近世代數(shù)模擬試題一

一、單項(xiàng)選擇題

1、設(shè)A=B=R(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射9：XTX+2,VXGR,則中是從A

到B的(C)

A、滿射而非單射B、單射而非滿射

C、一一映射D、既非單射也非滿射

3、在群G中方程ax=b,ya=b,a,bWG都有解，這個(gè)解乘法來(lái)說(shuō)是(B)

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)

4、當(dāng)G為有限群，子群H所含元的個(gè)數(shù)與任一左陪集aH所含元的個(gè)數(shù)(C)

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n階有限群G的子群H的階必須是n的(D)

A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正

確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

2、若有元素eGR使每a￡4,都有ae=ea=a,則e稱為環(huán)R的單位元。

3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個(gè)交換環(huán)。

4、偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。

5、一個(gè)集合A的若干個(gè)變換的乘法作成的群叫做A的一個(gè)變換群。

6、每一個(gè)有限群都有與一個(gè)置換群同構(gòu)。

7、全體不等于0的有理數(shù)對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是

1,元a的逆元是］。

a

8、設(shè)/和S是環(huán)R的理想且/=S=如果/是R的最大理想，那么

---5=/?或者5=/——。

9、一個(gè)除環(huán)的中心是一個(gè)-域——o

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)

1234567812345678'

1、設(shè)置換。和7分別為:判斷b和7的奇偶

6417352823187654

性，并把b和7■寫(xiě)成對(duì)換的乘積。

<y=(1653)(247)。為奇置換，r為偶置換

7=(123)(48)(57)

<T=(13)(15)(16)(24)(27)

T=(13)(12)(48)(57)

3、設(shè)集合={0』,2,……,定義Mm中運(yùn)算“”為

a+/?=(a+切("第而?),則(M”，+,“)是不是群，為什么？

答：(％”，+,“)不是群，因?yàn)橹杏袃蓚€(gè)不同的單位元素0和m。

四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)

1、設(shè)G是群。證明：如果對(duì)任意的xwG,有-=e,則G是交換群。

2、假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，廠是一個(gè)包含R的域，那么尸包含R

的一個(gè)商域。

證明：在F里

ab~'=b~'a=—(a,beR,b0)

b

有意義，作F的子集Q={所有，卜力NO)

Q顯然是R的一個(gè)商域

證畢。

近世代數(shù)模擬試題二

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)

備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、

多選或未選均無(wú)分。

1、設(shè)G有6個(gè)元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集(C)是子群。

A、{a}B、{a,e}c、{e,/}D、{e,a,/}

2、下面的代數(shù)系統(tǒng)(G,*)中，(D)不是群

A、G為整數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法

C、G為有理數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法

3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？(B)

A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C>a*b二a+2bD、a*b=|a-b|

4、設(shè)%、%、%是三個(gè)置換，其中6=(12X23)(13),%=(24)(14),4=(1324),

則％=(B)

2

A、criB>cr,cr2C^o^D、cr2

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正

確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

1、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)…變換群……同構(gòu)。

2、一個(gè)有單位元的無(wú)零因子…交換環(huán)-稱為整環(huán)。

3、已知群G中的元素。的階等于50,則/的階等于-25-。

4、a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n,那么G與一Zn模n剩余類加群--同構(gòu)。

7、a叫做域廠的一個(gè)代數(shù)元，如果存在廠的一不都等于零的元一使

得a()+q+a…+ana"=0。

8、a是代數(shù)系統(tǒng)(A,0)的元素，對(duì)任何xeA均成立x。a=x，則稱a為—右單位

)Lio

9、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合G作成一個(gè)群，如果滿足G

對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、…-兩個(gè)消去律成立…。

10、一個(gè)環(huán)R對(duì)于加法來(lái)作成一個(gè)循環(huán)群，則P是?交換環(huán)……o

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)

1、設(shè)集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)},寫(xiě)出H

的所有陪集。

解：H的3個(gè)右陪集為：{1,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}

H的3個(gè)左陪集為：{1,(12)},{(123),(23)},{(132),(13))

2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“?”是數(shù)的乘法，則“?”是E中的運(yùn)算，(E,?)

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，問(wèn)(E,?)是不是群，為什么？

答：(E,?)不是群，因?yàn)?E,?)中無(wú)單位元

3、a=493,b=391,^(a,b),[a,b]^np,q。

(a,b)=17,[a,b]=axb/17=11339o

然后回代：17=102-85=102-(b-3xl02)=4xl02-b=4x(a-b)-b=4a-5b.

所以p=4,q=-5.

