所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷！ 放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷！ #求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法歸納目錄一、概述 二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式 1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程 2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程 三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 1、公式法 2、歸納猜想法 3、累加法 4、累乘法 5、構(gòu)造新函數(shù)法（待定系數(shù)法） 6、倒數(shù)變換法 7、特征根法 8、不動(dòng)點(diǎn)法 9、換元法 10、取對(duì)數(shù)法 11、周期法 一、概述在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的作用，同時(shí)，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效的解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。2、倒敘相加法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。3、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個(gè)數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。4、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題。5、方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個(gè)等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡(jiǎn)化了解題過程。二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式第一節(jié)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過程1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(1)可以從等差數(shù)列特點(diǎn)及定義來引入。定義：n>2時(shí)，有an—a(n—1)=d,貝U：a2=a1＋d

a3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3da5=a4+d=a1+4d猜測(cè)并寫出an=?(2)采取累加a2—a1=da3—a2=da4—a3=dan—a(n—1)=d累加后，有：an—a1=(n—1)d,即:an=a1+(n—1)d。2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和:方法一：高斯算法（即首尾相加法）1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=?1+100=101,2+99=101,?:50+51=101,所以原式二50x(1+101)=5050容易進(jìn)行類比，過程如下:+a+a容易進(jìn)行類比，過程如下:+a+a+a++a+a苴中a+a=a+a=a+a1n 2n—1 3n—2若m+n=p+q,貝1a+a=a+am n pq

這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：?jiǎn)栴}是一共有多少個(gè)a1+an，學(xué)生自然想到對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論。（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：?jiǎn)栴}是一共有多少個(gè)a1+an，學(xué)生自然想到對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論。（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：S=aH Fa+aH Fan1 nnr2 2+\n..S=_(a+a)n21n（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):=a+ +a+a+a+ +ai n+i n+i n+ia分析到這里發(fā)現(xiàn)n+12“落單”了，似乎遇到了阻礙，此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生不能放棄，在老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn)，a的角標(biāo)與（a+a）角標(biāo)的關(guān)系n+1 1n2(a1+a)+ann+12(a+a)+1na+an+1 n+1_2 2_從而得到，無論n取奇數(shù)還是偶數(shù)S=n(a+a)

n21n總結(jié)：（1）類比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對(duì)”，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論，思路自然，容易掌握。（2）不少資料對(duì)n取奇數(shù)時(shí)的處理辦法是，當(dāng)討論進(jìn)行不下去時(shí)轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法，進(jìn)而引出倒序相加求和法。

方法二：對(duì)n的奇偶進(jìn)行討論有點(diǎn)麻煩，能否回避對(duì)n的討論呢？接下來給出實(shí)際問題:伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。S=a+aH ba+aTOC\o"1-5"\h\zn1 2 n-1 ns=a+a+/3+j=a十a(chǎn)十十a(chǎn)十a(chǎn)nn n-1 2 1兩式相加得：2S=n(aba)n 1nn\o"CurrentDocument":.S——(a+a)n2 1n總結(jié)：(1)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)也體會(huì)到同一個(gè)問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。(2)倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。(3)在過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法、公式法例1、已知無窮數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，并且a+S=1(neN*)，求｛a｝的通項(xiàng)公n n nn n式？【解析】：JS=1—a，/.a—S—S—a—a，/.a=—a，又a——，n n nb1 nb1 nnnb1 nb1 2n 1 2反思：利用相關(guān)數(shù)列｛反思：利用相關(guān)數(shù)列｛a｝與｛S｝的關(guān)系:nna=S,a=S—S(n>2)與提設(shè)條件，建1 1nn n—1立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.二、歸納猜想法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例2、已知數(shù)列｛a｝中，a=1，a=2a+1(n>2)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n 1 n n—1 n

【解析】：〃=1，a=2a+1(n>2)，/.a=2a+1=3，a=2a+1=7?…1 n n-1 2 1 3 2猜測(cè)a=2n-1(ngN*)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(略)n反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.三、累加法：利用a=a+(a-a)+???(a-a)求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加n1 21 n n-1法是求型如a=a+f(n)的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(f(n)可求前n項(xiàng)和).n+1n例3、已知無窮數(shù)列｛a｝的的通項(xiàng)公式是a=f1]”，若數(shù)列G｝滿足b=1，n n12y n 1n+1 nn(n>1)求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式.n【解析1b1n+1 nn(n>1)求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式.n【解析1b1一一(1'n=1,b-b=5n+1 n2(n>1),/.b=b+(b-b)+-??(b-b)=1+1+...+n1 2 1 n n-1 2(1、n-1 (1、n-1—=2-—i2y\2y反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為a =a+f(n)。n+1 naaa,八~四、累乘法:利用恒等式a=a——…—(a豐0,n>2)求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,n1aaan1 2n-1累乘法是求型如：a=g(n)a的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列g(shù)(n)可求前n項(xiàng)n+1 n積)。例4、已知a=1,a=n(a -a)(ngN*),求數(shù)列｛a｝通項(xiàng)公式.1 n n+1 n n【解析】:=，a=n(a-a),.,.n n+1 nan+1 aaani1= ，又有a=at…一n-(a豐0,n>2)=ann1aaann 12 n-1…2.3.一n1X—X—X…X =n，當(dāng)n=1時(shí)a=1,滿足a=n,..a=n12 n-1 1 n n反思：用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為a =g(n)a.n+1 n五、構(gòu)造新數(shù)列(待定系數(shù)法)：將遞推公式a=qa+d(q,d為常數(shù)，q豐0,d中0)

