整體把握分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)經(jīng)常思考的6個問題你打算讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么內(nèi)容你能想到與這個內(nèi)容有關(guān)的哪些內(nèi)容為什么說這個內(nèi)容是重要的學(xué)生學(xué)習(xí)這個內(nèi)容的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)是什么學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可能出現(xiàn)哪些困難幫助學(xué)生學(xué)會這個內(nèi)容的策略是什么研究的緣起一二三整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析一、研究的緣起——“有趣”的現(xiàn)象分?jǐn)?shù)的意義不難把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。把整體平均分成了3份，如何能取到4份呢？一共才有3份呀？你是如何理解的?怎么會有假分?jǐn)?shù)的存在？一、研究的緣起——“有趣”的現(xiàn)象1÷3=?分?jǐn)?shù)是一個數(shù)嗎？能表示運算結(jié)果嗎？

1÷3=0.3一、研究的緣起——“有趣”的現(xiàn)象困惑不難學(xué)生到底要理解什么？如何促進學(xué)生的理解？一、研究的緣起——“有趣”的現(xiàn)象二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義史寧中提出理解分?jǐn)?shù)意義的兩個基本方面作為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，參與運算以比的形式出現(xiàn)的數(shù)Kieren的研究提出分?jǐn)?shù)的五個構(gòu)想部分/整體比率商度量運算Dckson,Brown和Gibson提出分?jǐn)?shù)五種形式表達(dá)部分/整體子集/集合數(shù)軸上兩個整數(shù)間的一點除法運算的結(jié)果兩個量的比分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義運算比商測量指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義比指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的意義二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義比指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”從部分與整體的關(guān)系到兩個量之間的關(guān)系小紅小麗部分與整體的關(guān)系整比例關(guān)系（史寧中）分?jǐn)?shù)的意義二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義

測量指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程里面有3個，就是用作為單位測量3次的結(jié)果。分?jǐn)?shù)的意義運算指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程6張紙的是多少張紙？二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義

商指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義

商運算比指部分與整體的關(guān)系和兩個量之間比的關(guān)系

測量指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程二、整體把握分?jǐn)?shù)的意義比測量運算商q兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分餅用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析整體設(shè)計——設(shè)計系列學(xué)習(xí)活動整體定位建構(gòu)多方面理解三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的意義挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)素材學(xué)生作答？？前測設(shè)計意圖：分割線存在與否、圖形的排列方式是否會對學(xué)生產(chǎn)生一定的影響呢？（對一個班的學(xué)生進行了連續(xù)三次的學(xué)生測試）為什么會這樣設(shè)計前測結(jié)果簡要分析：絕大多數(shù)學(xué)生均不能夠從數(shù)量比直接轉(zhuǎn)化為份數(shù)比；所分圖形結(jié)構(gòu)化程度直接影響學(xué)生將數(shù)量比提煉到份數(shù)比。思考：如何使學(xué)生能夠自主建構(gòu)圖形之間的“分割線”？怎樣的教學(xué)活動可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個不斷清晰的結(jié)構(gòu)化的過程，

從而對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識產(chǎn)生進一步的深入理解？前測分析基本上沒有困難，遇到不是整塊數(shù)時，多數(shù)學(xué)生用小數(shù)表示學(xué)習(xí)過程有困難，24人中僅有3人操作后直接寫出，7人通過數(shù)量比（或是擴比）表達(dá)對關(guān)系的理解,有14人出現(xiàn)不同類型的錯誤。學(xué)習(xí)過程

3.能把你剛才幾次分口香糖的情況用圖來畫一畫嗎？

【設(shè)計意圖】是將學(xué)生動手分的活動更加顯性化，讓學(xué)生能夠更加直觀便捷的發(fā)現(xiàn)部分與整體的關(guān)系；當(dāng)學(xué)生在第一次嘗試畫、第二次、第三次自主選擇數(shù)量畫時，希望此積累有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三次分的共性。學(xué)習(xí)過程

4.回頭看看剛才填的表格，現(xiàn)在有沒有新的想法？不會或是有困難

的空格能否試著填一填?

【設(shè)計意圖】當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了動手操作、填表格、畫一畫的過程后，讓學(xué)生靜下來回顧、整理自己的思考過程。

學(xué)習(xí)過程

5.同伴交流、教師指導(dǎo)。（將學(xué)生幾次分的結(jié)果擺放在一起，捂住自己

的一份，感受部分與整體的關(guān)系）

【設(shè)計意圖】

為經(jīng)歷了獨立思考后沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)系的學(xué)生搭建平臺，在合作和教師指導(dǎo)下也能發(fā)現(xiàn)部分與整體的關(guān)系。

