第14章動能定理※

力的功※

質(zhì)點和質(zhì)點系的動能※

動能定理※

結論與討論※

勢力場·勢能·機械能守恒定律※

功率·功率方程·機械效率※

質(zhì)點系普遍定理的綜合應用§14-1力的功a.常力的功b.變力的功FMM1M2S功是代數(shù)量，其國際單位制為

J（焦耳）。c.幾種常見力的功（1）重力的功x

重力作功僅與質(zhì)點運動始末位置的高度差有關，與運動軌跡形狀無關。質(zhì)點系：（2）彈性力的功（3）定軸轉動剛體上作用力的功riAyxzF（4）平面運動剛體上力系的功MiCdrCFidriCd§14-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點的動能質(zhì)點系的動能

動能和動量都是表征機械運動的量，前者與質(zhì)點速度的平方成正比，是一個標量；后者與質(zhì)點速度的一次方成正比，是一個矢量，它們是機械運動的兩種度量。動能與功的量綱相同，也為J。剛體的動能a.平動剛體的動能b.定軸轉動剛體的動能virimiyxzc.平面運動剛體的動能PSdCvCCRvP§14-3動能定理1.質(zhì)點的動能定理2.質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和微分形式。

質(zhì)點系在某一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作功的和積分形式。3.理想約束′FdrOABFOF1dr22F2dr11約束反力作功等于零的約束

理想約束。CPFFN4.內(nèi)力的功zxOyFAFBABrArBFA

和FB

在drA

和drB

上所作之元功:

這一結果表明：當兩點之間的距離發(fā)生變化時，這兩點之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。工程上幾種內(nèi)力作功的情形◆

作為整體考察，所有發(fā)動機的內(nèi)力都是有功力。例如汽車內(nèi)燃機工作時，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功?！?/p>

有相對滑動的兩個物體之間的摩擦力作負功。

對于簡單的剛體系統(tǒng)，將力分為主動力和約束反力，當其為理想約束時，約束反力不作功。例題1已知：摩擦阻力為車重的0.2倍，空車重G0求：G/G0=？lm30°k解：取車研究對象，設彈簧的最大變形為m(1)

車下滑到彈簧壓縮至最大由動能定理得:lm30°k由動能定理得:(2)

車卸料后又彈回原位置，由動能定理得:解得：例題2均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉軸的轉動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPWOW解：取系統(tǒng)為研究對象主動力的功：由動能定理得：將上式對時間求導，并注意vsC例題3已知：

m

，R,f，。

求：

純滾時盤心的加速度。FNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對象s由動能定理得：主動力的功：ⅠⅡM1M2例題6已知：

J1

，J2，R1，R2，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系統(tǒng)為研究對象由運動學可知：主動力的功：由動能定理得：ⅠⅡM1M2將上式對時間求導，并注意:主動力的功：由動能定理得：例題5BACPmgvC解：取桿為研究對象主動力的功：由動能定理得：將方程對時間求導，并注意:解得：BACPmgvC由動能定理得：ABBAO例題6已知：

兩均質(zhì)桿質(zhì)量為m

，長度為l,

輪B質(zhì)量為m

。求：輪B的速度。ABBAO解：取系統(tǒng)為研究對象vBvAAB由運動學可知，AB桿速度瞬心在A點主動力的功：由動能定理得：OBCDArR例題7已知：

重物A質(zhì)量為m1

，滑輪D質(zhì)量不計,鼓輪B半徑r,輪C半徑為R,總質(zhì)量為m2,對其水平軸O的回轉半徑為

。求：輪重物A的加速度。OBCDArR解：取系統(tǒng)為研究對象主動力的功：由動能定理得：svm1gPOACBP例題8已知：輪O質(zhì)量為m，P，f。求：輪O移動距離S時輪的角速度、角加速度。OCBPOACBPFFTFNmg解：取輪O為研究對象主動力的功：由動能定理得：OCBPOACBPFFTFNmg解：取輪O為研究對象主動力的功：由動能定理得：

關于摩擦力的作功

M

功是力與其作用點位移的點乘。這里“位移”并不是力作用點在空間中的位移，而是指受力物體上受力作用那一點的位移。0OFNF§13-4功率·功率方程·機械效率1.功率力的功率－力所作之功對時間的變化率力的功率等于切向力與其作用點速度的標積。

