一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、不解方程的情況下，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判別方程兩根的符號(hào).2、不解方程的情況下，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求方程中待定字母的值或待定字母的取值范圍.復(fù)習(xí)引入不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.學(xué)生自主解答，教師點(diǎn)評(píng)并歸納.歸納：

形如的方程的兩根，與系數(shù)a,b,c的關(guān)系是：也稱為韋達(dá)定理.滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.探索新知1、判別一元二次方程兩根的符號(hào)

例1

不解方程，判別方程

x2+7x+6=0兩根的符號(hào).分析：對(duì)于方程

x2+7x+6=0來(lái)說(shuō)，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)均為已知，據(jù)此可求出根的判別式；但是判別式只能判別根的存在與否，若要確定根的符號(hào)，還需要借助韋達(dá)定理.探索新知解：這里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7<0,

x1x2=6>0.

∴方程有兩個(gè)同為負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)根.探索新知2、利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程中待定字母的值或待定字母的取值范圍.例2

已知方程x2-bx-5=0的一個(gè)根是-1，求它的另一個(gè)根及b的值.

分析：

方法一根據(jù)方程的定義，把已知的根代入原方程，先求出b的值，再通過(guò)解方程求出另一個(gè)根.

方法二利用韋達(dá)定理求出b的值及另一個(gè)根.探索新知解：解法一：

設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=-1.把x1=-1代入原方程中，得b=4,即x2-4x-5=0

利用因式分解得（x+1）（x-5）=0解得x1=-1x2=5答：方程的另一個(gè)根是5，b=4.探索新知解法二：

設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=-1.根據(jù)韋達(dá)定理得：x1·x2=-x2=-5即：x2=5由于x1+x2=-1+5=4得：b=4.答：方程的另一個(gè)根是5，b=4.探索新知例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

探索新知例4：設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即

-8k+4≥0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.

由

x12+x22=4，得

2k2-8k+4=4,

解得

k1=0,

k2=4.

經(jīng)檢驗(yàn)，k2=4不合題意，舍去.總結(jié)常見(jiàn)的求值:

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.歸納練習(xí)鞏固1、已知方程x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.

解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=2x2=-6即：x2=-3由于x1+x2=2-3=-k得：k=1.答：方程的另一個(gè)根是-3，k=1.練習(xí)鞏固2、已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為相反數(shù)，則（）A.b<0B.b=0C.b<0D.c=0

3、已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個(gè)根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.練習(xí)鞏固解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有∴解得：

（2）因?yàn)閗=-7,所以

則：課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系