式為（4-24）式中，為開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。

35當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點(diǎn)時(shí)，則在方程（4-24）中，應(yīng)取。此時(shí)，分離點(diǎn)方程即為

（4-25）

只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。若在這些根中有共軛復(fù)根，如何判斷共軛復(fù)根是否在根軌跡上，是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，但由于只有當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)（如圖4-6所示），因此，用觀察法可大體上判斷，然后將其代入特征方程中進(jìn)行驗(yàn)算，即可確定。對(duì)于例4-1，由式（4-23）可得分離點(diǎn)方程

即解得，位于實(shí)軸根軌跡上（由0到-2的線段上），故它是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。

36例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求出系統(tǒng)根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。

解本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，由式（4-25）可得即解出，，由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，它就是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。37圖4-7根軌跡的分離點(diǎn)

38

規(guī)則六

起始角與終止角

當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：

⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的和。

⑵終止角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的和。39圖4-8(a)根軌跡的起始角和終止角

40圖4-8(b)根軌跡的起始角和終止角

41通過例4-5來分析起始角與終止角的大小。例4-5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

且和為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，和分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們在S平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的起始角和。42圖4-9起始角的求取

對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得

由于A點(diǎn)無限靠近點(diǎn)，

推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)系式為43規(guī)則七

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，用代入特征方程可得

即

由此可得虛部方程和實(shí)部方程為

解虛部方程可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。44例4-6試求出例4-4中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。解由例4-4知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程是令并代入特征方程得其虛部和實(shí)部方程分別為45

解虛部方程得

由于不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去，故為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。46圖4-10根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

47

以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，繪制一幅完整的根軌跡圖尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。⑴根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn))用符號(hào)“

”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn))用符號(hào)“

”標(biāo)示。⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的值，其中直接標(biāo)出的有起點(diǎn)(或)，終點(diǎn)或)；根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)即實(shí)軸上的分離點(diǎn)()；與虛軸的交點(diǎn)（）。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析和綜合。48例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

解⑴該系統(tǒng)的特征方程為

這是一個(gè)三階系統(tǒng)，由規(guī)則一知，該系統(tǒng)有三條根軌跡在S平面上。三、繪制根軌跡圖示例⑵由規(guī)則二知，三條根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的。⑶根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即由于沒有開環(huán)零點(diǎn)（m=0）,

三條根軌跡的終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。49

當(dāng)k=0時(shí)

當(dāng)k=1時(shí)

當(dāng)k=2時(shí)⑷由規(guī)則四知，可求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。50⑸由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上到的線段和由至實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段。⑹由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）應(yīng)是方程

解的合理值，即得由于不在實(shí)軸的根軌跡上，應(yīng)舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為。⑺無復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在出射角和入射角。⑻由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。用代入特征方程得51解虛部方程得其中是開環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為將代入實(shí)部方程得到對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-11所示。⑻由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。用代入特征方程得52圖4-11例4-7系統(tǒng)根軌跡圖53

解⑴這是一個(gè)二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡。⑵由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)和一對(duì)開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極,因此，根軌跡的起點(diǎn)為和，其終點(diǎn)為和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。⑶由規(guī)則五知，實(shí)軸上由-2至-∞的線段為實(shí)軸上的根軌跡。例4-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。⑷由規(guī)則六，可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是54

即解方程可得不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍去，實(shí)際的分離點(diǎn)為。⑸由規(guī)則七，可求出開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的出射角。它們是55

證明已知系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點(diǎn)，由繪制根軌跡的相角條件可得

將s、、和代入得即應(yīng)用三角公式⑹為了準(zhǔn)確地畫出S平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相角條件可證明本系統(tǒng)在S平面上的根軌跡是一個(gè)半徑為，圓心位于點(diǎn)的圓弧。56

將上式等號(hào)左邊合并可得到

將上式等號(hào)兩邊取正切，則有

方程表示在S平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位于點(diǎn)、半徑為的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖4-12所示。57圖4-12例4-8系統(tǒng)的根軌跡圖