近世代數(shù)模擬試題三

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)

備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、

多選或未選均無(wú)分。

1、6階有限群的任何子群一定不是(C)。

A、2階B、3階C、4階D、6階

2、設(shè)G是群，G有(C)個(gè)元素，則不能肯定G是交換群。

A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)

5、設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以與(123)

交換的所有元素有(A)

A、(1),(123),(132)逆元B、(12),(13),(23)

C、(1),(123)D、S3中的所有元素

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正

確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

3、區(qū)間［1,2］上的運(yùn)算ao》={mina,。}的單位元是…2----。

4^可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=-----------24------------------。

5^環(huán)Z8的零因子有——2,4,6---------------。

6、一個(gè)子群H的右、左陪集的個(gè)數(shù)一相等....o

7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的--商群-一。

8、無(wú)零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的--特征……0

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)

1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項(xiàng)鏈，問(wèn)可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？8種

2、Si,S2是A的子環(huán)，則S1C1S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？

因?yàn)镾I,S2是A的子環(huán),故a-b,ab￡Sl和a-b,abGS2,

因而a-b,ab￡SinS2,所以S1CIS2是子環(huán)。

S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：

加=%(2),凡={]卜:卜力eZ>，

易見(jiàn)應(yīng)與S2均為子環(huán)，但s1+s={,；卜九"2卜是子壞

3、設(shè)有置換。=(1345)(1245),T=(234)(456)s56o

1.求u和工-%；

cr=(12534)7=(23456)

crr=(1243)(56)r-lcr=(16524)

(12...”、

22…

T(0-(1)0-(2)...<T(〃)]

crrcr=

卬(左)。也。...

2.確定置換B和rh的奇偶性。

偶置換

四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)

1、一個(gè)除環(huán)R只有兩個(gè)理想就是零理想和單位理想。

證明：假定〃是R的一個(gè)理想而〃不是零理想，那么a*Oe〃，由理想的定義

=因而R的任意元。=b?l

這就是說(shuō)〃=R,證畢。

近世代數(shù)模擬試題四

一、單項(xiàng)選擇題

4.設(shè)Z?是以15為模的剩余類加群，那么，ZQ的子群共有(B)個(gè)。

A.2B.4

C.6D.8

5.下列集合關(guān)于所給的運(yùn)算不作成環(huán)的是(D)

A.整系數(shù)多項(xiàng)式全體Z[x]關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法

B.有理數(shù)域Q上的n級(jí)矩陣全體Mn(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法

C.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“?！保篤m,nez,m°n=O

D.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法vm,neZ,m°n=l

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

6.設(shè)“?”是集合A的一個(gè)關(guān)系，如果“?”滿足反身性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱“?”

是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

9.如果G是一個(gè)含有15個(gè)元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對(duì)于va?G,

則元素a的階只可能是—5,15,1,3,。

10.在3次對(duì)稱群S3中，設(shè)H={(1),(123),(132)}是S3的一個(gè)不變子群，則商

群G/H中的元素(12)H=((12),(23),(14)}。

12.設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)，其特征n是一個(gè)有限數(shù)，那么，n是一素?cái)?shù)一

13.設(shè)Z[x]是整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)，(x)是由多項(xiàng)式x生成的主理想，則(x)=

W(x)|/(x)eZ[x]}0

15.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元立+石在Q上的極小多項(xiàng)式是/一io/+1。

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)

16.設(shè)Z為整數(shù)加群，Zm為以m為模的剩余類加群，牛是Z到Z.的一個(gè)映射，

其中

(P：k-[k],vkGZ,

驗(yàn)證：(p是Z到Zm的一個(gè)同態(tài)滿射，并求少的同態(tài)核Ker(p。

Ker(p={neZ\(n-k)\m]

17.求以6為模的剩余類環(huán)Z6={[0],El],[2],[3],[4],[5]}的所有子環(huán),

并說(shuō)明這些子環(huán)都是五的理想。

Z6,Z2/<6>,Z3/<6>,{[0]}

18.試說(shuō)明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明唯一分

解環(huán)未必是主理想環(huán)。

每一個(gè)歐幾里得環(huán)都是主理想整環(huán)，每一個(gè)主理想整環(huán)都是唯一分解環(huán)。整環(huán)

Z[6?]={a+〃|a,6wZ},e=；（l+＜而）是主理想整環(huán)，但是不是唯一分解環(huán)。

四、證明題

20.設(shè)

fa0\

d|a,b,c,deZ

I=i0卜ce斗

已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個(gè)環(huán)。證明：I是R的一個(gè)子環(huán)，但不是理

想。

近世代數(shù)試卷

一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“q”，錯(cuò)的打“x”；每小題1

分,共10分）

2、設(shè)A、B、。都是非空集合，則AxB到。的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（F）

3、只要一是A到入的一一映射，那么必有唯一的逆映射/t。（T）

4、如果循環(huán)群G=（a）中生成元"的階是無(wú)限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（T）

