8：高考真題解答.在公差為d的等差數(shù)列｛〃/中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.⑴求d,a； (2)若d<0，求IaI+IaI+1aI+A+IaI..等差數(shù)冽｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=aj,且",S2,S4成等比數(shù)列,求｛an｝的通項(xiàng)式.. (2013年高考江西卷(理))正項(xiàng)數(shù)列｛a｝的前項(xiàng)和｛a｝滿TOC\o"1-5"\h\zn n\o"CurrentDocument"足：s2一(n2+n一1)s—(n2+n)=0n n⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a;nn⑵令b=/n7，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為T.證明:對于任意的neN*，都有T<-5\o"CurrentDocument"n(n+2)2a2 n n n64.已知｛an｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,｛bn｝是等比數(shù)列，且a「b,a4+b4=27,S4一b4=10.(I)求數(shù)列｛a｝與｛b｝的通項(xiàng)公式；nn(II)記T=ab+ab+L+ab(neN*)證明：T-8=ab(neN*,n>2).n1122 nn n n-1n-1.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,neN*.(i)求的值；(II)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n6,已知等比數(shù)列｛”的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1M32=9a2a6.(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式._ ｛—｝(II)設(shè)bn=10g3a1+lOg302+L+lOg3an，求數(shù)列盤的前n項(xiàng)和.數(shù)列高考試題匯編.12014?全國卷I(文5)】等差數(shù)列｛an｝的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列，則｛an｝的前n項(xiàng)和S=n

(A)n(n+1)(B)n(n-1)(C)(n+1)(D)2.12014?全國大綱卷（理10）】等比數(shù)歹*"J中，a(A)n(n+1)(B)n(n-1)(C)(n+1)(D)TOC\o"1-5"\h\z項(xiàng)和等于 （ ）A.6 B.5 C.4 D.33.12014?全國大綱卷（文8）】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3,S4=15,則S「（）A.31 B.32 C.63 D.644.12014?北京卷（理5）】設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則"q>1"是"｛an｝"為遞增數(shù)列的（）A充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充分必要條件 D既不充分也不必要條件5.[2014-天津卷（文5）】設(shè)｛aj是首項(xiàng)為4,公差為-1的等差數(shù)列，Sn為其前5.[2014-天津卷（文5）TOC\o"1-5"\h\z若S-S2,S4成等比數(shù)列，則ar( )1(A)2 (B) -2 (C) - (D)--26.12014?福建卷(理3)】等差數(shù)歹必an｝的前n項(xiàng)和S”,若q=2,S3=12,則Ua6=( )A8B.10 C.12 D.147.12014?遼寧卷（文9）】設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,若數(shù)列｛2竽〃｝為遞減數(shù)列，則n（）A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<08.12014?陜西卷（理文4）】根據(jù)右邊框圖，對大于2的整數(shù)N,得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）a=2nna=2(n-1)D.a=2n-1n[2014?重慶卷（理2）】對任意等比數(shù)列｛a｝，下列說法一定正確的是（n

A.aja3，a9成等比數(shù)列Ba2，a3，a6成等比數(shù)列C.a2,a4，a8成等比數(shù)列DR,。6，aA.aja3，a9成等比數(shù)列Ba2，a3，a6成等比數(shù)列C.a2,a4，a8成等比數(shù)列DR,。6，a9成等比數(shù)列10.12014?重慶卷（文2）】在等差數(shù)列｛a｝中，a=2,a+a=10A5B.8C.10nD.1411.12014?全國卷H（文16）】數(shù)列GJ滿足a1n+11-ana=2

212.12014?安徽卷（理12）】數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=13.12014?安徽卷（文12）】如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=2,2，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為AJ過點(diǎn)力作AC的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A作AC的