58

由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。59

例4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解⑴由已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的特征方程為由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)的根軌跡共有4條分支（n=4），4條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。⑵由規(guī)則三知，4條根軌跡的起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的4個(gè)開環(huán)極點(diǎn),即，。由于系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)（m=0），4條根軌跡的終點(diǎn)均在S平面的無窮遠(yuǎn)處（無窮零點(diǎn)）。60

漸近線與實(shí)軸正方向的交角為當(dāng)k=0時(shí)，

當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)k=3時(shí)，⑶由規(guī)則四可求出4條根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為61

⑷由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到-2的線段。⑸由規(guī)則六可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是

即解方程得到三個(gè)根，它們是

不在實(shí)軸上的根軌跡上，不是分離點(diǎn)；和在實(shí)軸根軌跡上，它們是根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)的合理值，即和是兩個(gè)分離點(diǎn)。⑹由規(guī)則七可求出復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的出射角62

⑺該系統(tǒng)為4階系統(tǒng)，用解析法求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值比較困難。下面采用勞斯判據(jù)求出和的值。根據(jù)系統(tǒng)的特征方程列出勞斯表如下：

16440500

令勞斯表中行的首項(xiàng)系數(shù)為零，求得，由行系數(shù)寫出輔助方程為令，并將代入輔助方程可求出。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-13所示。63圖4-13例4-9系統(tǒng)的根軌跡圖64§4-3廣義根軌跡

前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個(gè)系統(tǒng)參數(shù)(如時(shí)間節(jié)數(shù)、反饋系數(shù)等)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根軌跡)。下面先看—個(gè)例子。一.

參數(shù)根軌跡65例4-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。

解⑴系統(tǒng)的特征方程是或用去除等式兩邊得66

令（4-35）則有（4-36）我們稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時(shí)間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。67⑵系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，即；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m=3,極點(diǎn)數(shù)n=2，即m＞n。我們在前面已經(jīng)指出，這種情況在實(shí)際物理系統(tǒng)中一般不會(huì)出現(xiàn)，然而在繪制參數(shù)根軌跡時(shí)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況。68

與n＞m情況類似，這時(shí)我們認(rèn)為有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。因此，本例的三條根軌跡的起點(diǎn)(T=0)分別為，和無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。由規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上-1至-∞線段。由規(guī)則六可求出兩個(gè)等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角分別為69

由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用代入特征方程得由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為解虛部方程得的合理值為，代入實(shí)部方程求得秒，所以為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。70圖4-14例4-10系統(tǒng)的根軌跡圖71

最后繪制出以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡圖如圖4-14所示。由根軌跡圖可知，時(shí)間常數(shù)秒時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T>1秒時(shí)，根軌跡在S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可知，參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益對(duì)系統(tǒng)性能的影響是很方便的。由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個(gè)步驟：⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，使與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式，即72其中為除開環(huán)根軌跡增益以外的任何參數(shù)，它是繪制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù)。⑵然后根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。（4-37）73

二正反饋系統(tǒng)的根軌跡

正反饋系統(tǒng)的特征方程是（4-38）即（4-39）由此可得到繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件分別為（4-40）（4-41）比較式（4-40）和式（4-13）知，正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)繪制根軌跡的幅值條件相同；74

比較式（4-41）和式（4-14）知，負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時(shí)，須對(duì)前面介紹的繪制負(fù)反饋系統(tǒng)普通根軌跡的七條基本規(guī)則中與相角條件有關(guān)的三條規(guī)則作相應(yīng)修改，它們是：⑴對(duì)規(guī)則四應(yīng)修改為：正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)為（4-42）75

⑵對(duì)規(guī)則三應(yīng)修改為：正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)零點(diǎn)和開環(huán)實(shí)極點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。⑶對(duì)規(guī)則六應(yīng)修改為：正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為

