第頁,共頁第21頁,共21頁第頁,共頁福建省福州市2021屆高三5月二模數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={x∈UA.{1,2}

B.{1,2,3}

C.{4,5,6}

D.{3,4,5,6}2.已知z為復(fù)數(shù)，z2+1=0，則|zA.0

B.1

C.2

D.23.在(x+y+zA.15

B.30

C.36

D.604.某公園設(shè)置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示.如果一張石凳的體積是0.18

m3A.0.196

m3

B.0.216

m3

5.已知log2?aA.a<1<b

B.1<a<b C.6.已知直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A，B兩點.若點CA.-1 B.1

C.2

D.7.經(jīng)多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度v（單位：km/h）（v406090100120Q5.268.3251015.6為描述Q與V的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：Q(v)=0.04v+3.6，Q(v)=0.5v+a，Q(v)=0.000025v3A.在外側(cè)車道以80

km/h行駛

C.在中間車道以95

km/h行駛

8.為了了解疫情期間的心理需求，心理健康輔導(dǎo)員設(shè)計了一份問卷調(diào)查，問卷有兩個問題：①你的學(xué)號尾數(shù)是奇數(shù)嗎？②你是否需要心理疏導(dǎo)？某校高三全體學(xué)生870人參加了該項問卷調(diào)查.被調(diào)查者在保密的情況下擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，回答問題①，否則回答問題②.由于不知道被調(diào)查者回答的是哪一個問題，因此，當(dāng)他回答“是”時，別人無法知道他是否有心理問題，這種調(diào)查既保護(hù)了他的隱私，也能得到誠實的問卷反應(yīng).問卷調(diào)查結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)該校高三學(xué)生中有155人回答“是”，由此可估計該校高三需要心理疏導(dǎo)的學(xué)生人數(shù)約為（

）A.10

B.15

C.29

D.58二、選擇題本題共20分。在每小題出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分。9.已知向量a→=(1,0)，b→=(0,1)，A.a→，c→

B.a→，b→-c→

C.c→，10.已知f(x)=sin?(ωx+φA.函數(shù)y=fx+5π12為偶函數(shù)

B.f(x)的圖象的一個對稱中心為π6,0 C.f11.在棱長為2的正四面體A-BCD中，M為AD的中點，N為BC的中點，則下列說法正確的是（A.MN//CD

B.正四面體A-BCD外接球的表面積等于6π C.MN⊥BC

12.在△ABC中，AB=4，M為AB的中點，且|CAA.動點C的軌跡是雙曲線

B.動點C的軌跡關(guān)于點M對稱 C.△ABC是鈍角三角形

D.△ABC三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知tan?(π-α)=-14.已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，anan15.購買某種意外傷害保險，每個投保人年度向保險公司交納保險費20