2 1垂線，垂足為A3；…，以此類推，設(shè)BA=a1AA=a，AA=a，…，AA=a，14.12014?北京卷（理12）】若等差數(shù)列｛an｝滿足<0，則當(dāng)n=時(shí)｛a｝的前n項(xiàng)和最大.n15.12014?天津卷（理11）】設(shè)｛a｝是首項(xiàng)為％,公差為-1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S1，S2,S4成等比數(shù)列，則ai的值為16.【2014?江西卷當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn(文13)】在等差數(shù)列｛a｝中，n取最大值，則d的取值范圍a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn17.12014?廣東卷（理13）】若等比數(shù)列"｝的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2217.12014?廣東卷則lna+Ina+L+Ina18.12014?廣東卷（文13）】等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)且a1a5=4，則loga+loga+loga+loga+loga=題型一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1已知等差數(shù)列｛an｝的前5項(xiàng)和為105,且a10=2a5.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)對任意m￡N*,將數(shù)列｛an｝中不大于72m的項(xiàng)的個數(shù)記為bm.求數(shù)列｛bm｝的前m項(xiàng)和Sm.破題切入點(diǎn)(1)由已知列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解得a1和d,從而求出an.(2)求出bm,再根據(jù)其特征選用求和方法.解(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,前n項(xiàng)和為Tn,由T5=105,a10=2a5,得5a1+5X(5—1)2d=105,a1+9d=2(a1+4d),解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n—1)d=7+7(n—1)=7n(n￡N*).(2)對m￡N*,若an=7nW72m,則nW72m—1.因此bm=72m—1.所以數(shù)列｛bm｝是首項(xiàng)為7,公比為49的等比數(shù)列，故Sm=b1(1—qm)1—q=7X(1—49m)1—49=7X(72m—1)48=72m+1—748.題型二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列｛an｝,前20項(xiàng)和為100,則a7?a14的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在(2)在等差數(shù)列｛an｝中，a1=—2013,其前n項(xiàng)和為Sn,若S1212—S1010=2,則S2013的值為()A.—2011B.—2012C.—2010D.—2013破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7+a14=a1+a20,S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14,然后利用基本不等式.(2)等差數(shù)列｛an｝中，Sn是其前n項(xiàng)和，則Snn也成等差數(shù)列.答案(1)A(2)D解析(1)VS20=a1+a202X20=100,Aa1+a20=10.Va1+a20=a7+a14,Aa7+a14=10.Van>0,Aa7-a14<a7+a1422=25.當(dāng)且僅當(dāng)a7=a14時(shí)取等號.故a7-a14的最大值為25.⑵根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項(xiàng)S11=a1=—2013,公差d=1,故S=—2013+(2013—1)X1=—1,所以S2013=—2013.題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足條件2Sn=3(an—1),其中n￡N*.⑴證明：數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足bn=log3an,若cn=anbn,求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和.破題切入點(diǎn)(1)利用an=Sn—Sn—1求出an與an—1之間的關(guān)系，進(jìn)而用定義證明數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列.⑵由⑴的結(jié)論得出數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式，求出cn的表達(dá)式，再利用錯位相減法求和.(1)證明由題意得an=Sn—Sn—1=32(an—an—1)(n三2),.?.an=3an—1,；.anan-1=3(n三2),又S1=32(a1—1)=a1,解得a1=3,???數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.(2)解由(1)得an=3n,則bn=log3an=log33n=n,；.cn=anbn=n?3n,設(shè)Tn=1?31+2?32+3?33H——Hn—1)?3n—1+n?3n,3Tn=1?32+2?33+3?34H——Hn—1)?3n+n?3n+1..\—2Tn=31+32+33H——H3n—n?3n+1=3(1—3n)1—3—n?3n+1,.??Tn=(2n—1)3n+1+34.總結(jié)提高(1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，一般是已知數(shù)列類型，根據(jù)條件，設(shè)出a1,an,Sn,n,d(q)五個量的三個，知三求二，完全破解.⑵等差數(shù)列和等比數(shù)列有很多相似的性質(zhì)，可以通過類比去發(fā)現(xiàn)、挖掘.⑶等差、等比數(shù)列的判斷一般是利用定義，在證明等比數(shù)列時(shí)注意證明首項(xiàng)a1W0,利用等比數(shù)列求和時(shí)注意公比q是否為1..已知瓜價(jià)為等差數(shù)列，其公差為一2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，n￡N*,則S10的值為()A.-110B.-90C.90D.110答案D解析,.,a3=a1+2d=a1—4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1—16,又Ta7是a3與a9的等比中項(xiàng)，/.(a1—12)2=(a1—4)*(a1—16),解得a1=20.AS10=10X20+12X10X9X(-2)=110.2.(2014?課標(biāo)全國H)等差數(shù)列｛an｝的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列，則｛an｝的前n項(xiàng)和Sn等于()A.n(n+1)B.n(n—1)(n+1)(n—1)2答案A解析由a2,a4,a8成等比數(shù)列，得a24=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),/.a1=2..??Sn=2n+n(n—1)2X2=2n+n2—n=n(n+1)..等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若2s4=S5+S6,則數(shù)列｛an｝的公比q的值為()A.—2或1B.—1或2C.—2D.1答案C解析方法一若q=1,則S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,顯然不滿足2s4=S5+S6,故A、D錯.若q=—1,則S4=S6=0,S5=a5W0,不滿足條件，故B錯，因此選C.方法二經(jīng)檢驗(yàn)q=1不適合，貝U由2s4=S5+S6,得2(1—q4)=1—q5+1—q6,化簡得q2+q—2=0,解得q=1(舍去)，q=-2..(2014?大綱全國)等比數(shù)列｛an｝中，a4=2,a5=5,則數(shù)列｛lgan｝的前8項(xiàng)和等于()A.6B.5C.4D.3答案C解析數(shù)列｛lgan｝的前8項(xiàng)和S8=lga1+lga2H Hlga8=lg(a1?a2 a8)=lg(a1?a8)4=lg(a4?a5)4=lg(2X5)4=4..