下面通過示例進(jìn)一步說明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。76例4-11已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與例4-7相同。由修改后的規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。

由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。

77

在例4-7中，由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個(gè)，即和，對(duì)于例4-7的負(fù)反饋系統(tǒng)，是根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)的合理值，因?yàn)樗菍?shí)軸上根軌跡上的一點(diǎn)；不在實(shí)軸的根軌跡上，故在例4-7中被舍去。這種情況在本例中正好相反，由于是正反饋系統(tǒng)，實(shí)軸上的根軌跡改變了，在實(shí)軸的根軌跡上，它是根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)（分離點(diǎn)）的合理值，而不在實(shí)軸的根軌跡上，應(yīng)舍去。由此可見，雖然規(guī)則五沒有改變，但在確定分離點(diǎn)時(shí)，應(yīng)考慮規(guī)則三變化的影響。78

本例無共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)，不存在起始角和終止角問題，根軌跡與虛軸也無交點(diǎn)。本例的根軌跡如圖4-16所示。由圖4-16可看出，三條根軌跡中，有一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)全部位于S平面右半部，這就意味著無論為何值，系統(tǒng)都存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)，該正反饋系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。而有相同開環(huán)傳遞函數(shù)的負(fù)反饋系統(tǒng)(例4-7，圖4-1l)，它的臨界軌跡增益，即當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知，在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。79圖4-16正反饋系統(tǒng)的根軌跡80三非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

所謂非最小相位系統(tǒng)，是指那些在S平面右半部有開環(huán)極點(diǎn)和（或開環(huán)零點(diǎn)）的控制系統(tǒng)。所有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于S平面左半部的系統(tǒng)叫最小相位系統(tǒng)。本章前面介紹的示例都是最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)一詞源于對(duì)系統(tǒng)頻率特性的描述，即在正弦信號(hào)的作用下，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），最小相位系統(tǒng)的相位移最小，而非最小相位系統(tǒng)的相位移大于最小相位系統(tǒng)的相位移。81

例4-12已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解該系統(tǒng)有一位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)（），是非最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)特征方程的最高階次是4，由規(guī)則一、二知該系統(tǒng)有四條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡。四條根軌跡的起點(diǎn)分別是它的四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，82

根軌跡的一個(gè)終點(diǎn)是它的有限開環(huán)零點(diǎn)，即，其余三個(gè)終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處（無限零點(diǎn)）。由規(guī)則四知，根軌跡的三條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是60°(k=0),180°(k=1)和-60°(k=2)。83

由規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是由0至1線段和-1至-∞線段。由規(guī)則五的分離點(diǎn)方程可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)，即由方程

得，解極值方程得到4個(gè)根分別為，，顯然，和為根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)的合理值，即和為根軌跡的分離點(diǎn)。

84

由規(guī)則六可求出共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的起始角分別為根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。最后繪制出該系統(tǒng)的根軌跡如圖4-17所示。該非最小相位系統(tǒng)除了有位于S平面右半部的開環(huán)零、極點(diǎn)外，其繪制根軌跡的規(guī)則和步驟與最小相位系統(tǒng)完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)，在繪制根軌跡時(shí)應(yīng)遵循第四節(jié)介紹的0°相角條件。85圖4-17非最小相位系統(tǒng)的根軌跡86設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

根軌跡方程與正反饋系統(tǒng)的一樣，其幅值條件和相角條件分別為87§4-4系統(tǒng)性能分析

自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，其動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布，是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統(tǒng)特征方程的根。解析法雖然比較精確，但對(duì)四階以上的高階系統(tǒng)是很困難的。88

根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某—個(gè)和某些參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡單的作圖和計(jì)算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響趨勢。這對(duì)分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過示例簡要介紹用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法。89例4-13已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