作用在轉動剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉動角速度的標積。2.功率方程質(zhì)點系動能定理的微分形式等式兩邊同除以dt質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。——

功率方程——

輸入功率——

有用功率，輸出功率——

無用功率，損耗功率3.機械效率——

系統(tǒng)的總效率例題9車床電動機的功率P輸入＝5.4kW。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的30％。工件的直徑d＝100mm。求：轉速n=42r/min和

n=112r/min的允許最大切削力。解：車床正常工作時，工件勻速旋轉，動能無變化其中:切削力F與工件在切削力作用點的速度v同向當n=42r/min時當n=112r/min時其中:例題10已知：桿AB質(zhì)量m1，長l，

輪A質(zhì)量為m2，半徑為R。求：=45°點A在初瞬時的加速度。RABBRA

解：取系統(tǒng)為研究對象，在任意角時由運動學可知：系統(tǒng)總動能：m2gm1gDvBvACvCABBRA

m2gm1g系統(tǒng)的總功率：代入功率方程：注意到

和vA

都是t的函數(shù)，且有：BRA

m2gm1g注意到初瞬時：vA

=0，

==45°§13-5勢力場·勢能·機械能守恒定律1.勢力場

如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為——力場。如果物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌跡形狀無關，這種力場稱為——勢力場（保守力場）。2.勢能

在勢力場中，質(zhì)點從點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能，以V表示為a.重力場中的勢能b.彈性力場中的勢能取M0為零勢能點，則點M的勢能為：取彈簧自然位置為零勢能點，則有：c.萬有引力場中的勢能取無窮遠處為零勢能點，則有：★有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。3.機械能守恒定律●保守系統(tǒng)—僅在有勢力作用下的系統(tǒng)?！?/p>

機械能—系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱?！駲C械能守恒—系統(tǒng)僅在有勢力作用下運動時，其機械能保持恒定。動力學普遍定理動量定理動量矩動量動能定理動量方法能量方法§13-6質(zhì)點系普遍定理的綜合應用動力學兩類問題與分析程序主動力質(zhì)點系運動質(zhì)點系運動動約束力非自由質(zhì)點系一般分析程序：

先避開未知約束力，求解運動量；然后再現(xiàn)在合適的定理，確定動約束力。動力學兩類問題與分析程序需要特別注意自由度的概念，注意分析約束的性質(zhì)確定：系統(tǒng)是單自由度還是多自由度；是一處約束還是多處約束；是理想約束還是非理想約束。

對于具有理想約束，特別是具有多處約束的一個自由度系統(tǒng)，一般先應用動能定理分析運動，然后再采用動量定理或動量矩定理，確定動約束力。

對于具有一處約束的系統(tǒng)，或者雖然具有多處約束的系統(tǒng)，但所要求的是瞬時二階運動量和未知約束力，這時可以聯(lián)合應用動量定理和動量矩定理。

對于二自由度系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)，需要綜合應用動能定理、動量定理、動量矩定理。這種情形下需要特別注意系統(tǒng)的守恒情形。動力學兩類問題與分析程序例題11BO2AO1C均質(zhì)圓輪A和B的半徑均為R，圓輪A和B以及物塊C的質(zhì)量均為m

，斜面的傾角為,圓輪A在斜面上作純滾動。不計圓輪B的軸承的摩擦力。求：1、物塊C的加速度；2、二圓輪之間的繩索所受的拉力；3、圓輪B的軸承約束力；4、斜面和圓輪A間的摩擦力。解：1、確定物塊C的加速度取系統(tǒng)為研究對象1vmgs2BO2AO1Cmg2、取物塊C為研究對象FBCaCmgO2BmgFAB23、取圓輪B為研究對象4、取圓輪A為研究對象AO1mg1FFN例題12均質(zhì)圓盤O放置在光滑的水平面上，質(zhì)量為m，半徑為R，勻質(zhì)細桿OA長為l，質(zhì)量為m。開始時桿在鉛垂位置，且系統(tǒng)靜止。求：桿運動到圖示位置時的角速度。AO30°CAO30°CAO30°C解：取系統(tǒng)為研究對象，因輪置于光滑面上，固其作平動。設其速度為vO。桿轉動的角速度為。對系統(tǒng)整體應用動能定理:由剛體的平面運動分析得:vCAvCmgmgAO30°CAO30°CvCAvCmgmg由系統(tǒng)在水平方向的動量守恒得:將