(2014?大綱全國)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3,S4=15,則S6等于()A.31B.32C.63D.64答案C解析在等比數(shù)列｛an｝中，S2、S4-S2、S6-S4也成等比數(shù)列，故(S4—S2)2=S2(S6—S4),則(15—3)2=3(S6—15),解得S6=63..已知兩個等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,則使得anbn為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得anbn=12(a1+a2n—1)12(b1+b2n—1)=12(2n—1)(a1+a2n—1)12(2n—1)(b1+b2n—1)=A2n—1B2n—1=7(2n—1)+45(2n—1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(n￡N*),故n=1,2,3,5,11時(shí)，anbn為整數(shù).即正整數(shù)n的個數(shù)是5..(2013?課標(biāo)全國I)若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=23an+13,則｛an｝的通項(xiàng)公式是an=答案（一2）n—1解析當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn—Sn—1=23an—23an—1,故2929一1=一2,故an=(—2)n—1..(2014?江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.答案4解析因?yàn)閍8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2—q2—2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1X22=4..(2014?安徽)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)歹人則@=.答案1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3=a1+2d,a5=a1+4d,.,.(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=—1,Z.q=a3+3a1+1=a1—2+3a1+1=1..在數(shù)列｛an｝中，如果對任意n￡N*都有an+2—an+1an+1—an=k(k為常數(shù))，則稱數(shù)列｛an｝為等差比數(shù)列，k稱為公差比.現(xiàn)給出下列問題：①等差比數(shù)列的公差比一定不為零；②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；③若an=—3n+2,則數(shù)列｛an｝是等差比數(shù)列；④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比.其中正確命題的序號為.答案①③④解析若k=0,｛an｝為常數(shù)列，分母無意義，①正確；公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)歹1」，②錯誤；an+2—an+1an+1—an=3,滿足定義，③正確；設(shè)an=a1qn—1(qW0),貝Uan+2—an+1an+1—an=a1qn+1—a1qna1qn—a1qn-1=q，④正確..(2014?課標(biāo)全國1)已知瓜才是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2—5x+6=0的根.⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列｛an2n｝的前n項(xiàng)和.解(1)方程x2—5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,則a4—a2=2d,故d=12,從而a1=32.所以｛an｝的通項(xiàng)公式為an=12n+1.(2)設(shè)｛an2n｝的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知an2n=n+22n+1，貝USn=322+423H——bn+12n+n+22n+1,12Sn=323+424H——bn+12n+1+n+22n+2.兩式相減得12Sn=34+(123H——H2n+1)—n+22n+2=34+14(1—12n—1)—n+22n+2.所以Sn=2—n+42n+1..(2014?北京)已知瓜才是等差數(shù)列，滿足a1=3,a4=12,數(shù)列｛bn｝滿足b1=4,b4=20,且｛bn—an｝為等比數(shù)列.⑴求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.解(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得d=a4—a13=12—33=3,所以an=a1+(n—1)d=3n(n=1,2,…).設(shè)等比數(shù)列｛bn—an｝的公比為q,由題意得q3=b4—a4b1—a1=20—124—3=8,解得q=2.所以bn—an=(b1—a1)qn—1=2n—1.從而bn=3n+2n—1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=3n+2n—1(n=1,2,…).數(shù)列｛3n｝的前n項(xiàng)和為32n(n+1),數(shù)列｛2n—1｝的前n項(xiàng)和為1—2n1—2=2n—1.所以，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為32n(n+1)+2n—1.數(shù)列專題復(fù)習(xí)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念:1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法an+1-an=d(d為常數(shù))或an+1-an=an-a,(n>2)。如設(shè)｛a｝是等差數(shù)列，求證：以b:a「"2+A+.nneN*為通項(xiàng)公式的數(shù)列g(shù))為n n n n等差數(shù)列。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)：a=a1+(n-1)d或a=a+(n-m)d。如(1)等差數(shù)列｛an｝中，aio=30，a20=50，則通項(xiàng)an=(答：2n+10)；(2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是(答:8.<dV3)3n(a+a) n(n—1),3、等差數(shù)列的前n和：S=(二J，S=na+-(--^d。TOC\o"1-5"\h\zn2 n1 21 3 15如(1)數(shù)列｛a｝中，a=a+-(n>2,neN*)，a=-，前n項(xiàng)和S=—-，n n n-12 n2 n2則a1=_,n=_(答：a1=-3,n=10)；(2)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2，求數(shù)列｛Ian1｝的前n項(xiàng)和Tn(答:T112n-n2(n<6,neN*)nIn2-12n+72(n>6,neN*)4、等差中項(xiàng)：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A=早提醒：⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中,涉及到5個元素：4、d、n、an及Sn,其中％、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差為d)；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-3d,a-d,a+d,a+3d，…(公差為2d)5、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d中0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a1+(n-1)d=dn+a「d是關(guān)于n的一. - n(n-1),d,d、次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和S=na+ ―d=n2+(a--)n是關(guān)于n的二次n1 2 2 12