元，若被保險人在購買保險的一年度內(nèi)出險，可獲得賠償金50

萬元.已知該保險每一份保單需要賠付的概率為10-5，某保險公司一年能銷售10

萬份保單，且每份保單相互獨立，則一年度內(nèi)該保險公司此項保險業(yè)務(wù)需要賠付的概率約為

?；一年度內(nèi)盈利的期望為

?萬元.(參考數(shù)據(jù)：16.函數(shù)f(x)=x2-10x+26ex，若?x1四、解答題本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b(1)求B；(2)若D是△ABC的外接圓的劣弧AC上一點，且a=3，c=4，AD18.已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明：存在等差數(shù)列bn，當(dāng)n>1時，(2)求an的通項公式19.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥(1)證明：AA1⊥(2)在①AB=AC=1；②BC1與平面ABB1A1所成的角為30°；③異面直線20.某種病菌在某地區(qū)人群中的帶菌率為10%，目前臨床醫(yī)學(xué)研究中已有費用昂貴但能準(zhǔn)確檢測出個體是否帶菌的方法.現(xiàn)引進(jìn)操作易、成本低的新型檢測方法：每次只需檢測x，y兩項指標(biāo)，若指標(biāo)x的值大于4且指標(biāo)y的值大于100，則檢驗結(jié)果呈陽性，否則呈陰性.為考查該檢測方法的準(zhǔn)確度，隨機(jī)抽取50位帶菌者（用“*”表示）和50位不帶菌者（用“+”表示）各做1?附：KP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)從這100名被檢測者中，隨機(jī)抽取一名不帶菌者，求檢測結(jié)果呈陽性的概率；(2)能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“帶菌”與“檢測結(jié)果呈陽性”有關(guān)？(3)現(xiàn)用新型檢測方法，對該地區(qū)人群進(jìn)行全員檢測，用頻率估計概率，求每個被檢者“帶菌”且“檢測結(jié)果呈陽性”的概率.21.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，(1)求C的離心率；(2)當(dāng)a=2時，過(1,0)作與x軸不重合的直線l與C交于M，N兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，試判斷22.(1)若0<a?1，判斷函數(shù)f(2)證明：對任意n?2，n∈