解⑴先根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。系統(tǒng)的特征方程是或90

由規(guī)則一、二知該系統(tǒng)有四條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡，起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即，，，；且四條根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)處。由規(guī)則三知實(shí)軸上的根軌跡是由0至-1線段和由-2至-3線段。由規(guī)則四可求出四條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為-1.5，它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是和。

由規(guī)則六可求出根軌跡與實(shí)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（分離點(diǎn)）分別為，。91

由勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，先根據(jù)特征方程列出勞斯表

111660100

0由行的首項(xiàng)系數(shù)求得，用和代入行輔助方程得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為。繪制出根軌跡的大致圖形如圖4-18所示。92⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析由根軌跡圖知，四條根軌跡中有兩條從S平面左半部穿過虛軸進(jìn)入S平面右半部，它們與虛軸的交點(diǎn)，且交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益。由開環(huán)根軌跡增益與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K之間的關(guān)系可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)放大系數(shù)因此，該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K小于。⑶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)首先用作圖法求出滿足阻尼比時(shí)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)、的位置（假定、滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件）。方法是作等阻尼比線oA，使oA與實(shí)軸負(fù)方向的夾角（如圖4-18所示）。93圖4-18例4-13的根軌跡圖94等阻尼比線oA與根軌跡的交點(diǎn)即為滿足阻尼比系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)（即系統(tǒng)特征方程的一個(gè)根）。測得在S平面上的坐標(biāo)位置為,由根軌跡的對(duì)稱性得到另一共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。由幅值條件可求出閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益為將、和代入特征方程，由根和系數(shù)之間關(guān)系很容易得到另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)、，它們也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其結(jié)果是由此可計(jì)算出95共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸的距離是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸的距離的九倍，且閉環(huán)極點(diǎn)附近無閉環(huán)零點(diǎn)，這說明、滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件。

該系統(tǒng)可近似地簡化成由閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)96過渡過程時(shí)間超調(diào)量峰值時(shí)間

由此可求出系統(tǒng)的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)如下：過渡時(shí)間的振蕩次數(shù)97⑴根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。⑵由根軌跡在S平面上的分布情況分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于S平面左半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；如根軌跡有一條（或一條以上）的分支全部位于S平面的右半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益如何改變，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的；如果有一條（或一條以上）的根軌跡從S平面的左半部穿過虛軸進(jìn)入S平面的右半部（或反之），而其余的根軌跡分支位于S平面的左半部，則說明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定系統(tǒng)，即當(dāng)開環(huán)根軌道增益大于臨界值時(shí)系統(tǒng)便由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（或反之）。通過上面的示例可以將用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的方法和步驟歸納如下：98在這種情況下，關(guān)鍵是求出開環(huán)根軌跡增益的臨界值。這為我們分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)提供了選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)的依據(jù)和途徑。⑶根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的要求和系統(tǒng)的根軌跡圖分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。對(duì)于一階、二階系統(tǒng)，很容易在它的根軌跡上確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)于三階以上的高階系統(tǒng)，通常用簡單的作圖法（如作等阻尼比線等）求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)（如果存在的話），將高階系統(tǒng)近似地簡化成由主導(dǎo)極點(diǎn)（通常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）構(gòu)成的二階系統(tǒng)，最后求出其各項(xiàng)性能指標(biāo)。這種分析方法簡單、方便、直觀，在滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件時(shí)，分析結(jié)果的誤差很小。如果求出離虛軸較近的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)不滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件，如它到虛軸的距離不小于其余極點(diǎn)到虛軸距離的五分之一或在它的附近有閉環(huán)零點(diǎn)存在等，這時(shí)還必須進(jìn)一步考慮和分析這些閉環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)的影響。99二.附加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

