錐體的體積計(jì)算的探討第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了通過祖恒原理來探求柱體的體積公式，你還記得嗎？祖恒原理是什么？柱體體積公式是什么？考考你第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。祖恒原理第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二兩個(gè)等底面積等高的柱體，由祖恒原理知，它們的體積相等，所以有問題：對(duì)比柱體體積公式的推導(dǎo)及結(jié)論，猜想一下錐體體積應(yīng)該如何計(jì)算？是否與柱體體積具有相似的結(jié)論？第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS取任意兩個(gè)錐體，它們的底面積為S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面積始終相等＝兩個(gè)錐體體積相等第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS設(shè)截面和頂點(diǎn)的距離是h1，截面面積分別是S1\S根據(jù)祖搄原理，這兩個(gè)錐體的體積相等。證明：取任意兩個(gè)錐體，設(shè)它們的底面積為S，高都是h。把這兩個(gè)錐體放在同一個(gè)平面α上，這是它們的頂點(diǎn)都在和平面α平行的同一個(gè)平面內(nèi)，用平行于平面α的任一平面去截它們，截面分別與底面相似，第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二錐體的體積應(yīng)該如何計(jì)算呢？+=先補(bǔ)后割=第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二與三棱柱相對(duì)照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA1先補(bǔ)后割or先割后補(bǔ)第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二與三棱柱相對(duì)照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA1C1B1（先補(bǔ)后割）把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)三棱柱。第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二連接B1C,然后把這個(gè)三棱柱分割成三個(gè)三棱錐。ABCA1C1B1１23

就是三棱錐1和另兩個(gè)三棱錐2、3。猜測三棱錐的體積公式:

第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二猜測三棱錐的體積公式:

三棱錐1、2的底△ABA’、△B’A’B的面積相等，高也相等（頂點(diǎn)都是C）。三棱錐2、3的底△BCB1、△C1B1C的面積相等。高也相等（頂點(diǎn)都是A1）。ABCA1C1B1１23第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二V1＝V2＝V3＝V三棱柱猜測:如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝V三棱柱=ShABCA11CA1C1B13BCA1B12第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝Sh定理證明：已知：三棱錐1（A1-ABC）的底面積S,高是h.求證:V三棱錐＝Sh證明:把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，然后把這個(gè)三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，就是三棱錐1和另兩個(gè)三棱錐2、3。三棱錐1、2的底△ABA1、△B1A1B的面積相等，高也相等（頂點(diǎn)都是C）；三棱錐2、3的底△BCB1、△C1B1C的面積相等，高也相等（頂點(diǎn)都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱錐?！遃三棱柱＝Sh?！郪三棱錐＝Sh。ABCA1C1B1１23第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例1.在三棱錐V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角均為60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVO(2)求三棱錐的高.(3)求三棱錐的體積.

(1)求證：O是△ABC的內(nèi)心.第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二OD為VD在平面ABC內(nèi)的射影,根據(jù)三垂線定理,得VD⊥AB.于是∠VDO為側(cè)面VAB與底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）連結(jié)CO并延長交AB于D,過O在平面ABC內(nèi)分別作AC、BC的垂線,F、E為垂足.連結(jié)VD、VF、VE.AEOFDB因?yàn)閂O⊥平面ABC,CD⊥AB,顯然OD=OE=OF=VOctg60o,即點(diǎn)O到△ABC三邊距離相等.因此O是△ABC的內(nèi)心.第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二CVEOFDAB第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二遇到簡單的求錐體體積的題目，我們可以直接運(yùn)用錐體體積公式來求，但如果遇到復(fù)雜一點(diǎn)的問題，我們就不好直接通過公式來求了，這時(shí)候，我們就應(yīng)該轉(zhuǎn)換一下思想，運(yùn)用間接的方式，或許會(huì)簡單很多。第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例2：如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，求三棱錐B'-ACD'的體積。分析：求三棱錐B'-ACD'的體積，用直接法可能會(huì)比較難算出三棱錐B'-ACD的底面積和高,我們可以轉(zhuǎn)化為求正方體體積減去四個(gè)相等的三棱錐的體積，化繁為簡。圖中三棱錐B'-BAC,B'-CC'D',D'-ACD,A-A'B'C'都可以看作是底面積是正方體一個(gè)面的面積的一半，高為正方體的棱長的椎體，由同底面積和同高而知，四個(gè)三棱錐的體積是相等的，而正方體體積容易知道為(a^3)，故可算出三棱錐B'-ACD'的體積。第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二解：∵三棱錐B‘-BAC,B’-CC‘D’,D‘-A