函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)m+n=p+q時(shí)，則有a+a=a+a，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有a+a-2a.如（1）等差數(shù)列｛an｝中，S：18,an+a,+a”廣3,S3-1,則n=（答：27）；（4）若｛an｝、｛bn｝是等差數(shù)列，則伏an｝、｛kan+pbn｝（k、p是非零常數(shù)）、｛a ｝（p,qeN*）、S,S-S,S-S，…也成等差數(shù)列，而｛aan｝成等比數(shù)列;若｛a｝p+nq n2n n3n 2n n是等比數(shù)列，且an>0，則｛lgan｝是等差數(shù)列.如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為。（答:225）（5）在等差數(shù)列｛an｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶一S奇-nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí)，S奇一S偶-a中,S -（2n-1）-a中（這里a中即a）；S奇：S偶-n:（n-1）。如（1）在等差數(shù)列中，S1「22,則a6=（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列｛an）中，奇數(shù)項(xiàng)和為80,偶數(shù)項(xiàng)和為75,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）若等差數(shù)列U｛a｝、｛b｝的前n和分別為A、B,且An--f（n）,則n n nn Bna-(2n-1)an-AnT-f(2n-1).如設(shè)｛a｝與｛b｝是兩個等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和b (2n—1)b B nnn n 2n-1（答：a（答：那么丁- bn（7）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性neN*。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎如（1）等差數(shù)列｛an）中，％-25,S9-S17,問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大并求此最大值。