5、如果群G的子群”是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（F）

6、群G的子群”是不變子群的充要條件為（T）

7、如果環(huán)R的階22,那么R的單位元170。（T）

8、若環(huán)尺滿足左消去律，那么R必定沒(méi)有右零因子。（T）

9、FQ）中滿足條件p（a）=0的多項(xiàng)式叫做元&在域廠上的極小多項(xiàng)式。（F）

10、若域￡的特征是無(wú)限大，那么E含有一個(gè)與先）同構(gòu)的子域，這里Z是整

數(shù)環(huán)，（P）是由素?cái)?shù)。生成的主理想。（F）

定理：若域尸的特征是p,則尸包含一個(gè)與模。剩余類環(huán)Zp同構(gòu)的子域；若域

產(chǎn)的特征是0,則b包含一個(gè)與有理數(shù)域同構(gòu)的子域。

二、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫(xiě)

在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無(wú)分。每小題1分，共10

分）

1、設(shè)A，4,…,A”和。都是非空集合，而/是Ax&x-xA”到。的一個(gè)映射，

那么⑵

①集合4,…,4，。中兩兩都不相同；②442,…,4的次序不能調(diào)換；

③AXaX…XA“中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；

④一個(gè)元…,4）的象可以不唯一。

2、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（4）

①在整數(shù)集Z上，。。匕=斗；②在有理數(shù)集。上，aob=J^;

③在正實(shí)數(shù)集火+上，a°h^a\nh-,④在集合｛〃eZ|〃2。｝上，a°b=\a-^a

3、設(shè)。是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中。。匕=max｛a,6｝（即取。與〃中的最大者）,

那么。在Z中（3）

①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個(gè)元都有逆元。

4,設(shè)（G,。）為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法。：8+3這里人為G中固

定的常數(shù)。那么群（G,。）中的單位元e和元x的逆元分別是（4）

①0和一x；②1和0；③%和x—2Z；④一%和一（》+2%）。

5^設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x%=8xcT,acx=xac,那么x=（2）l

①bc%T；②c%T；?a''bc~'；④Lea。

7、設(shè)了：GfG2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（4）

①一的同態(tài)核是。的不變子群；②G2的不變子群的逆象是G的不變子群；③a

的子群的象是d的子群；④G的不變子群的象是G?的不變子群。

群G的子群H是不變子群的充要條件為VgeG,V/zeH;gT為qH。（

8、設(shè)/：&f7?2是環(huán)同態(tài)滿射，f（a）=b,那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（4）3

①若。是零元，則6是零元；②若。是單位元，則》是單位元；

③若a不是零因子，則b不是零因子；④若R是不交換的,則與不交換。

知識(shí)點(diǎn)：

同態(tài)一定會(huì)將零元映成零元，但單位元不一定映成單位元；

若是滿同態(tài)映射，單位元會(huì)映成單位元；

若凡是無(wú)零因子環(huán)，單位元會(huì)映成單位元；

9、下列正確的命題是（4）

①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；

③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。

三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空

無(wú)分。每空1分，共10分）

5、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都與一個(gè)變換群同構(gòu)。

7、若/是有單位元的環(huán)R的由。生成的主理想，那么/中的元素可以表達(dá)為

^xiayi,xi,yieR。

8、若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，/是R的一個(gè)理想，那么%是一個(gè)域當(dāng)且

僅當(dāng)/是一個(gè)最大理想。

若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，/是R的一個(gè)理想，那么%是一個(gè)整環(huán)當(dāng)且僅

當(dāng)/是一個(gè)素理想。

9、整環(huán)/的一個(gè)元P叫做一個(gè)素元，如果p既不是零元，也不是單位，且p只

有平凡因子。

10、若域口的一個(gè)擴(kuò)域E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果E的每一個(gè)元都是F上

的一個(gè)代數(shù)元。

四、改錯(cuò)題（請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫(xiě)在預(yù)備

的橫線上面。指出錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分）

1、如果一個(gè)集合A的代數(shù)運(yùn)算。同時(shí)適合消去律和分配律（結(jié)合律與交換律）

，那么在《。^?！?。。”里，元的次序可以掉換。

2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合G作成一個(gè)群，如果滿足G

對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律（消去律）成立。

3、設(shè)/和S是環(huán)R的理想且/=S=如果/是R的最大理想，那么SwO。

（S=/或S=K）

4、唯一分解環(huán)/的兩個(gè)元"和）不一定會(huì)有最大公因子（一定有最大公因子），

若d和」都是〃和3的最大公因子，那么必有d="'（d和十只能差一個(gè)單位因

子）；

5、a叫做域廠的一個(gè)代數(shù)元，如果存在產(chǎn)的都不等于零（不都等于零的元）

的元使得4+q+a…+a"a"=0。

六、證明題（每小題10分，共40分）

1、設(shè)"和b是一個(gè)群G的兩個(gè)元且又設(shè)。的階時(shí)=〃2