學(xué)習(xí)過程具體數(shù)量完全淡化，24人全部發(fā)現(xiàn)了部分與整體的關(guān)系份數(shù)比數(shù)量比畫一畫捂一捂空間的大小、引導(dǎo)的時機決定著學(xué)生能獨立行走多遠(yuǎn)！學(xué)習(xí)過程三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的意義挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)素材學(xué)生作答圈畫？？整體觀察動作表征建立“概念圖像”三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的意義挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)素材學(xué)生作答圈畫整體觀察動作表征建立“概念圖像”？？三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析這一學(xué)習(xí)素材還貫穿于后續(xù)的“用分?jǐn)?shù)表達(dá)結(jié)果”、“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”、“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”及練習(xí)課的教學(xué)中比測量運算商q兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分餅用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析整體設(shè)計——設(shè)計系列學(xué)習(xí)活動整體定位建構(gòu)多方面理解沙發(fā)1個領(lǐng)帶沙發(fā)dm比測量運算商q兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分餅用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析整體設(shè)計——設(shè)計系列學(xué)習(xí)活動1.整體定位建構(gòu)多方面理解請仔細(xì)觀察，找找青蘋果和紅蘋果間存在著什么樣的數(shù)量關(guān)系。青蘋果是紅蘋果的3倍；紅蘋果是青蘋果的多少呢？如果增加1個紅蘋果，現(xiàn)在的紅蘋果是青蘋果的幾分之幾？青蘋果又是紅蘋果的幾分之幾？三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)效果測試學(xué)校及班級選擇：海淀區(qū)三所不同特點的學(xué)校（2所市區(qū)校、1所農(nóng)村校；整體學(xué)習(xí)水平分別為優(yōu)秀、中等和偏弱），每所學(xué)校選擇了實驗班和對照班。三所學(xué)校實驗班的人數(shù)分別為36、34、24人；對照班的人數(shù)分別為35、35、25人。實驗班學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)均等于或略低于對比班的基礎(chǔ)。實驗班和對照班教師的水平基本相當(dāng)。三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析實驗班與對照班對于分?jǐn)?shù)的理解水平相當(dāng)，對照班略強于實驗班三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義實驗班與對照班在分?jǐn)?shù)測量方面得分率分?jǐn)?shù)測量方面的理解明顯好于對照班。三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)的意義實驗班與對照班在分?jǐn)?shù)刻畫兩個量之間關(guān)系方面得分率分?jǐn)?shù)刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系明顯好于對照班。三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生后測三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生后測三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生后測三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生后測分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系方面（圖形擺放不整齊、份數(shù)不明顯）的得分率實驗班的情況要明顯好于對照班，說明整體教學(xué)設(shè)計起到了作用。三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生后測分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系方面（圖形擺放不整齊、份數(shù)不明顯）的得分率畫圖的情況與分?jǐn)?shù)表示的情況基本一致。畫圖的情況明顯好于分?jǐn)?shù)表示。學(xué)生畫圖獲得答案相對比較容易，但不能將畫圖與分?jǐn)?shù)表示聯(lián)系起來。三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分?jǐn)?shù)的意義學(xué)生后測分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系方面（圖形擺放不整齊、份數(shù)不明顯）的得分率無論是實驗班還是對照班，學(xué)生的后測成績都不很高，特別是分得的結(jié)果為假分?jǐn)?shù)的情況，看來學(xué)生理解此類問題還是比較困難的。比測量運算商三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分餅用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義2.設(shè)計挑戰(zhàn)性的、貫穿整個學(xué)習(xí)歷程的素材比測量運算商三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果兩個量之間的關(guān)系刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系分?jǐn)?shù)與除法從“運算”和“商”的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分餅用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果，了解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（一）進一步體會部分和整體的關(guān)系，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識（二）側(cè)重分?jǐn)?shù)的“測量”理解分?jǐn)?shù)的意義3.運用對于分?jǐn)?shù)多方面的理解來解決問題比測量運算商三、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計及學(xué)生學(xué)習(xí)效果分析設(shè)計是否合理——學(xué)生學(xué)習(xí)效果分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)運用學(xué)習(xí)過的對于分?jǐn)?shù)理解的不同方面，加深對分?jǐn)?shù)意義“比”的理解分?jǐn)?shù)的意義3.運用對于分?jǐn)?shù)多方面的理解來解決問題以往教學(xué)，大多把重點放在了通過例子歸納規(guī)律——表達(dá)規(guī)律上，對于解釋為什么一組分?jǐn)?shù)相等采取了比較單一的方式（或者從圖中部分與整體的關(guān)系中直接看出；或者利用商不變的規(guī)律）。本節(jié)課則鼓勵學(xué)生調(diào)動所有對于分?jǐn)?shù)的理解來驗證分?jǐn)?shù)相等，在交流中不同的理解角度正是對于分?jǐn)?shù)多方面意義的再次體會。1.從四個方面來完成對分?jǐn)?shù)意義豐富性的認(rèn)識，即比、測量、運算和商。2.整體設(shè)計了五年級的6節(jié)新授課；設(shè)計挑戰(zhàn)性的、貫穿整個學(xué)習(xí)歷程的素材；運用對于分?jǐn)?shù)多方面的理解來解決問題3.學(xué)生對于復(fù)雜問題下分?jǐn)?shù)“份數(shù)比”的理解、運用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果、分?jǐn)?shù)測量方面的理解、分?jǐn)?shù)刻畫兩個量之間的（整比例）關(guān)系的結(jié)果都明顯好于對照班。4.對于分得的結(jié)果為假分?jǐn)?shù)的情況，學(xué)生理解比較困難。結(jié)論本研究只是一個開始，進一步，系列活動設(shè)計的有效性還需要得到更多群體的檢驗；對于分?jǐn)?shù)的“運算”和“商”的理解還需要加強，是否還有更好的活動促進學(xué)生理解；在小學(xué)階段學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的理解歷程又是怎么樣的，需要更為精細(xì)的個案研究……這些都值得深入研究和實踐下去。CompanyLogo你還能想到什么運算的多種“原型”

加法可以作為合并、移入、增加等的模型；減法可以作為剩余、比較、減少等的模型；

乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計算、倍數(shù)（幾分之幾）、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率等的模型。教材分析3434343434343434學(xué)生調(diào)研調(diào)研對象：五年級48名學(xué)生調(diào)研題目：

小明有6個蘋果，小立的蘋果個數(shù)是小明的，小立有幾個蘋果？他們是否認(rèn)可用6×列式？多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知起點２３２３學(xué)生調(diào)研調(diào)研對象：五年級48名學(xué)生調(diào)研題目：如果列式為6×