（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；a2003-a2004<0，則使前n項(xiàng)和（2）若｛“Ja2003-a2004<0，則使前n項(xiàng)和S〉0成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）⑶在等差數(shù)列"｝中，a10<0,%>0，且％>1a10l，Sn是其前n項(xiàng)和，則（ ）A、",A、",S2LS0都小于0，S”,SJ都大于0B、S1,S2LS9都小于0，S20,S21L都大于0C、S1,S2LS5都小于0，S6,S7L都大于0D、S1,S2LS20都小于0，S21,S22L都大于0 （答:B）（8）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究an=bm.二、等比數(shù)列的有關(guān)概念：TOC\o"1-5"\h\z1、等比數(shù)列的判斷方法：定義法/=q（q為常數(shù)），其中q牛0,a中0或a nn，=J（n>2）。陰陽師筆記無彈窗如（1）一個等比數(shù)列｛a｝共有2n+1項(xiàng)，奇aa nn n-15數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則a為____（答：-）；（2）數(shù)列｛a｝中，n+1 6 nS=4ani+1（n>2）且a1=1，若bn=an討-2an，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項(xiàng)：a=a1qn-i或a=aqn-m。如等比數(shù)列｛a｝中，a1+a=66，a2a1=128，前n項(xiàng)和S=126，求n和q.(答:, 1n=6，q=2或2)a(1-qn)a一aq3、等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q=1時(shí)，S=na；當(dāng)qw1時(shí)，S=t =—1n—on1 n1-q 1一q如⑴等比數(shù)列中，q=￡（Z。）的值為（答：2046）；nn=1k=0,S9/，￡（Z。）的值為（答：2046）；nn=1k=0特別提醒：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對q分q=1和q牛1兩種情形討論求解。4、等比中項(xiàng)：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個土%ab。如已知兩個正數(shù)a,b（a中b）的等差中項(xiàng)為A,等比中項(xiàng)為B,則A與B的大小關(guān)系為（答：A>B）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個元素：5、q、n、an及Sn,其中％、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為…，aa aa,,a,aq,aq2…（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為 ，一,aq,aq3,?…q2q q3q因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為q2。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答：15,,9,3,1或0,4,8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)m+n=p+q時(shí)，則有amgan=apgaq,特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有aga-a2.如（1）在等比數(shù)列｛an｝中，a3+a8-124,a4a7=一512，公比q是整數(shù)，則a0=（答:512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，若a5-a6-9,貝U10g3al+10g3a2+L+10g3al0-（答：10）。（2）若｛an｝是等比數(shù)列，則｛Ianl｝、｛ap+/p,qeN*）、｛kan｝成等比數(shù)列；若｛a｝、｛b｝成等比數(shù)列，則｛ab｝、｛a｝成等比數(shù)列；若｛a｝是等比數(shù)列，且公比qw—1,nn nnb nn則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也是等比數(shù)列。當(dāng)q-—1,且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.如（1）已知a>0且aw1,設(shè)數(shù)歹|J｛%｝滿足log%+1-1+log%（neN*）,且%+%+L+%=100，則％1+%+L+%=.(答：100aioo)；(2)在等比數(shù)歹U｛aj中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30=13S10,S10+S30=140，則S20的值為(答：40)(3)若a「0,q>1,則｛an｝為遞增數(shù)列；若a1<0,q>1,則"an)為遞減數(shù)列；若a1>0,0<q<1,則｛an｝為遞減數(shù)列；若a1<0,0<q<1,則｛an｝為遞增數(shù)列；若q<0,則｛an｝為擺動數(shù)列；若q=1,則｛an｝為常數(shù)列.-一-a a , , 八，八(4)當(dāng)q中1時(shí)，S=——qn+ -=aqn+b，這里a+b=0,但a中0,b牛0,n1-q1-q是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn,判斷數(shù)列*an｝是否為等比數(shù)歹上如若｛an｝是等比數(shù)列，且Sn=3，+r，則r=(答：一1)(5)S=S+qmS=S+qnS.如設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q，前n項(xiàng)和為S,m+n m nn m n n若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為(答：一2)(6)在等比數(shù)列｛an｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶=qS奇；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí)，S奇=a1+qS偶.心懷鬼胎小說如果數(shù)列｛a｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛a｝是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列｛an｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn(neN),關(guān)于數(shù)列｛an｝有下列三個命題：①若a=a (neN),則｛a｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若S=an2+bn(a、beR),n n+1 n n則｛a｝是等差數(shù)列；③若S=1-(-1)n,則Ma｝是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號n n n是 (答：②③)三、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、公式法'S(n=1)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"①a二<1 ；n [S-S(n>2)'n n-1②^n｝等差、等比數(shù)列^an｝公式.例已知數(shù)列｛a｝滿足a=2a+3x2n,a=2，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1 n 1 n