vO代入動能定理方程可解得:結論與討論※

關于動量和動能的再討論※

正確計算剛體平面運動時的動能※

速度(角速度)分析與動能計算※

關于三個動力學定理的綜合應用※

關于動能定理與機械能守恒※

關于溜溜球與人造衛(wèi)星的溜溜消旋關于汽車驅(qū)動問題的結論

發(fā)動機給出的主動力偶克服阻力和阻力偶作功使汽車的動能增加；與汽車行駛方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力與空氣的阻力使汽車的動量增加。

如果路面很滑，摩擦力很小，發(fā)動機功率再大汽車也只能打滑，而不能向前行駛；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而發(fā)動機不能發(fā)出足夠大的功率，汽車同樣不能向前行駛。運動員跑步時，腳底與地面之間的摩擦力并不作功，其作用是使運動員的動量增加；小腿的肌肉(比目魚肌)收縮產(chǎn)生內(nèi)力而作功，使運動員的動能增加。二者都是運動員跑步前進的驅(qū)動力。應用動能定理時，很重要的是，正確計算系統(tǒng)的動能。特別是正確計算剛體平面運動的動能。因此，要正確應用柯希尼定理。

質(zhì)點系的動能(絕對運動動能)，等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動能(牽連運動動能)與相對于質(zhì)心平移系運動的動能(相對運動動能)之和。正確計算剛體平面運動時的動能ABOxx

均質(zhì)桿AB長度為l、質(zhì)量為m,A端與小圓滾輪鉸接，小圓滾輪的重量不計。廣義坐標q=(x,)。請判斷關于系統(tǒng)動能的下列表達式是否正確：ORr

0C*行星輪機構中，小圓輪的質(zhì)量為m。請判斷關于小圓輪動能的下列表達式是否正確？計算動能必須正確確定速度或角速度。為此需要首先分析運動，進而選擇相應的方法計算速度或角速度。確定速度和角速度的方法

點的運動學分析方法——選擇合適的描述點的運動坐標系，寫出的運動方程或方程組，再將方程或方程組對時間求一次導數(shù)，即得點的速度。

點的復合運動分析方法——正確選擇動點和動系，確定牽連速度、相對速度和絕對速度。

剛體平面運動分析方法——建立在速度合成定理基礎上的基點法、速度投影法、瞬時速度中心法。CAr半徑為r的大圓環(huán)，不計質(zhì)量，繞O軸旋轉。大圓環(huán)上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)A。小圓環(huán)在光滑的大圓環(huán)上自由滑動。怎樣確定小圓環(huán)的速度，進而確定其動能？Oxy動量定理、動量矩定理和動能定理的比較動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關系。整體運動的變化所受的作用力動量定理動能定理動量矩定理動量力(沖量)動量矩力矩動能力的功動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內(nèi)的運動變化問題。動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉化問題。動量定理、動量矩定理的表達式為矢量形式，描述質(zhì)點系整體運動時，不僅涉及有關運動量的大小，而且涉及運動量的方向。動能定理的表達式為標量形式，描述質(zhì)點系整體運動時，不涉及運動量的方向，無論質(zhì)點系如何運動，動能定理只能提供一個方程。動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數(shù)。動能定理的表達式中含有路程參數(shù)。動量定理、動量矩定理的表達式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零)動能定理的表達式中可以包含主動力和約束力，主動力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點系)；對于理想約束，則只包含主動力。分析和解決復雜系統(tǒng)的動力學問題時，選擇哪一個定理的原則是：

1、所要求的運動量在所選擇的定理中能不能比較容易地表達出來；

2、在所選擇的定理表達式中，不出現(xiàn)相關的未知力。對于由多個剛體組成的復雜系統(tǒng)，求解動力學問題時，如果選用動量定理或動量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會涉及求解聯(lián)立方程。如果選用動能定理，對于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開，而直接對系統(tǒng)整體應用動能定理，建立一個標量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。BCAWWk,l0Oxx為求物塊A下降至任意位置(x)時的加速度，可以采用哪一個動力學定理？