參考答案1.【答案】:D【解析】:【分析】由已知條件求出集合A，再求集合A的補集得解.【解答】由3x?9得x?2從而?故選：D.2.【答案】:C【解析】:【分析】由z=±i【解答】由z2+1=0，得所以|z故選：C.3.【答案】:B【解析】:【分析】運用二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.【解答】因為(x所以[(x+y令r=4，所以C因此xyz4的系數(shù)是故選：B.4.【答案】:B【解析】:【分析】根據(jù)正方體、正四棱錐的體積公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可.【解答】設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3每一個正四面體的體積為：13由題意可知：a3故選：B.5.【答案】:C【解析】:【分析】由log2a=0.5a確定出1<a【解答】因log2a=0.5a>0，則a>1又0.5a=0.2b?12所以b故選：C.6.【答案】:C【解析】:【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直角的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【解答】直線y=x-1與拋物線設(shè)Ax1,點C(-1,m)CA→y1+y所以1+6+1-4-4m+m故選：C.7.【答案】:A【解析】:【分析】首先根據(jù)數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型，再表示W(wǎng)=100v×【解答】由題意，符合的函數(shù)模型需要滿足在40?v?120，v都可取，且由表可知，∴Q若選擇Q(v)=0.04v+3.6，則Q(90)=0.04×90+3.6=7.2，若選擇Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v，則Q∵W當(dāng)v=80時，W取得最小值為故選：A.8.【答案】:B【解析】:【分析】根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解即可.【解答】因為當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，回答問題①，所以概率為26因為高三全體學(xué)生870人參加了該項問卷調(diào)查，所以回答問題①的學(xué)生有13因為學(xué)號尾數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，故290人中回答是的人數(shù)為290×1而該校高三學(xué)生中有155人回答“是”，所以估計該校高三需要心理疏導(dǎo)的學(xué)生人數(shù)約為(155-145)÷2故選：B.9.【答案】:AD【解析】:【分析】根據(jù)平面向量基底的性質(zhì)，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解答】A：假設(shè)a→=λc→，則有1=B：b→-c→=(-1,0)，因為aC：a→+b→=(1,1)，因為aD：a→+b→=(1,1)，b→-c→故選：AD.10.【答案】:ABC【解析】:【分析】求出ω、φ，利用余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤，在x∈0,5π6解方程【解答】由題意可知，函數(shù)f(x)的最小正周期為Tf5π12則φ=kπ對于A選項，fx所以，函數(shù)y=fx對于B選項，∵f所以，f(x)的圖象的一個對稱中心為π對于C選項，當(dāng)0?x?所以，函數(shù)f(x)在0,5π對于D選項，當(dāng)-π6?所以，函數(shù)f(x)區(qū)間-π故選：ABC.11.【答案】:BCD【解析】:【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、正四面體的性質(zhì)、球的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解判斷即可.【解答】取BD的中點F，連接NF，因為N為BC的中點，所以NF//假設(shè)MN//CD，所以有MN//NF，顯然與設(shè)正四面體A-BCD外接球的球心為因為AB=AC=BC=2，N因此AN=AB所以有DN=AN，因為M為AD的中點，所以直線MN是AD的垂直平分線，而O是正四面體A-因此正四面體A-BCD外接球的球心在MN上，所以選項設(shè)頂點A在底面的射影為E，顯然O在線段EA上，設(shè)該球的半徑為r，DN=3,因此有：r2所以該球的表面積為：4πr2由上可知：AN⊥BC，DN⊥BC，而所以BC⊥平面ADN，而MN?平面ADN，所以MN⊥故選：BCD.12.【答案】:BD【解析】:【分析】由|CA-CB|=CM聯(lián)想到雙曲線的定義，可以考慮以A,B兩點作為焦點，M為原點作圖，設(shè)CM=r，此時C【解答】以M為原點，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)CM=r，此時C點在以M為圓心，由|CA-CB|=r，知C點在以AB為焦點，a對點C(x,y)有x2+y2=r2，x2r=2時，得到另一個C點C'，此時△ABC∵|CA-CB|非定值，∵|CA-CB|=CM，∴一定有C關(guān)于故選：BD.13.【答案】:2425【解析】:【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得tan?α【解答】因tan(π-sin故答案為：242514.【答案】:2n【解析】:【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式進(jìn)行求解即可.【解答】設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q>0，因為anan因此an而a1a2故答案為：2n15.【答案】:0.63150【解析】:【分析】首先求不需賠付的概率，再求其對立事件，即為需賠付的概率；(2)由條件可知，10萬份保單中需賠付的件數(shù)X～B【解答】每份保單不需要賠付的概率是1-10-5，則10萬分保單不需要賠付的概率p設(shè)10萬份保單中需賠付的件數(shù)，設(shè)為X，則X～B10則E(500000則一年內(nèi)的盈利的期望是20×105-故答案為：0.63；150.16.【答案】:(2,3)(答案不唯一)【解析】:【分析】由條件判斷函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間I內(nèi)上凸，從而由圖象確定f'【解答】在區(qū)間I內(nèi)，fx1+x22>fxf'f''令f''(x所以滿足條件的一個區(qū)間是[2,4]的一個子集，可以是(2,3).故答案為：(2,3)(答案不唯一)17(1)【答案】△ABC中，由正弦定理有b從而sinBsinA因為0<A<π，即sin?A≠0，所以【解析】:利用正弦定理邊化角，再用差角的余弦公式展開化成正切即可得解；(2)【答案】在△ABCb2=a又由于A，B，C，D四點共圓，從而∠ADC在△ADC中，設(shè)DC=x即得13=12+x2-2?1?故DC=3【解析】:利用余弦定理求出邊b，借助圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得∠ADC，最后又由余弦定理建立方程得解18(1)【答案】解法一：當(dāng)n>1時，由an+1化簡得bn+1=2這說明bn是等差數(shù)列，故存在一個等差數(shù)列bn，當(dāng)n>1時，解法二：由已知，當(dāng)n>1時，因為a1=3所以a2=5故令bn=2n-1，則數(shù)列bn此時an=2故存在一個等差數(shù)列bn，當(dāng)n>1時，【解析】:解法一：將an=b解法二：取bn(2)【答案】解法一：依題意，a2又由(1)知a2=b2b所以等差數(shù)列bn的公差所以bn故an解法二：由an+1=2-由a1=3，得所以1a所以1an-1是首項為即1a所以an【解析】:解法一：求得bn的通項公式，代入an=b解法二：化簡遞推關(guān)系為1an+1-1=19(1)【答案】證明：因為AB⊥AC，平面ABC⊥平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC又因為AA1?平面ABB1又因為AB∩AC=A，所以A【解析】:利用面面垂直的性質(zhì)證得AC⊥AA(2)【答案】選擇①②：由(1)知，AA1⊥平面ABC，所以三棱柱因為AC⊥AB，AB=在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C所以∠C1BA1為B在Rt△C1A1B中，C在Rt△ABA1中，AB以A為原點，AB→，AA1→，AC→的方向分別為xB(1,0,0)，C(0,0,1)，B1(1,2所以BA1→=(-1,2,0)，設(shè)平面A1BC由m→?BA1→=0m→設(shè)平面BC1B由n→?BB1→=0n→所以cos?m→,n選擇①③：因為AC⊥AB，AB=AC=1，所以BC=2，由(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，C所以cos?在Rt△ABA1中，因為AB=1，AA1⊥以A為原點，AB→，AA1→，AC→的方向分別為xB(1,0,0)，C(0,0,1)，B1(1,2所以BA1→=(-1,2,0)，設(shè)平面A1BC由m→?BA1→=0m→設(shè)平面BC1B由n→?BB1→=0n→所以cos?m→,n選擇②③；由(1)知，AA1⊥平面ABC，所以三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠C1BA1為B又C1C//A1