aa3 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=2a+3x2n轉(zhuǎn)化為丁一丁=-，說明數(shù)列n+1 n 2n+12n2TOC\o"1-5"\h\z｛設(shè)｝是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a=1+(n-1)3，進(jìn)而求出數(shù)列2n 2n 2｛an｝的通項(xiàng)公式。二、累加法例已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2n+1,a=1，求數(shù)歹ij｛a｝的通項(xiàng)公式。

n n+1 n 1 n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a”討=an+2n+1轉(zhuǎn)化為a”討-a“=2n+1,進(jìn)而求出(aaa])+(a1-a2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得數(shù)列ij｛a｝的通項(xiàng)公式。例已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2x3n+1,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1n 1 n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=a+2x3n+1轉(zhuǎn)化為a-a=2x3n+1,n+1n n+1n進(jìn)而求出a=(aaa1)+(a1-a2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。三、累乘法例已知數(shù)列｛an｝滿足an討=2(n+1)5nxan,a1=3，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系a=2(n+1)5nxa轉(zhuǎn)化為M=2(n+1)5n，進(jìn)而求n+1 nan,aaaaaTOC\o"1-5"\h\z出?"?L?t?2?a，即得數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式。aaaa1 nn-1n-2 21四、取倒數(shù)法例已知數(shù)列｛a｝中，其中a=1,,且當(dāng)nN2時(shí)，a=，1，求通項(xiàng)公式a。n 1 n2a+1 nn-1.-a 1 1 -、、、，，1、□—12n-1解將a=cn1兩邊取倒數(shù)得：一———=2，這說明｛一｝是一個等差數(shù)列,n2a12n-1首項(xiàng)是 1a11公差為2,所以一=1+(n-1)x2=2n首項(xiàng)是 1a1an

五、待定系數(shù)法TOC\o"1-5"\h\z例已知數(shù)歹*a｝滿足a=2a+3x5n,a=6，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1 n 1 n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=2a+3x5n轉(zhuǎn)化為a-5n+1=2(a-5n),n+1 n n+1 n從而可知數(shù)列｛a-5n｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛a-5n｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列nn｛an｝的通項(xiàng)公式。例已知數(shù)列｛a｝滿足a=3a+5x2n+4,a=1,求數(shù)列ij｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1 n 1 n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=3a+5x2n+4轉(zhuǎn)化為n+1 nan+1+5x2n+1+2=3(an+5x2n+2),從而可知數(shù)列｛an+5x2n+2｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛a+5x2n+2｝的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn六、對數(shù)變換法TOC\o"1-5"\h\z例已知數(shù)列U｛a｝滿足a=2x3nxa5,a=7，求數(shù)列ij｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1 n1 n評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an+1=2x3nxa5轉(zhuǎn)化為lgalga+竿(n+1)+黑+母=5(lgan+1 4 16 4lg3 lg3lg2｛lga+與n+ +與｝是等比數(shù)列，n4 16 4+與n+今+與)，從而可知數(shù)列4 16 4一lg3 lg3lg2、進(jìn)而求出數(shù)列｛1ga+~~rn+~T7+一1｝的通項(xiàng)n4 16 4公式，最后再求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。七、迭代法例已知數(shù)列｛a｝滿足a =a3(n+1)2〃,a=5，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+1 n 1 n評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式a=a3(n+1)2nn+1 n. 一、- .lga_ 兩邊取常用對數(shù)得lga=3(n+1)x2nxlga,即 =3(n+1)2n,再由累乘法可推知n+1 nlganlga=

nlglga=

nlgalgalgalgan? n—1?^L? 3? .^2lgalgalga lgan(n-1) n(n-1)?lga=lg53n-ln!-22，從而a=53-'n!221 n八、數(shù)學(xué)歸納法已知數(shù)列｛a已知數(shù)列｛a｝滿足an n+1=a+ 8(n+Dn (2n+1)2(2n+3)28ai=9，求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式。解：由an+1=a+ 8(n+解：由an+1n (2n+1)2(2n+3)2(2n+1)2-1由此可猜測丫-r,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。1 (2*1+1)2-18⑴當(dāng)n"1時(shí),a1二3號二“所以等式成立。7 (2k+1)2-1 ,|(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即a=' : ，則當(dāng)n=k+1時(shí)，k (2k+1)2_, 8(k+1)ak+1-a(2k+1)2(2k+3)2000000由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知，等式對任何neN*都成立。九、換元法例已知數(shù)列｛a｝滿足a=3(1+4a+"+24a),a=1,求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+116 n n1 n解：令b=V；1+24a，則a=g(b2-1)n n n24n故a=:(b2-1)，代入a=3(1+4a+J1+24a)得。。。。。。即4b2=(b+3)2n+124n+1 n+116 n n n+1 n一?一…一― ―—一一一一1一3因?yàn)閎=、：1+24a>0，故b=,1+24a>0則2b=b+3，即b=—b+—,n n n+1 n+1 n+1 n n+12n2可化為b-3=?(b-3),n+1 2n所以｛b-3｝是以b-3=11+24a-3=<1+24x1-3=2為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)n 1 、 1 2列，因此b-3=2(2)n-1=(2)n-2，則b=(2)n-2+3，即J1+24a=(2)n-2+3，得