1.附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

例4-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（a＞0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-19所示。由于根軌跡的兩條分支全部位于S平面的右半部，故該系統(tǒng)無論為何值都是不穩(wěn)定的。100圖4-19原系統(tǒng)的根軌跡101⑵如果給原系統(tǒng)增加一個(gè)負(fù)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)（b＞0），則開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)b＜a時(shí)，根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，它們與實(shí)軸正方向的夾角分別為90°和-90°，三條根軌跡均在S平面左半部（如圖4-20（a）所示）。這時(shí)，無論開環(huán)根軌跡增益為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)b＞a時(shí)，根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，這時(shí)根軌跡的形狀如圖4-20（b）所示，與原系統(tǒng)相比較，雖然根軌跡的形狀發(fā)生了變化，但仍有兩條根軌跡全部位于S平面右半部，系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定的。102圖4-20(a)附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響103圖4-20(b)附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK2ab-b-a-b＞a0104

由上面的分析可以看出，附加開環(huán)零點(diǎn)可使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)，但附加零點(diǎn)的取值要適當(dāng)，否則便達(dá)不到預(yù)期的目的。下面我們再看一個(gè)例子。例4-15已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（）

試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21所示，由圖4-21可看出，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益時(shí)，該系統(tǒng)有兩條根軌跡進(jìn)入S平面右半部成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。105圖4-21例4-15原系統(tǒng)根軌跡106

⑵給原系統(tǒng)增加一附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)（），系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為n=3，m=1；n-m=2。因此根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別為90°和-90°，兩條漸近線垂直于實(shí)軸，它們與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)位置視附加零點(diǎn)的取值而改變，分別討論如下。107

（?。┊?dāng)時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

漸近線位于S平面右半部，根軌跡如圖4-22（a）所示。比較原系統(tǒng)的根軌跡（圖4-21），雖然右邊兩條根軌跡形狀發(fā)生了變化，但它們?nèi)赃M(jìn)入了平面右半部，當(dāng)時(shí)(為增加了開環(huán)零點(diǎn)后的開環(huán)根軌跡與虛軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界值)，系統(tǒng)仍是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。108圖4-22(a)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響109（ⅱ）當(dāng)時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

漸近線位于S平面左半部，根軌跡如圖4-22（b）所示。此時(shí)系統(tǒng)的三條根軌跡全部位于S平面左半部，無論為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的系統(tǒng)。（ⅲ）當(dāng)時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)也小于零，根軌跡如圖4-22（c）所示。110圖4-22(b)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響111圖4-22(c)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響112

比較圖4-22（b）和4-22（c）會(huì)發(fā)現(xiàn)，前者的漸近線離虛軸的距離較后者近。因此，雖然從系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度看，二者是一樣的，即無論為何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。但從簡化系統(tǒng)以便于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能的角度看，條件（ⅱ）所對(duì)應(yīng)的圖4-22（b）則優(yōu)于條件（ⅲ）所對(duì)應(yīng)的圖4-22（c）。這是因?yàn)閳D4-22（b）右邊兩條進(jìn)入復(fù)平面的根軌跡離虛軸較近，容易在其上面找到一對(duì)滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（對(duì)應(yīng)），這時(shí)便可將系統(tǒng)簡化成閉環(huán)傳遞函數(shù)為的二階系統(tǒng)，而圖4-22（c）所示系統(tǒng)不能滿足這樣的簡化條件。113如圖4-22（c）所示，如果、、分別為對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，由于＞，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、不滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件，系統(tǒng)不能簡化成二階系統(tǒng)。但如果圖4-22（c）中，閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)到虛軸的距離比閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到虛軸的距離小五倍以上，也可將系統(tǒng)簡化為由閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)決定的一階系統(tǒng)。綜上分析，我們可以得到如下兩點(diǎn)結(jié)論：114

⑴附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)具有將S平面上的根軌跡向左“拉”的作用，且附加零點(diǎn)愈靠近虛軸，這種“拉力”愈強(qiáng)，反之亦然。因此選擇合適的附加零點(diǎn)有可能將系統(tǒng)的根軌跡從平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。⑵適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，不僅可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和簡化系統(tǒng)的分析。如上例中滿足條件（ⅱ）的附加零點(diǎn)可使三階系統(tǒng)簡化成由主導(dǎo)極點(diǎn)、所確定的二階系統(tǒng)，適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，就可以使由、所確定的二階系統(tǒng)滿足響應(yīng)速度和阻尼比的要求，這在工程實(shí)踐上是很有用的。115例4-16已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（a＞0）