A，則異面直線C在Rt△A1BC1中，設(shè)C在Rt△ABA1中，因為A1B=3以A為原點，AB→，AA1→，AC→的方向分別為xB(1,0,0)，C(0,0,1)，B1(1,2所以BA1→=(-1,2,0)，A設(shè)平面A1BC由m→?BA1→=0m→設(shè)平面BC1B由n→?BB1→=0n→所以cos?m→,n【解析】:選擇條件①②或①③，結(jié)合已知求出AA1，選擇條件②③，探求出AB，AC，AA1的關(guān)系，無論選擇哪兩個條件都以A為原點，AB→，AA1→，AC20(1)【答案】解法一：設(shè)A=“從這100名被檢測者中，隨機(jī)抽取一名不帶菌者，檢測結(jié)果呈陽性”根據(jù)統(tǒng)計圖可知在不帶菌者中，檢測結(jié)果呈陽性的有5人，所以P(解法二：設(shè)A=“從這100名被檢測者中，隨機(jī)抽取一名為不帶菌者”，D=“從這100名被檢測者中，隨機(jī)抽取一名檢測結(jié)果呈陽性則“從這100名被檢測者，隨機(jī)抽取一名不帶菌者，檢測結(jié)果呈陽性”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件D發(fā)生”的概率，記為P(根據(jù)題意，P(A)=利用條件概率公式，得P(【解析】:解法一：由統(tǒng)計圖可知，指標(biāo)x的值大于4且指標(biāo)y的值大于100中，“+”有5個，再計算其概率；解法二：利用條件概率計算結(jié)果；(2)【答案】假設(shè)H0：“帶菌”與“檢測結(jié)果呈陽性”可作出2×2列聯(lián)表如下：

陽性陰性合計帶菌351550不帶菌54550合計4060100進(jìn)一步計算得，K2的觀測值k因為PK所以，能夠在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“帶菌”與“檢測結(jié)果呈陽性”有關(guān).【解析】:首先作出2×2列聯(lián)表，再計算K2(3)【答案】設(shè)B=“被檢測者帶菌”，C=“被檢測者檢測結(jié)果呈陽性則BC=“被檢者‘帶菌”且“檢測結(jié)果呈陽性”用頻率估計概率，根據(jù)題意可知：P(B)=0.1所以由條件概率公式可知P(【解析】:設(shè)B=“被檢測者帶菌”，C=“被檢測者檢測結(jié)果呈陽性”21(1)【答案】以O(shè)B為對角線的正方形OPBQ的頂點坐標(biāo)分別為B(a,0)，P因為P，Q在橢圓上，所以a2所以a2所以c2所以橢圓的離心率e=【解析】:由題意可知Pa2,(2)【答案】解法一：當(dāng)a=2時，b=2k1k2①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，則M(1,1)，所以k1=y1x②當(dāng)直線l的斜率存在時