_2.1. .1. 1丫3(4)n+(2))+3。十、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法①a=pa+q.，②a-pa+qn；@a=pa+f(n)；@a=p-a+q-a.n+1 n n+1 n n+1 n n+2 n+1 n例已知數(shù)列(｝中，a1-1,an+1-2an+3,求數(shù)列(｝的通項(xiàng)公式.【解析】???a【解析】???a+3-2(a+3)/.a+3-4x2n-1na-2n+1—3.n+1【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“an【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“an+1-pan+q”適用于待定系數(shù)法或特征根法:①令a1一九=p(a-X)；②在a-pa②在a-pa+q中令a:.an+1③由a-pa③由a-pa+q得a-pa+q，:.a-a-p(a-a).例已知數(shù)列^a例已知數(shù)列^a｝中，a-1,a-2a+3n，n求數(shù)列1｝的通項(xiàng)公式.n【解析】?【解析】?a-2a+3n，

n-\-l na a./3、人a l-n+1 n—+(一)n，^令 n b2n 2n-1 2 2n-1 n:.b=(bbb1)+(b1-b2)+A+(b2-b)+々-2x(二)--2TOC\o"1-5"\h\z【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“a-pa+qn”通過適當(dāng)變形可轉(zhuǎn)化為:n+1 n“a-pa+q”或“a-a+f(n)n求解.n+1 n n+1 n十一、不動點(diǎn)法例已知數(shù)列U｛a｝滿足a- ,a-2，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+12a+3 1 nn7x-2 3x-1解：令x=--，得2x2-4x+2-0，則x-1是函數(shù)f(x)=-——-的不動點(diǎn)。2x+3 4x+75a-5—n 5a-5—n ，2a+3n所以因?yàn)閍—1———n -1—n+1 2a+3n213(4)213(4)n+112)n+3評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將71+24an的換元為bn,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化, 1, 3 一… 一…b=-b+-形式，從而可知數(shù)列｛b-3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛b-3｝的通項(xiàng)公式，n+1 2n2 n n最后再求出數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式。n四、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和c n（a+a） n（n一1）,1、等差數(shù)列求和公式：S=——1-—1=na+----dn2 1 2(q(q=1)(q豐1)12、等比數(shù)列求和公式：S=1aJ1-q〃）=。］一anq1一q 1一q前n個正整數(shù)的和前n個正整數(shù)的和1+2+3+A+n=n(n+1)

2前n個正整數(shù)的平方和前n個正整數(shù)的立方和公式法求和注意事項(xiàng)-1已知logX前n個正整數(shù)的平方和前n個正整數(shù)的立方和公式法求和注意事項(xiàng)-1已知logX=--，3log312+22+32+A+n2= 6n(n+1)r13+23+33+A+n3=[― -]22(1)弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)n的值；（2）等比數(shù)列公比q未知時(shí)，運(yùn)用前n項(xiàng)和公式要分類。求X+X2+X3+ +xn+—的前n項(xiàng)和.S例設(shè)S=1+2+3+…+n,n￡N*,^f(n)=一一-n——的最大值.n (n+32)Sn+1f(n)=f(n)= S =(n+32)Sn+1— — 4- - 7： 二 n+34+竺--L)2+5050—8 1；.當(dāng)7n―，即n=8時(shí)，f(n)=-七8 max50二、錯位相減法求和這種方法主要用于求數(shù)列｛an?bn｝的前n項(xiàng)和，其中｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比q;然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。例：（2009全國卷I理）在數(shù)列｛a｝中，a=1,a=（1+」）a+竺1n 1 n+1 nn2n（I）設(shè)b=a，求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和Snn n n n…一 aa1Tt1分析：(1)由已知有n11=n+—^b—b=—n+1n2n n+1 n 2n利用累差迭加即可求出數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式：b=2—-L(neN*)n n 2n—1(II)由(I)知a=2n——,「.S=Z(2k——)=Z(2k)—Z上n 2n-1 n 2k-1 2k-1TOC\o"1-5"\h\zk=1 k=1 k=1而X(2k)=n(n+1),又工上是一個典型的錯位相減法模型，2k—1k=1 k=1,Vk/n+2 n+2.易得乙 =4— /.S=n(n+1)+ —42k-1 2n-1 n 2n-1k=1三、 倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1+an).例 求證：Co+3C1+5C2+—+(2n+1)Cn=(n+1)2nn n n n證明：設(shè)s=Co+3C1+5c2+.??+(2