其中為附加開環(huán)極點(diǎn)，試分別繪制原系統(tǒng)（無附加開環(huán)極點(diǎn)）和a=0.5、a=2和a=6時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖。

2附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

增加開環(huán)極點(diǎn)會(huì)使系統(tǒng)的階次升高，一般來說這是不希望的。但有時(shí)為了改善系統(tǒng)的某項(xiàng)性能指標(biāo)（如限制頻帶寬度或減小穩(wěn)態(tài)誤差），附加開環(huán)極點(diǎn)也不失為一種有效途徑。下面通過一個(gè)示例分析附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。116

解根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則，將無附加開環(huán)極點(diǎn)的原系統(tǒng)和不同附加開環(huán)極點(diǎn)（不同a值）所對(duì)應(yīng)的根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果列入表4-1中其對(duì)應(yīng)的根軌跡圖分別如圖4-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。由四個(gè)根軌跡圖可以看出，附加開環(huán)極點(diǎn)的大小不同（即不同的a值）對(duì)根軌跡的形狀會(huì)產(chǎn)生很大的影響，即開環(huán)極點(diǎn)（同樣也包括開環(huán)零點(diǎn)）在S平面上位置的微小變化，有可能引起根軌跡形狀的重大變化，這一點(diǎn)務(wù)必給予足夠的重視。正是這種根軌跡形狀的變化為系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供了多種選擇的可能。117表4-1例4-16計(jì)算結(jié)果a項(xiàng)目無附加開環(huán)極點(diǎn)a=0.5a=2a=6起點(diǎn)

終點(diǎn)118漸近線交點(diǎn)：交角：、交點(diǎn)：交角：、交點(diǎn)：交角：、交點(diǎn)：交角：、

根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)

無

實(shí)軸上的根軌跡0→-∞0→-0.50→-20→-6

出射角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)119圖4-23(a)例4-16題圖(附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響)120圖4-23(b)例4-16題圖(附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響)121圖4-23(c)例4-16題圖(附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響)j1122圖4-23(d)例4-16題圖(附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響)123

1.反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖所示，試畫出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡在和兩種情況下的大致根軌跡，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課堂練習(xí)R(s)C(s)_1242.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡,并由根軌跡分析系統(tǒng)的性能；（2）求出當(dāng)時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并說明響應(yīng)有無超調(diào)。1251.解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，

當(dāng)時(shí)，閉環(huán)特征方程為按相角條件繪制根軌跡。根軌跡分布在實(shí)軸上，

126當(dāng)時(shí)，閉環(huán)特征方程為其幅值條件和相角條件與正反饋系統(tǒng)的相同，故應(yīng)按零度根軌跡的規(guī)則作圖。

實(shí)軸上的根軌跡為，復(fù)平面上的根軌跡為一圓。

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及交點(diǎn)處的值可由勞斯判據(jù)求得。

127128系統(tǒng)的根軌跡在復(fù)平面上的一部分是一個(gè)以有限零點(diǎn)-1為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的圓分離點(diǎn)的坐標(biāo)為，相應(yīng)的值為可由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和振蕩性。129

時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對(duì)于單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為其拉氏反變換為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-2，-5。系統(tǒng)雖無振蕩特性，但由于系統(tǒng)存在的零點(diǎn)，所以響應(yīng)有超調(diào)現(xiàn)象。

當(dāng)時(shí)間為0.4秒時(shí)，超調(diào)量為%?？捎?/p>

求得

的最大值和對(duì)應(yīng)的時(shí)間。130§4–5應(yīng)用MAT