n+1nn+1n+1通過(〃+x)=q(a+x)n+1n+1dd6dd6=q(an+6)的方法叫構(gòu)例5、已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2a+1(n>2),求｛a｝的通項(xiàng)公式.TOC\o"1-5"\h\zn 1 n n-1 n【解析】：利用(a+x)=2(a+x)，求得a+1=2(a+1),「.｛a+1｝是首項(xiàng)為n n-1 n n-1 na+1=2,公比為2的等比數(shù)列(即a+1=2n,/.a=2n-11 nn反思：構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(a+x)=q(a+x)來構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比n+1 n數(shù)列.ca 1d1 1六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列a=——n-.(c豐0,d中0),取倒數(shù)變成 = +-的形n+1 a+d acacn n+1 n式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時(shí)將數(shù)列]Jj看成一個(gè)新的數(shù)列，即n再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例6、已知數(shù)列｛a ｝ (ngN*)中，a=1,a= an ，求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式.TOC\o"1-5"\h\zn 1 n+1 2a+1 nna 1 1 1 11cf1〕 1,【解析】：將a =一取倒數(shù)得：——=2+—,-.-——--=2,，1—j是以一=1n+1 2a+1 aaaa [aJan n+1 n n+1 n n 111為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.一=1+2(n-1),「.a=.a n 2n-1n反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了。七、特征根法：形如遞推公式為a=pa+qa(其中p，q均為常數(shù))。n+2 n+1 n對(duì)于由遞推公式a=pa+qa，有a=a,a=P給出的數(shù)歹ij｛a｝，方程n+2 n+1 n 1 2 nx2-px-q=0，叫做數(shù)列｛a｝的特征方程。n若弋x2是特征方程的兩個(gè)根,

當(dāng)x豐當(dāng)x豐x時(shí)，數(shù)列Q｝的通項(xiàng)為a

12 n n=AXn-1+BXn-1,

12其中A,B由a「a,a2二B決定(即把a(bǔ)1,a2,xi,x2和n=1,2，代入丫Axn-1+Bx『，得到關(guān)于A、B的方程組);TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)x=x時(shí)，數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)為a=(A+Bn)xn-1，其中A，B由a=a,a=P決定(即12 n n 1 1 2\o"CurrentDocument"把a(bǔ),a,x,x和n=1,2，代入a=(A+Bn)xn-1，得到關(guān)于A、B的方程組)。1212 n 1a=a,a=b求a

12 n例7:數(shù)列 ｛a ｝滿足3a - 5a +2a=a,a=b求a

12 nn n+2 n+1n【解析】由題可知數(shù)列的特征方程是：3x2-5x+2=0。,/x=1,x=—1 2 3,\o"CurrentDocument"/.a=Axn-1+Bxn-1=A+B?(—)n-1。又由a=a,a=b，于是n1 2 3 1 2b=A=b=A=3b-2aB=3(a-b)2故a=3b-2a+3(a-b)(—)n-1n3反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的用已知量a,b表示的值，從而可得數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n八、不動(dòng)點(diǎn)法若A,B中0且AD-BC中。，解x=Ax+D，設(shè)0,P為其兩根Cx+DI、若aWP，數(shù)歹|J｛anu｝是等比數(shù)列；a-PnII、若a=P，數(shù)列｛二—｝是等差數(shù)列。a-an例8、已知數(shù)列｛a例8、已知數(shù)列｛an｝滿足an+1式。7a-2 n ，2a+3na1=2，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公7x—2 3x—1【解析工令x=2x+3，得2x2—4x+2=0，則x=1是函數(shù)f(x)=4x+7的不動(dòng)點(diǎn)。17a—215a—5因?yàn)閍—1二 n -1= n 因?yàn)閚+12a+32a+3nn所以a——1n+12a n+3所以a——1n+12a n+35a—5

n3a+__2:2(1a—1 5n所以數(shù)列{a-n1是以Li12-i=1為首項(xiàng)52、 1 2+ 2)=+a—1a—15，nn2以5為公差的等差數(shù)列，則2=1+(n-1),5，故an2n+82n+3。TOC\o"1-5"\h\z3x—1 7x—2反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)x)=/「的不動(dòng)點(diǎn)，即方程x=2X+3的4x+7 x+1 12 1\o"CurrentDocument"- + —，一…，,{ }……根x-1，進(jìn)而可推出a—1a—1 5，從而可知數(shù)列a—1為等差\o"CurrentDocument"n+1 n n1{——-} {a}的1數(shù)列，再求出數(shù)列a-1的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列n的通項(xiàng)公式。n九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個(gè)新的符號(hào)來表示，從而使遞推數(shù)列看起來更簡(jiǎn)單，更易找到解決的方法。，、 1/例9、已知數(shù)列｛an｝滿足an+1-16(1+4an+-V1+24an)，a1-1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。, 1八 八【解析工令bn-J1+24ali，則\二藥"2-1)故an+1-24(b2+1-1)1,, . c___——、代入an+1=16(1+4an+9+"an"等(b2—1)+b]_L(b2-1)=—[1+4-124n(b2—1)+b]即4bn+1=(bn+3)2因?yàn)閎n=J'+24an>0，故bn+1則2bn+1=bn+3，即bn+1=2\b-3=1(b-3)可化為n+1 2n 1所以｛bn-3｝是以b1一3=J+24al一3=J1+24.一3=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此bn-3=2.(J)n-1=(2)n-2,